比例と反比例の文章問題

たむかい学習教室
5 日前
読了時間: 9分

比例と反比例の文章問題

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

２学期末の考査では、中高生ともに「関数」がテスト範囲となりました。中１数学の比例・反比例は、６年間の関数学習の土台であり、問題を解き進めるときに必要な式の立て方とグラフの表し方が基本になります。

問題

次の問いに答えなさい。

1）ｙはｘに比例し、ｘ＝４のとき、ｙ＝－28になる。ｙをｘの式で表しなさい。

2）ｙはｘに比例し、グラフが（18，－３）を通る。ｙをｘの式で表しなさい。

3）ｙはｘに反比例し、ｘ＝24のとき、ｙ＝－1/3になる。ｙをｘの式で表しなさい。

4）ｙはｘに反比例し、グラフが（－３，－３）を通る。ｙをｘの式で表しなさい。

1）

ｙはｘに比例するから

求める式を、ｙ＝ａｘとする。

ｘ＝４、ｙ＝－28を代入

ａ×４＝－28

ａ＝－７

よって、ｙ＝－７ｘ

※

比例定数ａは、

「ｙの増加量／ｘの増加量」でも求められる。

ａ＝－28／４＝－７

※

比例式にすると、

ｘ：ｙ＝４：－28

４ｙ＝－28ｘ

ｙ＝－７ｘ

2）

求める式を、ｙ＝ａｘとする。

グラフが（18，－３）を通るから

ｘ＝18、ｙ＝－３を代入

ａ×18＝－３

ａ＝－1/6

よって、ｙ＝（－1/6）ｘ

3）

ｙはｘに反比例するから

求める式を、ｙ＝ａ／ｘとする。

比例定数ａは、ｘの値とｙの値の積だから

ａ＝24×（－1/3）＝－８

よって、ｙ＝－８／ｘ

4）

求める式を、ｙ＝ａ／ｘとする。

グラフが（－３，－３）を通るから

ａ＝（－３）×（－３）＝９

よって、ｙ＝９／ｘ

問題

家から24km離れた図書館へ、自転車で一定の速さで向かった。下の図は、出発してからｘ分後の家からの道のりをｙkmとして、図書館に着くまでのｘとｙの関係を表したグラフである。家から18kmの地点を通過したのは、家を出発してから何分何秒後か、求めなさい。

原点を通る直線だから

求める式を、ｙ＝ａｘとする。

ｘ＝30、ｙ＝24を通るから

ａ×30＝24

ａ＝4/5

よって、

直線の式は、ｙ＝（4/5）ｘ

ｙ＝18のときの時間を求めるから

18＝（4/5）ｘ

ｘ＝45/2

45/2 分＝22と1/2 分

1/2 分＝（1/2）×60＝30秒だから

22分30秒後

問題

ユミさんは家を出発して、駅へ向かった。その14分後、姉が同じ道を自転車で走って駅へ向かった。ユミさんは分速60m、姉は分速200mで進み、ユミさんは家を出発してからｘ分後に姉に追いつかれた。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）ｘを使って方程式をつくり、ｘの値を求めなさい。

2）姉は家を出発して何分後にユミさんに追いついたか、求めなさい。

1）

２人が進む道のりをｙmとする

ユミさんは、

分速60ｍでｘ分進むから

60×ｘ＝ｙ

ｙ＝60ｘ

姉は、分速200m、

14分遅れ（ｘ－14 分）で進むから

200×（ｘ－14）＝ｙ

ｙ＝200（ｘ－14）

２人が出会うとき、ｙの値は同じだから

60ｘ＝200（ｘ－14）

両辺÷20

３ｘ＝10（ｘ－14）

ｘ＝20

よって、

方程式　60ｘ＝200（ｘ－14）

ｘの値　20

2）

姉はユミさんより14分遅れて出発したから

ｘ－14

＝20－14＝６

よって、６分後

問題

電子レンジの温める時間と出力は反比例の関係にある。ある食品の裏には下のような表示がされていた。電子レンジの出力をｘW、食品が温まるまでの時間をｙ秒とするとき、あとの問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）電子レンジの出力を600Wに設定したとき、食品が温まるまでに何分何秒かかりますか。

3）ある出力に設定したとき、食品が温まるまでに２分５秒かかった。このときの出力は何Wか求めなさい。

1）

ｘ(W)の値が増えると、ｙ(秒)の値は減る。

ｙはｘに反比例するから

求める式を、ｙ＝ａ／ｘとする。

ｘ＝500のとき、ｙ＝５分＝300秒

ａはｘとｙの値の積だから

ａ＝500×300＝150000

よって、ｙ＝150000／ｘ

2）

ｘ＝600のときだから

ｙ＝150000／600

ｙ＝250

250秒かかるから、４分10秒

3）

ｙ＝２分５秒＝125秒のときだから

125＝150000／ｘ

ｘ＝150000／125

ｘ＝1200

よって、1200W

問題

下の図のように、歯車Ａと歯車Ｂがかみ合っている。Ａの歯数を60にし、Ｂにはいろいろな歯数の歯車を取りつける。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）Ｂに歯数が35の歯車を取りつける。Ａの歯車を７回転させたとき、Ｂの歯車は何回転するか求めなさい。

2）Ａの歯車を15回転させたとき、Ｂの歯車は18回転した。このとき、Ｂに取りつけた歯車の歯数はいくつになるか、求めなさい。

1）

歯数が多いと、回転数は少なくて済む。

歯数をｘ、回転数をｙとする。

ｘの値が増えると、

ｙの値は減るから反比例の関係である。

式を、ｙ＝ａ／ｘとする。

Ａは、ｘ＝60、ｙ＝７だから

ａ＝60×７＝420

式は、ｙ＝420／ｘ

Ｂの回転数は、ｘ＝35のときだから

ｙ＝420／35＝12

よって、12回転

👉歯車は同時に回るから、ＡとＢの式は同じ。

2）

Ａは、ｘ＝60、ｙ＝15だから

ａ＝60×15＝900

式は、ｙ＝900／ｘ

Ｂの歯数は、ｙ＝18のときだから

18＝900／ｘ

18ｘ＝900

ｘ＝50

よって、50個

問題

下の図の四角形ＡＢＣＤは、１辺18cmの正方形である。点Ｐは、毎秒３cmの速さでＢから出発して辺ＢＣ上をＣまで進む。点ＰがＢを出発してからｘ秒後の△ＡＢＰの面積をｙcm²とするとき、あとの問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）ｘの変域を求めなさい。

3）△ＡＢＰの面積が81cm²となるのは、点ＰがＢを出発してから何秒後か求めなさい。

1）

点Ｐの速さは毎秒３cm

Ｂからｘ秒進むときの距離は、

３×ｘ＝３ｘ cm

よって、ＢＰ＝３ｘ

∠Ｂ＝90°だから

△ＡＢＰの底辺をＢＰ、高さをＡＢとする。

△ＡＢＰの面積ｙは、

ｙ＝（1/2）×３ｘ×18

ｙ＝27ｘ

※グラフの座標から式を求める

一定の速さで進むから比例

Ｂを出発する前、グラフは（０，０）

Ｃに到着したとき、グラフは（６，162）

※

Ｃに６秒で着く（ｘ＝６）

面積は正方形の半分162cm²（ｙ＝162）

原点と（６，162）を通る直線だから

162＝ａ×６

ａ＝27

よって、ｙ＝27ｘ

2）

Ｂを出発する前、ｘ＝０秒

Ｃに到着したとき、

ＡＢ＝18cmを毎秒３cmで進むから

ｘ＝18÷３＝６秒

よって、０≦ｘ≦６

3）

ｙの変域は、０≦ｙ≦162

※ｘ＝６のとき、ｙ＝27×６＝162

ｙ＝81のときだから、

ｙ＝27ｘより

81＝27ｘ

ｘ＝３

よって、３秒後

問題

下の図のように点を並べ、それぞれの点を線で結び、正六角形をつくっていく。これについて、あとの問いに答えなさい。

1）正六角形を８個つくるときに必要な点の数を求めなさい。

2）正六角形を72個つくるときに必要な点の数を求めなさい。

3）正六角形をｎ個つくるときに必要な点の数を、ｎを使った最も簡単な式で表しなさい。ただし、ｎは自然数とする。

1）

正六角形をｘ個、点をｙ個とする。

ｘ　１　２　３・・・　

ｙ　６　10　14・・・

ｘの値が１増えると、

ｙの値は４増えるから、

ｙ＝４ｘ

ｘ＝１のとき、ｙ＝６だから

ｙ＝４ｘ＋２

※

ｘ＝０のとき、ｙ＝２

初めの点が２個、その後点を４個ずつ付け足すと六角形が１個ずつ増えていく。

ｘ＝８のときだから

ｙ＝４ｘ＋２

ｙ＝４×８＋２＝34

よって、34個

2）

ｘ＝72のときだから

ｙ＝４ｘ＋２

ｙ＝４×72＋２＝290

よって、290個

3）

ｘ＝ｎのときだから

ｙ＝４×ｎ＋２

よって、４ｎ＋２

👉一次関数練習問題

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