相似な図形

たむかい学習教室
11月14日
読了時間: 8分

相似な図形

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

図形を拡大・縮小するとき、対応する角の大きさを同じままにして、対応する辺を同じ比率で延ばしたり縮めたりすると相似な図形ができます。２つの図形が相似である条件は次の３つになります。

☆３組の辺の比がそれぞれ等しい

☆２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

☆２組の角がそれぞれ等しい

問題

次の図で、△ＡＢＣ∽△ＰＱＲであるとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＣと△ＰＱＲの相似比を求めなさい。

2）辺ＱＲの長さを求めなさい。

1）

相似比：辺の長さの比

対応する辺

△ＡＢＣ　△ＡＢＣ　△ＡＢＣ

△ＰＱＲ　△ＰＱＲ　△ＰＱＲ

ＡＢ：ＰＱ＝８：12

よって、

相似比は、２：３

2）

ＡＢ：ＰＱ＝ＢＣ：ＱＲ

２：３＝６：ＱＲ

２ＱＲ＝18

ＱＲ＝９cm

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤ∽四角形ＥＦＧＨであるとき、あとの問いに答えなさい。

1）辺ＢＣに対応する辺を答えなさい。

2）四角形ＡＢＣＤと四角形ＥＦＧＨの相似比を求めなさい。

3）辺ＥＦの長さを求めなさい。

1）

対応する辺

ＡＢＣＤ

ＥＦＧＨ

ＡＢＣＤ

ＥＦＧＨ

ＡＢＣＤ

ＥＦＧＨ

ＡＢＣＤ

ＥＦＧＨ

辺ＢＣに対応する辺は、辺ＦＧ

2）

ＢＣ：ＦＧ＝８：６

よって、

相似比は、４：３

3）

ＢＣ：ＦＧ＝ＡＢ：ＥＦ

４：３＝６：ＥＦ

４ＥＦ＝18

ＥＦ＝9/2cm

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤ∽四角形ＥＦＧＨであるとき、あとの問いに答えなさい。

1）∠Ｆの大きさを求めなさい。

2）四角形ＡＢＣＤと四角形ＥＦＧＨの相似比を求めなさい。

3）辺ＦＧの長さを求めなさい。

1）

相似な図形

👉対応する角の大きさが同じ

対応する頂点

四角形ＡＢＣＤ

　　　↕ ↕ ↕ ↕

四角形ＥＦＧＨ

よって、

∠Ｆ＝∠Ｂ＝68°

2）

ＡＤ：ＥＨ＝８：２

よって、

相似比は、４：１

3）

ＡＤ：ＥＨ＝ＢＣ：ＦＧ

４：１＝12：ＦＧ

４ＦＧ＝12

ＦＧ＝３

問題

次のア～キの三角形について、相似な三角形の組を３組答えなさい。

アとオ

２組の辺の比とその間の角が等しい

３cm：3.3cm＝10：11

５cm：5.5cm＝10：11

２辺の間の角　80°

イとカ

２組の角が等しい

33°　67°　

ウとエ

３組の辺の比が等しい

2.4cm：３cm＝４：５

４cm：５cm＝４：５

4.8cm：６cm＝４：５

問題

次のそれぞれの図で、相似な三角形を記号∽を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件を答えなさい。

1）

△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ

∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ

∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ（共通）

２組の角がそれぞれ等しい

2）

△ＡＢＣ∽△ＤＢＡ

ＡＢ：ＤＢ＝６：３＝２：１

ＢＣ：ＢＡ＝12：６＝２：１

∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＡ（共通）

２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

3）

△ＡＢＥ∽△ＤＣＥ

ＡＥ：ＤＥ＝４：８＝１：２

ＢＥ：ＣＥ＝６：12＝１：２

∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ（対頂角）

２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

4）

△ＡＢＤ∽△ＤＣＢ

ＡＢ：ＤＣ＝10：15＝２：３

ＢＤ：ＣＢ＝12：18＝２：３

ＤＡ：ＢＤ＝８：12＝２：３

３組の辺の比がそれぞれ等しい

5）

△ＡＢＣ∽△ＡＤＢ

ＡＢ：ＡＤ＝12：８＝３：２

ＡＣ：ＡＢ＝18：12＝３：２

∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＢ（共通）

２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

問題

下の図で、△ＡＢＣと相似な三角形をすべて見つけ、記号∽を使って表しなさい。

△ＡＢＣと△ＡＣＤにおいて

∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ＝90°

∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ（共通）

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ

△ＡＢＣと△ＣＢＤにおいて

∠ＡＣＢ＝∠ＣＤＢ＝90°

∠ＡＢＣ＝∠ＣＢＤ（共通）

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＣ∽△ＣＢＤ

問題

下の図のように、２本の線分ＡＢ、ＣＤが点Ｏで交わっている。ＤＯ＝３ＡＯ、ＢＯ＝３ＣＯであるとき、△ＡＯＣ∽△ＤＯＢであることを証明しなさい。

〔証明〕

△ＡＯＣと△ＤＯＢにおいて

ＤＯ＝３ＡＯより

ＡＯ：ＤＯ＝１：３　①

ＢＯ＝３ＣＯより

ＣＯ：ＢＯ＝１：３　②

対頂角は等しいから

∠ＡＯＣ＝∠ＤＯＢ　③

①、②、③より

２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＯＣ∽△ＤＯＢ

問題

下の図の四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ//ＢＣの台形で、点Ｏは対角線ＡＣ、ＢＤの交点である。このとき、△ＡＯＤ∽△ＣＯＢであることを証明しなさい。

〔証明〕

△ＡＯＤと△ＣＯＢにおいて

ＡＤ//ＢＣより

平行線の錯角は等しいから

∠ＯＡＤ＝∠ＯＣＢ　①

∠ＯＤＡ＝∠ＯＢＣ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＯＤ∽△ＣＯＢ

問題

下の図で、△ＡＢＣと△ＥＤＣは直角三角形である。このとき、△ＡＢＣ∽△ＥＤＣであることを証明しなさい。

〔証明〕

△ＡＢＣと△ＥＤＣにおいて

∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ＝90°　①

共通な角だから

∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＤ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＣ∽△ＥＤＣ

問題

下の図で、点Ｏは、線分ＡＣ、ＢＤの交点である。このとき、△ＯＡＢ∽△ＯＣＤであることを証明しなさい。

〔証明〕

△ＯＡＢと△ＯＣＤにおいて

ＯＡ：ＯＣ

＝４：６

＝２：３　①

ＯＢ：ＯＤ

＝３：4.5

＝２：３　②

対頂角は等しいので

∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ　③

①、②、③より

２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＯＡＢ∽△ＯＣＤ

問題

下の図の△ＡＢＣで、Ｄは辺ＡＢ上の点、Ｅは辺ＢＣ上の点である。∠ＢＡＣ＝∠ＢＥＤであるとき、△ＡＢＣ∽△ＥＢＤであることを証明しなさい。

〔証明〕

△ＡＢＣと△ＥＢＤにおいて

仮定より

∠ＢＡＣ＝∠ＢＥＤ　①

共通な角だから

∠ＡＢＣ＝∠ＥＢＤ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＣ∽△ＥＢＤ

問題

下の図の▱ＡＢＣＤで、辺ＣＤ上に点Ｅをとり、辺ＡＤの延長とＢＥの延長との交点をＦとするとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＦ∽△ＣＥＢであることを証明しなさい。

2）ＡＢ＝16cm、ＡＤ＝20cm、ＤＦ＝12cmであるとき、ＣＥの長さを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＦと△ＣＥＢにおいて

平行四辺形の対角は等しいので

∠ＢＡＦ＝∠ＥＣＢ　①

ＡＦ//ＢＣより

平行線の錯角は等しいので

∠ＡＦＢ＝∠ＣＢＥ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＦ∽△ＣＥＢ

2）

△ＡＢＦ∽△ＣＥＢより

ＡＢ：ＣＥ＝ＡＦ：ＣＢ

ＡＦ＝ＡＤ＋ＤＦ

＝20＋12＝32cm

ＣＢ＝ＡＤ＝20cm

よって、

16：ＣＥ＝32：20

右辺を約分

16：ＣＥ＝８：５

両辺の左側の項を約分

２：ＣＥ＝１：５

ＣＥ＝10cm

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今年度塾生35名（2025年9月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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