放物線とｘ軸の共有点高校数学

たむかい学習教室
7 日前
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放物線とｘ軸の共有点高校数学

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

２次関数では、放物線とｘ軸の共有点に関する出題があります。２次方程式の判別式Ｄをもとに、共有点の有無を判断することができます。また、定数の範囲は、Ｄの範囲と軸やｙ切片を基準にして求めます。

問題

２次関数ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋３のグラフがｘ軸と共有点をもつとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。

ｙ＝０とし、

ｘ²＋２ｍｘ＋３＝０の判別式をＤとする

Ｄ/４＝ｍ²－３

Ｄ≧０のときｘ軸と共有点をもつから

ｍ²－３≧０

（ｍ＋√３）（ｍ－√３）≧０

よって、

ｍ≦－√３、ｍ≧√３

「ｘ軸と共有点をもつ」

２次方程式が、

①異なる２つの実数解をもつ（Ｄ＞０）

または

②実数の重解をもつ（Ｄ＝０）

問題

２次不等式－ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＜０の解がすべての実数であるとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。

－ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＜０より

ｘ²－ｍｘ－ｍ＞０

解がすべての実数だから

ｘ²－ｍｘ－ｍ＝０は、Ｄ＜０

※ｙ＝ｘ²－ｍｘ－ｍがｘ軸と共有点をもたない

Ｄ＝ｍ²＋４ｍ＜０

ｍ（ｍ＋４）＜０

よって、

－４＜ｍ＜０

問題

２次関数ｙ＝ｘ²－２ｍｘ－ｍ＋６のグラフとｘ軸の正の部分が、異なる２点で交わるとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。

ｘ軸の正の部分が異なる２点で交わる

1）軸が０より大きい

2）ｙ切片が０より大きい

3）ｙ＝０のとき、Ｄ＞０（異なる２つの実数解）

ｙ＝ｘ²－２ｍｘ－ｍ＋６

平方完成する

ｙ＝（ｘ－ｍ）²－ｍ²－ｍ＋６

軸は、ｘ＝ｍだから、

ｍ＞０　①

ｙ切片は、－ｍ＋６だから

－ｍ＋６＞０

よって、ｍ＜６　②

ｙ＝０のとき、すなわち

ｘ²－２ｍｘ－ｍ＋６＝０

この判別式をＤとする

Ｄ/４

＝ｍ²－（－ｍ＋６）

＝ｍ²＋ｍ－６

Ｄ＞０だから

ｍ²＋ｍ－６＞０

（ｍ＋３）（ｍ－２）＞０

よって、

ｍ＜－３、ｍ＞２　③

①、②、③の共通範囲は、

２＜ｍ＜６

問題

２次方程式ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋12＝０が、次のような実数解をもつように、定数ｍの範囲を定めよ。

1）異なる２つの正の解

2）異なる２つの負の解

3）正の解と負の解

1）

異なる２つの実数解をもつ

👉Ｄ＞０

判別式をＤとする

Ｄ/４＝ｍ²－ｍ－12

Ｄ＞０より

ｍ²－ｍ－12＞０

（ｍ－４）（ｍ＋３）＞０

ｍ＜－３、ｍ＞４　①

異なる２つの正の解をもつ

👉ｙ切片が正で、軸が正

ｙ＝ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋12

ｙ切片は、ｘ＝０だから

ｙ＝ｍ＋12

ｙ切片は、正だから

ｍ＋12＞０

すなわち　ｍ＞－12　②

軸は、正だから

ｙ＝ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋12より

ｙ＝（ｘ－ｍ）²－ｍ²＋ｍ＋12

ｘ＝ｍ＞０　③

①、②、③を満たす範囲は、

ｍ＞４

2）

異なる２つの負の解をもつ

👉ｙ切片が正で、軸が負

軸は、負だから

ｘ＝ｍ＜０　④

①、②、④を満たす範囲は、

－12＜ｍ＜－３

3）

異なる正と負の解をもつ

👉ｙ切片が負、頂点のｙ座標が負

ｘ＝０のとき、ｙ＜０だから

ｍ＋12＜０

すなわち　ｍ＜－12　⑤

①、⑤を満たす範囲は、

ｍ＜－12

問題

２次関数ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋ｍ＋６のグラフとｘ軸の負の部分が、異なる２点で交わるとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。

ｘ軸の負の部分が異なる２点で交わる

1）軸が０より小さい

2）ｙ切片が０より大きい

3）ｙ＝０のとき、Ｄ＞０（異なる２つの実数解）

ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋ｍ＋６より

　＝（ｘ＋ｍ）²－ｍ²＋ｍ＋６

軸は負だから

－ｍ＜０

すなわち　ｍ＞０　①

ｙ切片は正だから

ｍ＋６＞０

すなわち　ｍ＞－６　②

ｙ＝０より

ｘ²＋２ｍｘ＋ｍ＋６＝０

Ｄ/４＝ｍ²－ｍ－６

Ｄ＞０だから

ｍ²－ｍ－６＞０

（ｍ－３）（ｍ＋２）＞０

ｍ＜－２、ｍ＞３　③

①、②、③の共通範囲は、

ｍ＞３

問題

２次関数ｙ＝ｘ²－２ａｘ＋ａにおいて、ｙの値が常に正であるように、定数ａの値の範囲を求めよ。

「下に凸の放物線」

「ｙの値が常に正」

👉ｘ軸と共有点をもたない

👉２次方程式が実数解をもたない（Ｄ＜０）

ｘ²－２ａｘ＋ａ＝０

Ｄ/４＝ａ²－ａ＜０

ａ（ａ－１）＜０

よって、

０＜ａ＜１

問題

放物線Ｃ：ｙ＝ｘ²－２ｘ＋ａ²－２ａ－２がある。ただし、ａは定数とする。

1）放物線Ｃの頂点がｘ軸上にあるとき、ａの値を求めよ。

2）放物線Ｃが第１象限、第２象限、第４象限をすべて通り、第３象限は通らないようなａの値の範囲を求めよ。

1）

ｙ＝ｘ²－２ｘ＋ａ²－２ａ－２

平方完成する

ｙ＝（ｘ－１）²＋ａ²－２ａ－３

頂点は、

（１，ａ²－２ａ－３）

頂点がｘ軸上にあるとき、ｙ＝０だから

ａ²－２ａ－３＝０

（ａ＋１）（ａ－３）＝０

ａ＝－１，３

2）

放物線は下に凸

第３象限（ｘ＜０かつｙ＜０）を通らないから

ｘ軸の正の部分に異なる２つの共有点をもつ。

ｘ²－２ｘ＋ａ²－２ａ－２＝０

Ｄ/４

＝１－（ａ²－２ａ－２）

＝－ａ²＋２ａ＋３

Ｄ＞０より

－ａ²＋２ａ＋３＞０

ａ²－２ａ－３＜０

（ａ＋１）（ａ－３）＜０

－１＜ａ＜３　①

軸はｘ＝１だから問題に合っている

ｙ切片は正だから

ａ²－２ａ－２≧０

👉ｙ≧０　原点を通っても第３象限は通らない

ａ²－２ａ－２＝０より

ａ＝１±√３

よって、

ａ≦１－√３、ａ≧１＋√３　②

①、②の共通範囲は

－１＜ａ≦１－√３

１＋√３≦ａ＜３

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