確率高校入試対策②

たむかい学習教室
1月23日
読了時間: 8分

確率高校入試対策②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

「確率」の問題では、表や樹形図を使って場合の数を求める方法があります。図形の頂点を利用する出題では、１つの頂点を基準にしながら場合の数を求めていきます。

問題

500円硬貨、100円硬貨、50円硬貨がそれぞれ１枚ずつある。これらの３枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る硬貨の合計金額が100円以上600円以下となる確率を求めなさい。

500円が表のとき

100表　　50表　　→650円

100表　　50うら　→600円〇

100うら　50表　　→550円〇

100うら　50うら　→500円〇

500円がうらのとき

100表　　50表　　→150円〇

100表　　50うら　→100円〇

100うら　50表　　→50円

100うら　50うら　→0円

計８通りのうち、５通りあるから

５／８

問題

赤玉３個と白玉２個が入っている袋がある。この袋から玉を１個取り出して色を確認して、それを袋に戻してから、もう一度玉を１個取り出して色を確認する。このとき、２回とも同じ色の玉が出る確率を求めなさい。ただし、袋の中は見えないものとし、どの玉が出ることも同様に確からしいものとする。

赤　①　②　③

白　Ａ　Ｂ

赤と赤の組み合わせ

（1回目・2回目）　

（①・①）（①・②）（①・③）（②・①）（②・②）（②・③）（③・①）（③・②）（③・③）　計９通り

白と白の組み合わせ

（1回目・2回目）　

（Ａ・Ａ）（Ａ・Ｂ）（Ｂ・Ａ）（Ｂ・Ｂ）　計４通り

（1回目・2回目）

赤と白の組み合わせ

（①・Ａ）（①・Ｂ）（②・Ａ）（②・Ｂ）（③・Ａ）（③・Ｂ）（Ａ・①）（Ａ・②）（Ａ・③）（Ｂ・①）（Ｂ・②）（Ｂ・③）　計12通り

すべての組み合わせは、25通り

同じ色の組み合わせは、９＋４＝13通り

よって、13／25

問題

箱の中に、数字を書いた５枚のカード１，１，２，２，３が入っている。これらをよくかき混ぜてから、２枚のカードを同時に取り出すとき、それぞれのカードに書かれている数の和が４となる確率を求めなさい。

１Ａ　１Ｂ　２Ａ　２Ｂ　３

すべての組み合わせ

（１Ａ・１Ｂ）（１Ａ・２Ａ）（１Ａ・２Ｂ）（１Ａ・３）

（１Ｂ・２Ａ）（１Ｂ・２Ｂ）（１Ｂ・３）

（２Ａ・２Ｂ）（２Ａ・３）

（２Ｂ・３）　計10通り

和が４となるのは、計３通り

よって、３／10

問題

ＡさんとＢさんは、それぞれ自分の箱の中からカードを取り出して、得点を競うゲームをすることにした。次の図のように、Ａさんの箱には、２の数字が書いてある赤いカード１枚と４、６の数字が１つずつ書いてある白いカードが２枚入っている。また、Ｂさんの箱には、４の数字が書いてある赤いカード１枚と２、６の数字が１つずつ書いてある白いカードが２枚入っている。

それぞれ自分の箱の中から同時に２枚のカードを取り出して、次のルールにしたがって得点を決め、得点が高いほうを勝ちとし、得点が同じときは引き分けとする。

【ルール】

・赤いカードと白いカードを１枚ずつ取り出したとき、書いてある数字の積を得点とする。

・白いカードを２枚取り出したとき、書いてある数字の和を得点とする。

このとき、次の問いに答えなさい。ただし、それぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

1）Ａさんの箱の中から同時に２枚のカードを取り出すとき、もっとも大きい場合の得点は何点か求めなさい。

2）ゲームに勝つ確率は、ＡさんとＢさんのどちらが大きいか、求めた確率と合わせて答えなさい。

1）

赤２・白４→２×４＝８点

赤２・白６→２×６＝12点

白４・白６→４＋６＝10点

よって、12点

2）

Ｂさんの箱から取り出す場合

赤４・白２→４×２＝８点

赤４・白６→４×６＝24点

白２・白６→２＋６＝８点

Ａさんが勝つ

Ａ12点　Ｂ８点（赤４白２）

Ａ12点　Ｂ８点（白２白６）

Ａ10点　Ｂ８点（赤４白２）

Ａ10点　Ｂ８点（白２白６）

Ｂさんが勝つ

Ｂ24点　Ａ８点

Ｂ24点　Ａ12点

Ｂ24点　Ａ10点

引き分け

Ａ８点　Ｂ８点（赤４白２）

Ａ８点　Ｂ８点（白２白６）

すべての組み合わせは９通り

Ａさんが勝つのは４通り

Ｂさんが勝つのは３通り

よって、

勝つ確率が大きいのは、Ａさん

確率　4/9

問題

下の図のような、１辺が１の正方形ＡＢＣＤがあり、頂点Ｄに点Ｐ、頂点Ａに点Ｑがある。

赤と白の２個のさいころを同時に１回投げて、赤いさいころの出た目の数だけＰを左回りに頂点から頂点へ移動させ、白いさいころの出た目の数だけＱを左回りに頂点から頂点へ移動させる。

たとえば、赤いさいころの出た目が１、白いさいころの出た目が２のときは、ＰをＤ→Ａと移動させ、ＱをＡ→Ｂ→Ｃと移動させる。次の問いに答えなさい。

1）赤と白の２個のさいころを同時に１回投げて、Ｐ、Ｑを移動させるとき、Ｐの位置が頂点Ｂで、Ｑの位置が頂点Ｄになる確率を求めなさい。

2）赤と白の２個のさいころを同時に１回投げて、Ｐ、Ｑを移動させるとき、Ｐの位置とＱの位置が同じ頂点になる確率を求めなさい。

1）

２個さいころを同時に投げたとき、

すべての組み合わせは、

６通り×６通り＝36通り

ＰがＢにあるときは、

赤が２と６のとき

ＱがＤにあるときは、

白が３のとき

よって、

（赤，白）＝（２，３）（６，３）の２通り

求める確率は、2／36＝1/18

2）

赤１のとき、Ｄ→Ａ

ＱがＡにいるのは、白４のとき

赤２のとき、Ｄ→Ｂ

ＱがＢにいるのは、白１・白５のとき

赤３のとき、Ｄ→Ｃ

ＱがＣにいるのは、白２・白６のとき

赤４のとき、Ｄ→Ｄ

ＱがＤにいるのは、白３のとき

赤５のとき、Ｄ→Ａ２周目

ＱがＡにいるのは、白４のとき

赤６のとき、Ｄ→Ｂ２周目

ＱがＢにいるのは、白１・白５のとき

よって、

（赤、白）＝（１，４）（２，１）（２，５）（３，２）（３，６）（４，３）（５，４）（２，１）（２，５）の９通り

求める確率は、

９／36＝１／４

問題

下の図のような正六角形ＡＢＣＤＥＦと、Ａ～Ｆの文字が１つずつ書かれた６枚のカードがある。カードをよくきって３枚同時にひき、６個の頂点からカードに書かれた文字と同じ３個の頂点を結んで三角形をつくる。このとき、二等辺三角形ができる確率を求めなさい。ただし、どのカードがひかれることも同様に確からしいものとする。

二等辺三角形ができるとき

１つの頂点と隣り合う２辺の頂点

👉６個できる

△ＡＢＣ、ＢＣＤ、ＣＤＥ、ＤＥＦ、ＥＦＡ、ＦＡＢ　

六角形の辺を使わない３つの頂点

👉２個できる

△ＡＣＥ、ＢＤＦ（正三角形）

二等辺三角形ができないとき

六角形の１辺と対角線２本

１辺につき２個できるから、計12個できる。

△ＡＢＤ、ＡＢＥなど

全部で20個の三角形ができる

そのうち、二等辺三角形は８個できるから

求める確率は、

８／20＝２／５

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