相似平行線と比

たむかい学習教室
2025年11月23日
読了時間: 7分

相似平行線と比

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

平行線に交わる２直線の各辺の長さは、相似比を使って求めることができます。応用として、三角形や四角形の辺に平行な線を引いてできる三角形から、辺の長さを求める出題があり、平行線の同位角や錯角をもとに相似の関係を見つけることがポイントになります。

問題

次の図で、直線ℓ、m、nが平行であるとき、ｘの値を求めなさい。

1）

２つの三角形は相似だから

ｘ：15＝８：12

ｘ：15＝２：３

ｘ：５＝２：１

ｘ＝10cm

2）

ｘ：６＝３：５

５ｘ＝18

ｘ＝18/5cm

3）

下図の通り、

直線ｋに平行な直線をひく

平行四辺形の右側にできた２つの三角形は相似だから

８：（８＋ｘ）＝３：６

８：（８＋ｘ）＝１：２

８＋ｘ＝16

ｘ＝８cm

問題

下の図で、直線ｐ、ｑ、ｒ、ｓが平行であるとき、ｘ、ｙ、ｚの値を求めなさい。

ｘ：８＝30：24

ｘ：８＝５：４

ｘ：２＝５：１

ｘ＝10cm

ｙ：16＝５：４

ｙ：４＝５：１

ｙ＝20cm

40：20＝36：ｚ

２：１＝36：ｚ

１：１＝18：ｚ

ｚ＝18cm

問題

次の図で、ＤＥ//ＢＣとするとき、ｘ、ｙの値を求めなさい。

1）

△ＡＢＣと△ＡＤＥにおいて

ＤＥ//ＢＣより

同位角は等しいから

∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ

∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ

よって、

△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ

ＡＢ：ＡＤ＝６：２＝３：１

相似比　３：１

ＡＣ：ＡＥ＝３：１

ｘ：３＝３：１

ｘ＝９cm

ＢＣ：ＤＥ＝３：１

８：ｙ＝３：１

３ｙ＝８

ｙ＝8/3cm

2）

△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ

ＡＢ：ＡＤ＝12：８＝３：２

相似比　３：２

ＢＣ：ＤＥ＝３：２

10：ｘ＝３：２

３ｘ＝20

ｘ＝20/3cm

ＡＣ：ＡＥ＝３：２

11：ｙ＝３：２

３ｙ＝22

ｙ＝22/3cm

3）

△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ

ＢＣ：ＤＥ＝20：16＝５：４

相似比　５：４

ＡＢ：ＡＤ＝５：４

（20＋ｘ）：20＝５：４

（20＋ｘ）：５＝５：１

20＋ｘ＝25

ｘ＝５cm

ＡＣ：ＡＥ＝５：４

ｙ：28＝５：４

ｙ：７＝５：１

ｙ＝35cm

4）

△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ

ＡＣ：ＡＥ＝５：３

相似比　５：３

ＡＢ：ＡＤ＝５：３

（ｘ＋1.6）：ｘ＝５：３

５ｘ＝３ｘ＋4.8

２ｘ＝4.8

ｘ＝2.4cm

ＢＣ：ＤＥ＝５：３

６：ｙ＝５：３

５ｙ＝18

ｙ＝18/5cm

問題

下の図で、ｘの値を求めなさい。

△ＡＢＣと△ＤＥＣにおいて

ＡＣ：ＤＣ＝9.6：3.2＝３：１

ＢＣ：ＥＣ＝９：３＝３：１

∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ（共通）

２組の辺の比とその間の角が等しいから

△ＡＢＣ∽△ＤＥＣ

相似比　３：１

ＡＢ：ＤＥ＝３：１

10.5：ｘ＝３：１

３ｘ＝10.5

ｘ＝3.5cm

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ//ＢＣの台形である。対角線ＡＣ、ＢＤの交点Ｅを通り辺ＢＣに平行な直線と、辺ＡＢ、ＤＣとの交点をそれぞれＦ、Ｇとする。あとの問いに答えなさい。

1）ＡＥ：ＣＥを求めなさい。

2）ＦＥの長さを求めなさい。

3）ＦＧの長さを求めなさい。

1）

△ＡＥＤと△ＣＥＢにおいて

ＡＤ//ＢＣより

平行線の錯角は等しいから

∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＥ

∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＥ

２組の角が等しいので

△ＡＥＤ∽△ＣＥＢ

よって、

ＡＥ：ＣＥ＝ＡＤ：ＣＢ

ＡＥ：ＣＥ

＝10：15

＝２：３

2）

△ＡＢＣと△ＡＦＥにおいて

ＡＤ//ＢＣより

同位角は等しいから

∠ＡＢＣ＝∠ＡＦＥ

∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＦ

２組の角が等しいので

△ＡＢＣ∽△ＡＦＥ

よって、

ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＦＥ

ＡＣ＝ＡＥ＋ＣＥだから

５：２＝15：ＦＥ

１：２＝３：ＦＥ

ＦＥ＝６cm

3）

△ＤＥＧと△ＤＢＣにおいて

ＡＤ//ＢＣより

同位角は等しいから

∠ＤＥＧ＝∠ＤＢＣ

∠ＤＧＥ＝∠ＤＣＢ

２組の角が等しいので

△ＤＥＧ∽△ＤＢＣ

1）より

ＤＥ：ＢＥ＝２：３

ＤＢ＝ＤＥ＋ＢＥだから

ＤＥ：ＤＢ＝２：５

よって、

ＥＧ：ＢＣ＝ＤＥ：ＤＢ

ＥＧ：15＝２：５

ＥＧ：３＝２：１

ＥＧ＝６cm

ＦＧ＝ＦＥ＋ＥＧだから

６＋６＝12cm

問題

下の図で、線分ＤＥ、ＥＦ、ＦＤのうち、△ＡＢＣの辺に平行なものはどれですか。

△ＡＢＣと△ＡＥＦにおいて

ＡＢ：ＡＥ＝13.2：7.2＝11：６

ＡＣ：ＡＦ＝11：６

共通な角だから

∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＦ

２組の辺の比とその間の角が等しいので

△ＡＢＣ∽△ＡＥＦ

対応する角が等しいから

∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＦ　①

∠ＡＣＢ＝∠ＡＦＥ　②

①、②より、同位角が等しいので

ＥＦ//ＢＣ

よって、辺ＥＦ

問題

次の図の△ＡＢＣで、ＡＤは∠Ａの二等分線であるとき、ｘの値を求めなさい。

1）

ＡＤが∠Ａの二等分線であるとき

ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣが成り立つ

👇

ＡＤに平行なＢＥをひく

同位角は等しいから

∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ　③

錯角は等しいから

∠ＡＢＥ＝∠ＢＡＤ　④

③、④より

∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＥ

△ＡＢＥの底角は等しいから

ＡＥ＝ＡＢ＝12cm（二等辺三角形）

平行線の線分の比から

ＥＡ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ

ＥＡ＝ＡＢ＝12cmだから

ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ

12：18＝８：ｘ

２：３＝８：ｘ

１：３＝４：ｘ

ｘ＝12cm

2）

ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ

４：６＝ｘ：（８－ｘ）

２：３＝ｘ：（８－ｘ）

３ｘ＝16－２ｘ

５ｘ＝16

ｘ＝16/5cm

問題

下の図の△ＡＢＣで、∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとする。点Ｄから辺ＡＣに平行な直線をひき、辺ＡＢとの交点をＥとし、点Ｅから辺ＢＣに平行な直線をひき、辺ＡＣとの交点をＦとする。ＡＢ＝ＢＣ＝12cm、ＡＣ＝６cmのとき、あとの問いに答えなさい。

1）ＢＤの長さを求めなさい。

2）ＡＦの長さを求めなさい。

1）

ＡＤは∠ＢＡＣの二等分線だから

ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ

12：６＝ＢＤ：（12－ＢＤ）

２：１＝ＢＤ：（12－ＢＤ）

ＢＤ＝24－２ＢＤ

３ＢＤ＝24

ＢＤ＝８cm

2）

四角形ＣＤＥＦは平行四辺形だから

ＥＦ＝ＤＣ

ＤＣ＝12－ＢＤより

ＤＣ＝12－８＝４cm

よって、ＥＦ＝４cm

※対辺がそれぞれ平行

△ＡＢＣと△ＡＥＦにおいて

ＢＣ//ＥＦより

同位角は等しいから

∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＦ

∠ＡＣＢ＝∠ＡＦＥ

２組の角が等しいので

△ＡＢＣ∽△ＡＥＦ

ＢＣ：ＥＦ＝ＡＣ：ＡＦだから

12：４＝６：ＡＦ

３：１＝６：ＡＦ

１：１＝２：ＡＦ

ＡＦ＝２cm

問題

下の図で、ＡＢ、ＣＤ、ＥＦが平行のとき、ＥＦの長さを求めなさい。

△ＡＢＥと△ＤＣＥにおいて

ＡＢ//ＣＤより

平行線の錯角は等しいから

∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ

∠ＢＡＥ＝∠ＣＤＥ

２組の角が等しいので

△ＡＢＥ∽△ＤＣＥ

相似比は、

ＡＢ：ＤＣ＝６：12＝１：２　①

また、

△ＡＢＤと△ＥＦＤにおいて

ＡＢ//ＥＦより

同位角は等しいから

∠ＡＢＤ＝∠ＥＦＤ

∠ＢＡＤ＝∠ＦＥＤ

２組の角が等しいので

△ＡＢＤ∽△ＥＦＤ

①より

ＡＤ：ＥＤ＝３：２だから

ＡＢ：ＥＦ＝３：２

よって、

６：ＥＦ＝３：２

２：ＥＦ＝１：２

ＥＦ＝４cm

問題

下の図の四角形ＡＢＣＤで、ＡＤ、ＢＣ、ＥＦは平行で、ＡＥ：ＥＢ＝２：１である。ＢＤ、ＡＣとＥＦとの交点をそれぞれＰ、Ｑとするとき、線分ＰＱの長さを求めなさい。

△ＡＢＣと△ＡＥＱにおいて

ＢＣ//ＥＦより

同位角は等しいから

∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＱ

∠ＡＣＢ＝∠ＡＱＥ

２組の角が等しいので

△ＡＢＣ∽△ＡＥＱ

よって、

ＡＢ：ＡＥ＝ＢＣ：ＥＱ

ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢだから

３：２＝15：ＥＱ

１：２＝５：ＥＱ

ＥＱ＝10cm

また、

△ＢＡＤと△ＢＥＰにおいて

ＡＤ//ＥＦより

同位角は等しいから

∠ＢＡＤ＝∠ＢＥＰ

∠ＢＤＡ＝∠ＢＰＥ

２組の角が等しいので

△ＢＡＤ∽△ＢＥＰ

ＢＡ：ＢＥ＝３：１だから

ＡＤ：ＥＰ＝３：１

よって、

６：ＥＰ＝３：１

ＥＰ＝２cm

ＰＱ＝ＥＱ－ＥＰだから

10－２＝８cm

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