相似高校入試対策④

たむかい学習教室
4 日前
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相似高校入試対策④

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の「相似」の問題では、相似比をもとに辺の長さを求めたり、面積や体積を求める出題があります。相似比は辺の長さの比のことで、相似比の２乗が面積比、相似比の３乗が体積比になります。

問題

下の図の平行四辺形ＡＢＣＤで、点Ｅは辺ＡＤ上にあり、ＢＤとＣＥの交点をＰとする。ＡＥ：ＥＤ＝３：２、平行四辺形ＡＢＣＤの面積を70cm²とするとき、あとの問いに答えなさい。

1）ＢＰ：ＤＰを求めなさい。

2）次の三角形の面積を求めなさい。

① △ＣＤＰ　② △ＥＰＤ

1）

△ＰＢＣと△ＰＤＥにおいて

ＢＣ//ＥＤより

平行線の錯角は等しいから

∠ＰＢＣ＝∠ＰＤＥ

∠ＰＣＢ＝∠ＰＥＤ

２組の角が等しいから

△ＰＢＣ∽△ＰＤＥ

対応する辺の比は等しいから

ＢＰ：ＤＰ＝ＢＣ：ＤＥ

ＢＣ＝ＡＥ＋ＥＤだから

ＡＥ：ＥＤ＝３：２より

ＢＣ：ＤＥ＝５：２

よって、

ＢＰ：ＤＰ＝５：２

2）①

△ＰＢＣと△ＣＤＰは高さが同じだから

底辺ＢＰ：底辺ＤＰが面積比になる。

△ＰＢＣ：△ＣＤＰ＝５：２だから

△ＣＤＰ＝（2/7）△ＢＣＤ

△ＢＣＤ

＝（1/2）▱ＡＢＣＤ＝35cm²だから

△ＣＤＰ

＝（2/7）×35＝10cm²

2）②

△ＰＢＣ＝△ＢＣＤ－△ＣＤＰだから

△ＰＢＣ＝35－10＝25cm²

△ＰＢＣ∽△ＰＤＥより

ＢＰ：ＤＰ＝５：２だから

△ＰＢＣ：△ＥＰＤ＝25：４

よって、

25cm²：△ＥＰＤ＝25：４

△ＥＰＤ＝４cm²

問題

Ａさんは、高さ634mのタワーまでの距離を、高さ12.5mの電柱を目印にして求めようと考えた。Ａさんは、電柱の先端とタワーの先端が一致して見える位置に立ち、その位置から電柱までの距離を測ったら、ちょうど10mだった。このとき、Ａさんが立っている位置からタワーまでの距離は何mかを求めなさい。ただし、Ａさんの目の高さを1.5mとする。また、Ａさん、電柱、タワーは、同じ平面上に垂直に立っており、それぞれの幅や厚みは考えないものとする。

下図の通り

ＡＣの長さが求める距離になる。

タワーの先端ＢとＡＣの距離は

634－1.5＝632.5m

電柱の先端ＤとＡＣの距離は

12.5－1.5＝11m

△ＡＢＣと△ＡＤＥにおいて

ＢＣ//ＤＥより

同位角は等しいから

∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ

∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ

２組の角が等しいので

△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ

対応する辺の比は等しいから

ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＤＥ

ＡＣ：10＝632.5：11

ＡＣ＝575

よって、575m

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形、ＡＥ＝（1/2）ＥＢ、ＢＦ＝ＦＣ、ＥＧ//ＢＣである。ＡＤ＝６cmのとき、あとの問いに答えなさい。

1）線分ＨＧの長さを求めなさい。

2）四角形ＨＦＣＧの面積は△ＡＥＨの面積の何倍か、求めなさい。

1）

△ＡＥＨと△ＡＢＦにおいて

ＥＧ//ＢＣより

同位角は等しいから

∠ＡＥＨ＝∠ＡＢＦ

∠ＡＨＥ＝∠ＡＦＢ

２組の角が等しいから

△ＡＥＨ∽△ＡＢＦ

ＡＥ＝（1/2）ＥＢより

ＡＥ：ＥＢ＝１：２だから

ＡＥ：ＡＢ＝ＥＨ：ＢＦ＝１：３

ＢＦ＝（1/2）ＡＤだから

ＢＦ＝（1/2）×６cm＝３cm

ＥＨ：ＢＦ＝１：３より

ＥＨ：３＝１：３

ＥＨ＝１cm

ＨＧ＝ＥＧ－ＥＨだから

ＥＧ＝ＡＤ＝６cmより

ＨＧ＝６－１＝５cm

よって、５cm

2）

下図の通り

ＡＥ、ＧＣに平行なＩＦをひく

△ＡＥＨと△ＦＩＨにおいて

平行線の錯角は等しいから

∠ＡＥＨ＝∠ＦＩＨ

∠ＥＡＨ＝∠ＩＦＨ

２組の角が等しいから

△ＡＥＨ∽△ＦＩＨ

ＥＧ//ＢＣ、ＢＦ＝ＦＣだから

ＥＩ＝ＩＧ＝３cm

ＥＨ＝１cmより、ＩＨ＝２cm

ＥＨ：ＩＨ＝１：２だから

面積比は、

△ＡＥＨ：△ＦＩＨ＝１：４

よって、

△ＦＩＨ＝４△ＡＥＨ　①

ＩＦ//ＧＣ、ＩＧ//ＦＣより

四角形ＩＦＣＧは平行四辺形である。

△ＦＩＨと▱ＩＦＣＧは高さが同じだから

面積比は、

底辺ＩＨ×1/2：底辺ＩＧ

＝２cm×（1/2）：３cm

＝１：３

よって、

▱ＩＦＣＧ＝３△ＦＩＨ　②

①、②より

▱ＩＦＣＧ＝12△ＡＥＨ

①、③より

四角形ＨＦＣＧ

＝△ＦＩＨ＋▱ＩＦＣＧ

＝４△ＡＥＨ＋12△ＡＥＨ

＝16△ＡＥＨ

よって、16倍

問題

相似な円柱ＰとＱがあり、ＰとＱの相似比は４：３である。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）ＰとＱの表面積の比を求めなさい。

2）Ｐの体積が320πcm³のとき、Ｑの体積を求めなさい。

1）

相似比👉辺の長さの比

ＰとＱの辺の長さの比は４：３だから

面積比は、

４²：３²＝16：９

2）

ＰとＱの体積比は、

４³：３³＝64：27

Ｑの体積をｘcm³とする

64：27＝320π：ｘ

１：27＝５π：ｘ

ｘ＝135π

よって、135π cm³

問題

下の図の２つの四角錐ＰとＱは相似である。Ｑの体積が192cm³のとき、Ｐの体積を求めなさい。

ＰとＱの辺の長さの比は

15cm：12cm＝５：４

体積比は、

５³：４³＝125：64

Ｐの体積をｘcm³とする

125：64＝ｘ：192

125：１＝ｘ：３

ｘ＝375

よって、375cm³

問題

下の図で、立体Ａは、半径３cmの球を、中心を通る平面で切った半球であり、立体Ｂは、底面が半径３cmの円で、高さが９cmの円錐を、底面から高さ３cmのところで、底面に平行な平面で切ったときの下側の立体である。立体Ａと立体Ｂの体積を比べたとき、どちらの立体のほうが何cm³大きいかを求めなさい。

立体Ａの体積は、

球の体積の公式より

（4/3）×π×３³×（1/2）

＝18π cm³　①

立体Ｂ切断前の円錐をＣ、

切断後の上側の円錐をＤとする。

ＣとＤの体積比は、

相似比が高さ９：６＝３：２だから

３³：２³＝27：８

よって、

Ｂの体積比は、

27－８＝19

切断前の円錐Ｃは、

錐の体積の公式より

（1/3）×π×３²×９

＝27π cm³

よって、

Ｂの体積ｘは、

27：19＝27πcm³：ｘcm³

ｘ＝19π cm³　②

①、②より

Ｂのほうが、π cm³大きい。

問題

下の図で、点Ｅ、Ｆは三角錐ＡＢＣＤの辺ＡＢを３等分した点である。点Ｅ、Ｆをそれぞれ通り底面ＢＣＤに平行な平面で切り、３つの立体Ｐ、Ｑ、Ｒに分ける。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）ＱとＲの体積比を求めなさい。

2）Ｑの体積が35cm³のとき、Ｒの体積を求めなさい。

1）

Ｑ＝（Ｐ＋Ｑ）－Ｐ　①

Ｒ＝（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）－（Ｐ＋Ｑ）　②

Ｐと（Ｐ＋Ｑ）の体積比は、

ＡＥ：ＡＦ＝１：２より

１³：２³＝１：８

①より

Ｑ＝８－１＝７

（Ｐ＋Ｑ）と（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）の体積比は、

ＡＦ：ＡＢ＝２：３より

２³：３³＝８：27

②より

Ｒ＝27－８＝19

よって、７：19

2）

Ｒの体積をｘcm³とする

Ｑの体積：Ｒの体積＝７：19より

７：19＝35cm³：ｘcm³

１：19＝５cm³：ｘcm³

ｘ＝95cm³

よって、95cm³

問題

下の図のように、１辺の長さが４cmの立方体があり、辺ＡＢの中点をＭ、辺ＢＣの中点をＮとする。この立方体を４点Ｍ、Ｅ、Ｇ、Ｎを通る平面で２つの立体に切る。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）線分ＥＭの延長線と辺ＦＢの延長線との交点をＰとするとき、ＰＢの長さを求めなさい。

2）２つの立体のうち、頂点Ｂをふくむ立体の体積を求めなさい。

1）

ＭＢ//ＥＦ、

ＭＢ＝（1/2）ＥＦだから

中点連結定理より

ＰＢ＝ＢＦ＝４cm

よって、４cm

2）

頂点Ｂを含む立体の体積

＝三角錐ＰＥＦＧの体積－三角錐ＰＭＢＮの体積

ＰＦ：ＰＢ

＝８：４＝２：１だから

三角錐ＰＥＦＧとＰＭＢＮの体積比は

２³：１³＝８：１

三角錐のＰＭＢＮ体積は、

ＭＢ＝ＮＢ＝２cm、ＰＢ＝４cmより

（1/3）×２²×（1/2）×４＝8/3cm³

よって、

三角錐ＰＥＦＧの体積ｘcm³は、

８：１＝ｘ：8/3cm³

ｘ＝64/3cm³

よって、求める体積は、

（64/3）－（8/3）＝56/3cm³

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