相似高校入試対策③

たむかい学習教室
5 日前
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相似高校入試対策③

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の「相似」の問題では、平行線や円と組み合わせた図形の場合、等しい角度を見つけることがポイントになります。また、辺の長さが与えられている場合には、相似比にも着目します。

問題

下の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがある。点Ａから辺ＢＣに垂線をひき、辺ＢＣとの交点をＥ、点Ａから辺ＣＤに垂線をひき、辺ＣＤとの交点をＦとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＥ∽△ＡＤＦであることを証明しなさい。

2）ＡＢ＝６cm、ＡＤ＝９cm、点Ｆが辺ＣＤの中点であるとき、次の問いに答えなさい。

ア

線分ＢＥの長さを求めなさい。

イ

四角形ＡＥＣＦの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍か、求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＥと△ＡＤＦにおいて

仮定より

∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ　①

平行四辺形の対角は等しいから

∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＦ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＥ∽△ＡＤＦ

2）ア

△ＡＢＥ∽△ＡＤＦより

ＢＥ：ＤＦ＝ＡＢ：ＡＤ

ＤＦ＝（1/2）ＣＤ＝（1/2）ＡＢだから

ＤＦ＝（1/2）×６＝３cm

よって、

ＢＥ：３＝６：９

ＢＥ：３＝２：３

ＢＥ：１＝２：１

ＢＥ＝２cm

2）イ

四角形ＡＥＣＦの面積比を

△ＡＣＥ＋△ＡＣＦとして求める。

※対角線ＡＣをひく

△ＡＢＣにおいて

△ＡＢＥ：△ＡＣＥ＝ＢＥ：ＣＥ

ＢＣ＝ＡＤ＝９cm、ＢＥ＝２cmより

ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝７cmだから

△ＡＢＥ：△ＡＣＥ＝２：７

👉ともに高さが等しい三角形

△ＡＢＣ＝（1/2）▱ＡＢＣＤ

△ＡＣＥ＝（7/9）△ＡＢＣだから

△ＡＣＥ

＝（7/9）×（1/2）▱ＡＢＣＤ

＝（7/18）▱ＡＢＣＤ

△ＡＣＤにおいて

△ＡＦＤ：△ＡＣＦ＝ＤＦ：ＦＣ

ＤＦ＝ＦＣだから

△ＡＦＤ：△ＡＣＦ＝１：１

△ＡＣＤ＝（1/2）▱ＡＢＣＤ

△ＡＣＦ＝（1/2）△ＡＣＤだから

△ＡＣＦ

＝（1/2）×（1/2）▱ＡＢＣＤ

＝（1/4）▱ＡＢＣＤ

よって、

四角形ＡＥＣＦの面積比は

△ＡＣＥ＋△ＡＣＦ

＝（7/18）▱ＡＢＣＤ＋（1/4）▱ＡＢＣＤ

＝（23/36）▱ＡＢＣＤ

よって、23/36倍

問題

下の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがある。点Ｅは辺ＡＤ上の点であり、∠ＤＣＥ＝∠ＡＥＢである。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＥＢＣと△ＤＣＥが相似になることを証明しなさい。

2）ＡＤ＝４cm、ＥＣ＝２cmのとき、線分ＡＥの長さを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＥＢＣと△ＤＣＥにおいて

仮定より

∠ＤＣＥ＝∠ＡＥＢ　①

ＡＤ//ＢＣより

平行線の錯角は等しいから

∠ＥＢＣ＝∠ＡＥＢ　②

①、②より

∠ＥＢＣ＝∠ＤＣＥ　③

平行線の錯角は等しいから

∠ＢＣＥ＝∠ＣＥＤ　④

③、④より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＥＢＣ∽△ＤＣＥ

2）

△ＥＢＣ∽△ＤＣＥより

対応する辺の比が等しいので

ＢＣ：ＣＥ＝ＥＣ：ＤＥ

ＡＥ＝ｘcmとすると、

ＤＥ＝（４－ｘ）cmで、

ＢＣ＝ＡＤ＝４cmだから

４：２＝２：（４－ｘ）

２：１＝２：（４－ｘ）

１：１＝１：（４－ｘ）

４－ｘ＝１

ｘ＝３

よって、３cm

問題

下の図のような、長方形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝２cm、ＡＤ＝６cmである。この長方形の中に、１辺の長さが２cmの正方形ＡＢＦＥ、ＥＦＨＧ、ＧＨＣＤをつくる。点Ｉは線分ＡＨと線分ＤＦとの交点、点Ｊは線分ＡＣと線分ＤＦとの交点である。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）∠ＡＦＣの大きさを求めなさい。

2）線分ＡＦと線分ＣＦの長さの比ＡＦ：ＣＦは、１：（　）である。このとき、（　）にあてはまる数を求めなさい。

3）△ＡＦＨ∽△ＣＦＡであることを証明しなさい。

1）

ＡＦは正方形の対角線だから

∠ＡＦＢ＝45°

よって、

∠ＡＦＣ＝180°－45°＝135°

2）

△ＡＦＢにおいて

直角二等辺三角形の辺の比より

ＡＦ：ＡＢ＝√２：１

ＡＢ＝２cmだから

ＡＦ：２＝√２：１

ＡＦ＝２√２

ＣＦ＝ＣＨ＋ＨＦ＝４cmだから

ＡＦ：ＣＦ

＝２√２：４

２乗

＝８：16

８で約分

＝１：２

よって、２

3）

△ＡＦＨと△ＣＦＡにおいて

共通な角だから

∠ＡＦＨ＝∠ＣＦＡ　①

2）より

ＡＦ：ＣＦ＝１：２　②

また、

ＦＨ：ＦＡ＝２：２√２だから

ＦＨ：ＦＡ＝１：２　③

①、②、③より

２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＦＨ∽△ＣＦＡ

問題

下の図の四角形ＡＢＣＤは正方形である。辺ＣＤ上に点Ｅをとり、線分ＡＥの延長と辺ＢＣの延長との交点をＦとし、線分ＡＦと対角線ＢＤの交点をＧとする。点ＣとＧを結ぶとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＧと△ＥＤＧが相似になることを証明しなさい。

2）ＣＥ：ＥＤ＝１：３、ＡＦ＝28cmのとき、線分ＥＧの長さを求めなさい。

3）∠ＧＡＤ＝37°のとき、∠ＣＧＥの大きさを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＧと△ＥＤＧにおいて

ＡＢ//ＤＥより

平行線の錯角は等しいから

∠ＡＢＧ＝∠ＥＤＧ　①

対頂角は等しいから

∠ＡＧＢ＝∠ＥＧＤ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＧ∽△ＥＤＧ

2）

△ＡＤＥと△ＦＣＥにおいて

ＡＤ//ＣＦより

∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ

∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ

２組の角が等しいから

△ＡＤＥ∽△ＦＣＥ

ＣＥ：ＥＤ＝１：３より

ＡＥ：ＦＥ＝３：１

ＡＥ：ＡＦ＝３：４だから

ＡＥ：28＝３：４

ＡＥ：７＝３：１

ＡＥ＝21cm

△ＡＢＧ∽△ＥＤＧより

ＡＢ：ＥＤ＝４：３

ＡＧ：ＥＧ＝４：３

ＡＥ：ＥＧ＝７：３だから

21：ＥＧ＝７：３

３：ＥＧ＝１：３

ＥＧ＝９cm

3）

△ＡＢＧと△ＣＢＧにおいて

ＢＧは∠Ｂの二等分線だから

∠ＡＢＧ＝∠ＣＢＧ

四角形ＡＢＣＤは正方形だから

ＡＢ＝ＣＢ

共通な辺だから

ＢＧ＝ＢＧ

２組の辺とその間の角が等しいので

△ＡＢＧ≡△ＣＢＧ

よって、

∠ＡＧＢ＝∠ＣＧＢ

△ＡＤＧにおいて

三角形の内角と外角の関係より

∠ＡＧＢ＝∠ＧＡＤ＋∠ＡＤＧ

∠ＧＡＤ＝37°、∠ＡＤＧ＝45°だから

∠ＡＧＢ＝37°＋45°＝82°

よって、

∠ＣＧＢ＝82°

△ＧＢＦにおいて

∠ＢＧＦ＋∠ＧＢＦ＋∠ＧＦＢ＝180°

∠ＧＢＦ＝45°、

∠ＧＦＢ＝∠ＧＡＤ＝37°だから

∠ＢＧＦ＋45°＋37°＝180°

∠ＢＧＦ＝98°

∠ＣＧＥ＝∠ＢＧＦ－∠ＣＧＢだから

∠ＣＧＥ＝98°－82°＝16°

よって、16°

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塾生の声

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（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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