図形問題高校受験対策5

たむかい学習教室
9月17日
読了時間: 7分

図形問題高校受験対策5

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では、図形に関する問題が必ず出題されます。そのため、面積や体積の求め方などの基本は、確実に押さえておきます。また、さまざまな問題の演習を通して、図形のとらえ方を広げていくことができます。

問題

下の図は、底面の半径が２cmの円柱を斜めに切った立体である。ＡＢ＝１cm、ＣＤ＝３cmのとき、この立体の体積を求めなさい。

切る前の立体は、高さ４cmの円柱である。

👉この立体を２つ、切り口で合わせる。

円柱の体積の公式より

π×２²×４

＝16π cm³

切った後の立体は、

この体積の1/2だから

16π×1/2

＝８π cm³

問題

下の図のように、底面の半径が３cmの円錐を、頂点Ｏを固定して転がしたところ、ちょうど３回転してもとの位置にもどった。このとき、この円錐の表面積を求めなさい。

底面１周分の長さ×３回転

＝円Ｏの周の長さ

円錐の底面の円周は、

π×２×３

＝６π cm

よって、円Ｏの周の長さは、

６π×３

＝18π cm

円Ｏの半径をｒとする

２πｒ＝18π

ｒ＝９cm

半径は円錐の母線の長さになるから

側面積（おうぎ）は、

９×６π×1/2

＝27π cm²

底面積（円）は、

π×３²

＝９π cm²

よって、求める表面積は、

27π＋９π

＝36π cm²

おうぎ形の面積

母線の長さ×弧の長さ×1/2

問題

半径４cmの球を、中心Ｏを通る平面Ｐで切った半球がある。この半球を、さらに、Ｏを通り平面Ｐに垂直な平面で切り取って、下の図のような立体をつくるとき、この立体の表面積を求めなさい。

２つの切り口（半円２つ分）は、

半径４cmの円の面積だから

π×４²

＝16π cm²

残りの面積は、

球の表面積の1/4だから

４π×４²×1/4

＝16π cm²

よって、求める表面積は、

16π＋16π

＝32π cm²

球の表面積

４πｒ²（４×π×半径の２乗）

問題

下の図のように、１辺の長さが12cmの立方体にちょうどはいる大きさの球がある。この球の体積を求めなさい。

球が立方体にちょうど入るから

球の直径は12cm

よって、球の半径は６cm

球の体積の公式より

π×６³×4/3

＝288π

求める体積は、288π cm³

球の体積

４

━ πｒ³（4/3×π×半径の３乗）

３

問題

下の図のように、１辺の長さが３cmの立方体があり、３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面で、この立方体を２つに切る。頂点Ｄをふくむ立体の体積を求めなさい。

切り取る立体は三角錐になる

切り取る立体のＡの真上の頂点をＥとする

底面を△ＢＥＣとすると、

∠ＡＥＢ＝90°で高さは辺ＡＥになる

底面積は、

ＢＥ＝ＣＥ＝３cmだから

３²×1/2＝9/2cm²

高さＡＥは、３cm

三角錐の体積は、

9/2×３×1/3＝9/2cm³

立方体の体積は

３³＝27cm³

（立方体）－（三角錐）で求められるから

27－9/2＝45/2cm³

よって、求める体積は、

45/2cm³

問題

下の図のような四角形ＡＢＣＤがある。この図形を、辺ＣＤを軸として１回転させてできる立体をＰとするとき、立体Ｐの表面積を求めなさい。

回転させると円柱と円錐を合わせた立体になる

円柱の表面積

👉底面１つ分と側面

底面（円）の面積は、

π×４²＝16π cm²　①

側面（長方形）の面積は、

横が底面の円周と同じだから

２π×４＝８π cm

縦は円柱の高さと同じだから４cm

よって、８π×４＝32π cm²　②

円錐の表面積

👉おうぎ形の面積

おうぎ形の面積は、

母線の長さ×弧の長さ×1/2 で求められる

母線は、５cm

弧の長さは、

底面の円周と同じだから８πcm

よって、

５×８π×1/2

＝20π cm²　③

求める表面積は、

①＋②＋③より

16π＋32π＋20π

＝68π cm²

※おうぎ形の面積

中心90°のおうぎ形が円の４分の１、中心180°のおうぎ形が円の２分の１の面積になるように、「円の何分の何」にあたる部分かを計算することで求められる。

上の問題の円錐の場合

おうぎの半径が５cm

👉半径５cmの円の円周を求める

　 π×５×２＝10π cm

底面の半径が４cm

👉底面の円周を求める

　 π×４×２＝８π cm

　おうぎの弧の長さと同じ

おうぎ形の弧の長さは、

半径５cmの円周全体10πcmの８πcmにあたる部分

👉おうぎの面積は、

半径５cmの円の面積の10分の８（５分の４）

π×５²×4/5

＝20π cm²

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