確率高校数学

たむかい学習教室
7月6日
読了時間: 17分

確率高校数学

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校数Ａでは、「確率」の学習があります。２個のさいころがゾロ目になる場合のように、起こり得るすべての場合（36通り）と特定の場合（6通り）をもとに確率（1/6）を求めます。集合、順列、組合せの学習が基本になります。

問題

1）Ａ、Ｂの２人を含む６人のリレー選手がいる。走る順番をくじ引きで決めるとき、Ａが１番目、Ｂが６番目になる確率を求めよ。

2）Ａ、Ｂの２人を含む４人が、くじ引きで順番を決めて横１列に並ぶとき、次の場合の確率を求めよ。

　①　Ａが左端に並ぶ。

　②　Ｂが左端、Ａが右端に並ぶ。

1）

６人全員の並び順

₆Ｐ₆＝６！

他の４人の並び順

₄Ｐ₄＝４！

求める確率

４！/６！

＝4・3・2・1 / 6・5・4・3・2・1

＝1/30

2）①

４人全員の並び順　４！

他の３人の並び順　３！

３！/４！

＝3・2・1 / 4・3・2・1

＝1/4

②

他の２人の並び順

２！/４！

＝2・1 / 4・3・2・1

＝1/12

問題

1）赤玉４個、白玉５個の入った袋から、２個の玉を同時に取り出すとき、赤玉１個、白玉１個が出る確率を求めよ。

2）大人６人、子ども４人の合計10人の中から抽選で４人を選ぶとき、次のように選ばれる確率を求めよ。

　①　大人が２人、子どもが２人

　②　全員が子ども

1）

計９個から２個取り出す組合せ

₉Ｃ₂

＝9・8 / 2・1

＝36通り

赤玉４個から１個取り出す組合せ

₄Ｃ₁＝４通り

白玉５個から１個取り出す組合せ

₅Ｃ₁＝５通り

赤玉１個、白玉１個取り出す組合せ

積の法則より　４×５＝20通り

以上から

20/36＝5/9

2）①

計10人から４人選ぶ組合せ

10Ｃ₄

＝10・9・8・7 / 4・3・2・1

＝210通り

大人６人から２人選ぶ組合せ

₆Ｃ₂

＝6・5 / 2・1

＝15通り

子ども４人から２人選ぶ組合せ

₄Ｃ₂

＝4・3 / 2・1

＝６通り

大人２人、子ども２人選ぶ組合せ

15×６＝90

以上から

90/210＝3/7

②

子ども４人から４人選ぶ組合せ

₄Ｃ₄＝1通り

以上から

1/210

Ａ、Ｂの積事象　Ａ∩Ｂ

ＡとＢがともに起こる

Ａ、Ｂの和事象　Ａ∪Ｂ

ＡまたはＢが起こる

問題

1から10までの番号札10枚から１枚引くとき、「奇数の番号を引く」という事象をＡ、「７以上の番号を引く」という事象をＢとする。積事象Ａ∩Ｂ、和事象Ａ∪Ｂを集合で表せ。

Ａ＝｛1,3,5,7,9｝

Ｂ＝｛7,8,9,10｝

Ａ∩Ｂ＝｛7,9｝

Ａ∪Ｂ＝｛1,3,5,7,8,9,10｝

排反

事象Ａ、Ｂが同時に起こらない

Ａ∩Ｂ＝∅（空事象）

問題

１個のさいころを投げるとき、「偶数の目が出る」という事象をＡ、「２以下の目が出る」という事象をＢ、「３の倍数の目が出る」という事象をＣとする。どの事象とどの事象が互いに排反であるか。

Ａ＝｛2,4,6｝　Ｂ＝｛1,2｝　Ｃ＝｛3,6｝

Ａ∩Ｂ＝｛2｝

Ａ∩Ｃ＝｛6｝

Ｂ∩Ｃ＝∅

よって、ＢとＣ

加法定理

事象Ａ、Ｂが互いに排反であるとき

Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）

問題

１等から４等の当たる確率が、下のようなくじ引きがある。

１等　確率 2/100

２等　確率 5/100

３等　確率 10/100

４等　確率 20/100

このくじ引きを１回行うとき、各等が当たる事象は互いに排反である。このとき、次の場合の確率を求めよ。

1）３等または４等が当たる。

2）２等から４等までのいずれかが当たる。

1）

加法定理より

10/100＋20/100

＝30/100

＝3/10

2）

5/100＋10/100＋20/100

＝35/100

＝7/20

問題

赤玉４個、白玉５個の入った袋から、２個の玉を同時に取り出すとき、２個が同じ色である確率を求めよ。

２個とも同じ色

Ａ「２個とも赤玉が出る」

Ｂ「２個とも白玉が出る」

和事象Ａ∪Ｂ（ＡまたはＢ）、ＡとＢは互いに排反

計９個から２個取り出す組合せ

₉Ｃ₂＝36通り

赤玉４個から２個取り出す組合せ

₄Ｃ₂＝６通り

確率Ｐ（Ａ）＝6/36

白玉５個から２個取り出す組合せ

₅Ｃ₂＝10通り

確率Ｐ（Ｂ）＝10/36

加法定理より

Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）

＝6/36＋10/36

＝16/36

＝4/9

問題

赤玉２個、白玉３個、青玉４個の入った袋から、３個の玉を同時に取り出すとき、３個とも同じ色である確率を求めよ。

計９個から３個取り出す組合せ

₉Ｃ₃＝84通り

白玉３個から３個取り出す組合せ

₃Ｃ₃＝1通り

確率　1/84

青玉４個から３個取り出す組合せ

₄Ｃ₃＝4通り

確率　4/84

赤玉の場合なし

よって、

1/84＋4/84

＝5/84

余事象

事象Ａに対して「Ａが起こらない」（Ａ⁻・Ａバー）

ＡとＡ⁻は互いに排反

加法定理から

Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ａ⁻）＝１

Ｐ（Ａ⁻）＝１－Ｐ（Ａ）

問題

1）１から100までの100枚の番号札から１枚引くとき、５の倍数でない番号を引く確率を求めよ。

2）１から200までの200枚の番号札から１枚引くとき、３の倍数でない番号を引く確率を求めよ。

1）

５の倍数を引く確率

1から100までのうち、５の倍数は、

100÷5＝20枚

よって、求める確率は、

1－20/100

＝80/100

＝4/5

2）

３の倍数を引く確率

1から200までのうち、３の倍数は、

200÷3＝66.6..だから、66枚

よって、求める確率は、

1－66/200

＝134/200

＝67/100

問題

１から９までの番号札９枚から４枚を同時に引くとき、少なくとも１枚が偶数の番号である確率を求めよ。

「４枚とも奇数」の余事象である

計９枚から４枚引く組合せ

₉Ｃ₄＝126通り

５枚の奇数札から４枚引く組合せ

₅Ｃ₄＝5通り

４枚とも奇数を引く確率は、5/126

求めるのはこの余事象の確率だから

1－5/126

＝121/126

問題

２個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）少なくとも１個は２の目が出る。

2）異なる目が出る。

1）

「２個とも２以外の目が出る」の余事象

出る目は全部で、6×6＝36通り

１個で２以外の目が出る確率は、5/6

２個で、5/6×5/6＝25/36

求めるのはこの余事象の確率だから

1－25/36

＝11/36

2）

「同じ目が出る」の余事象

同じ目が出るのは6通り、確率は6/36＝1/6

この余事象の確率だから

1－1/6

＝5/6

一般の和事象の確率

事象Ａ、Ｂが互いに排反でないとき

Ｐ（Ａ∪Ｂ）

＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ∩Ｂ）

※ＡとＢに重複している要素は除く

問題

1から30までの30枚の番号札から１枚引くとき、その番号が２の倍数または３の倍数である確率を求めよ。

Ａ「２の倍数」

Ｂ「３の倍数」

ＡまたはＢを引くときだから、Ｐ（Ａ∪Ｂ）を求める。

Ａ＝｛2・1, 2・2, 2・3, ..., 2・15｝

15通り

Ｂ＝｛3・1, 3・2, 3・3, ..., 3・10｝

10通り

Ａ∩Ｂ

＝｛6・1, 6・2, 6・3, 6・4, 6・5｝

5通り

２の倍数を引く確率　15/30

３の倍数を引く確率　10/30

２の倍数かつ３の倍数を引く確率　5/30

以上から

15/30＋10/30－5/30

＝20/30

＝2/3

問題

1から50までの50枚の番号札から１枚引くとき、その番号が次のような数である確率を求めよ。

1）３の倍数または４の倍数

2）３の倍数でも４の倍数でもない数

1）

３の倍数｛3・1, 3・2, 3・3, ..., 3・16｝

16通り

４の倍数｛4・1, 4・2, 4・3, ..., 4・12｝

12通り

３の倍数かつ４の倍数

｛12・1, 12・2, 12・3, 12・4｝

4通り

３の倍数を引く確率　16/50

４の倍数を引く確率　12/50

３の倍数かつ４の倍数を引く確率　4/50

以上から

16/50＋12/50－4/50

＝24/50

＝12/25

2）

1）の余事象であるから

1－12/25

＝13/25

独立な試行の確率

２つの試行ＳとＴが独立であるとき、Ｓで事象Ａが起こり、かつＴで事象Ｂが起こる確率ｐ

ｐ＝Ｐ（Ａ）×Ｐ（Ｂ）

問題

１枚の硬貨と１個のさいころを投げるとき、硬貨は表が出て、さいころは５以上の目が出る確率を求めよ。

２つの試行は独立である

１枚の硬貨で表が出る

確率　1/2

１個のさいころで５以上の目が出る（５と６）

確率　2/6

以上から

1/2×2/6＝1/6

問題

２枚の硬貨と１個のさいころを投げるとき、次の場合の確率を求めよ。

1）硬貨は２枚とも表が出て、さいころは偶数の目が出る。

2）硬貨は１枚だけ表が出て、さいころは２以下の目が出る。

1）

硬貨

すべての組合せ　4通り

※表/表、裏/裏、表/裏、裏/表

２枚とも表が出る組合せ　1通り

確率　1/4

さいころ

偶数の目が出る　3通り（2,4,6）

確率　3/6

以上から

1/4×3/6＝1/8

2）

硬貨

１枚だけ表が出る組合せ　2通り

確率　2/4

さいころ

２以下の目が出る　2通り（1,2）

確率　2/6

以上から

2/4×2/6＝1/6

問題

１個のさいころを３回続けて投げるとき、３回とも１以外の目が出る確率を求めよ。

１以外の目が出る確率　5/6

それぞれの試行は独立であるから

（5/6）³

＝125/216

問題

１枚の硬貨を３回続けて投げるとき、次の確率を求めよ。

1）３回とも表が出る確率

2）少なくとも１回は裏が出る確率

1）

１回の試行で表が出る確率　1/2

それぞれの試行は独立であるから

（1/2）³

＝1/8

2）

「３回とも表が出る」の余事象

1－1/8

＝7/8

問題

Ａの袋には赤玉３個と白玉２個、Ｂの袋には赤玉２個と白玉４個が入っている。Ａ、Ｂの袋から１個ずつ玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。

1）ともに赤玉を取り出す確率

2）同じ色の玉を取り出す確率

3）Ａから赤玉、Ｂから白玉を取り出す確率

4）Ａ、Ｂから取り出す玉の色が異なる確率

1）

Ａの袋

赤玉を取り出す確率　3/5

Ｂの袋

赤玉を取り出す確率　2/6

それぞれの試行は独立であるから

3/5×2/6

＝1/5

2）

Ａの袋

白玉を取り出す確率　2/5

Ｂの袋

白玉を取り出す確率　4/6

ともに白玉を取り出す確率は

2/5×4/6

＝4/15

「ともに赤玉を取り出す」「ともに白玉を取り出す」の２つの事象は排反だから、

加法定理より

1/5＋4/15

＝7/15

反復試行の確率

１回の試行で事象Ａの起こる確率をｐ

この試行をｎ回行う反復試行で、Ａがちょうどｒ回起こる確率

nＣr×ｐのｒ乗×（１－ｐ）のｎ－ｒ乗

問題

１枚の硬貨を５回投げて表がちょうど２回出る確率を求めよ。

１回の試行

表が出る確率　1/2

反復試行を５回行い、表が２回出るから

₅Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）⁵⁻²

＝10×1/4×1/8

＝5/16

問題

１個のさいころを４回投げるとき、１の目がちょうど３回出る確率を求めよ。

１回の試行

１の目が出る確率　1/6

反復試行を４回行い、１の目が３回出るから

₄Ｃ₃×（1/6）³×（1－1/6）⁴⁻³

＝4×1/216×5/6

＝1/54×5/6

＝5/324

問題

赤玉２個、白玉４個の入った袋から玉を１個取り出し、色を見てからもとにもどす。この試行を６回行うとき、次の確率を求めよ。

1）赤玉が５回以上出る確率

2）６回目に３度目の赤玉が出る確率

1）

１回の試行

赤玉が出る確率　2/6＝1/3

６回のうち赤玉が５回以上出るのは、

「赤玉が５回出る」または「赤玉が６回出る」確率

反復試行を６回行い、赤玉が５回出る確率は、

₆Ｃ₅×（1/3）⁵×（1－1/3）⁶⁻⁵

＝6×1/243×2/3

＝4/243

反復試行を６回行い、赤玉が６回出る確率は、

（1/3）⁶

＝1/729

２つの事象は排反であるから、加法定理より、

4/243＋1/729

＝12/729＋1/729

＝13/729

2）

「５回目までに赤玉が２回出て、６回目にもう１回出る」確率

５回目までに赤玉が２回出る確率は、

₅Ｃ₂×（1/3）²×（1－1/3）⁵⁻²

＝10×1/9×8/27

＝80/243

６回目に赤玉が出る確率は、

2/6＝1/3

２つの試行は独立であるから

80/243×1/3

＝80/729

問題

赤玉６個、白玉４個の入った袋から玉を１個取り出し、色を見てからもとにもどす。この試行を５回行うとき、次の確率を求めよ。

1）赤玉が４回以上出る確率

2）５回目に２度目の赤玉が出る確率

1）

１回の試行

赤玉が出る確率　6/10＝3/5

５回のうち赤玉が４回以上出るのは、

「赤玉が４回出る」または「赤玉が５回出る」確率

反復試行を５回行い、赤玉が４回出る確率は、

₅Ｃ₄×（3/5）⁴×（1－3/5）⁵⁻⁴

＝5×81/625×2/5

＝162/625

反復試行を５回行い、赤玉が５回出る確率は、

（3/5）⁵

＝243/3125

２つの事象は排反であるから、加法定理より、

162/625＋243/3125

＝810/3125＋243/3125

＝1053/3125

2）

「４回目までに赤玉が１回出て、５回目にもう１回出る」確率

４回目までに赤玉が１回出る確率は、

₄Ｃ₁×3/5×（1－3/5）⁴⁻¹

＝4×3/5×8/125

＝96/625

５回目に赤玉が出る確率は3/5

２つの試行は独立であるから

96/625×3/5

＝288/3125

問題

数直線上を動く点Ｐが原点の位置にある。１枚の硬貨を投げて、表が出たときはＰを正の向きに２だけ進め、裏が出たときＰを負の向きに１だけ進める。硬貨を６回投げ終わったとき、Ｐが原点にもどっている確率を求めよ。

表の回数ｒ回とすると、裏の回数は（６－ｒ）回

表が出たとき

＋２×ｒ＝２ｒ　進む

裏が出たとき

－１×（６－ｒ）＝ｒ－６　進む

Ｐの位置はこれらの和だから、

２ｒ＋（ｒ－６）

＝３ｒ－６

原点の０の位置に戻るのは、

３ｒ－６＝０

ｒ＝２

よって、Ｐが原点に戻るのは表が２回出たとき（反復試行を６回行い、表が２回出る確率）

表が出る確率　1/2

したがって、求める確率は

₆Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）⁶⁻²

＝15×1/4×1/16

＝15/64

問題

数直線上を動く点Ｐが原点の位置にある。１枚の硬貨を投げて、表が出たときはＰを正の向きに２だけ進め、裏が出たときはＰを負の向きに３だけ進める。硬貨を５回投げ終わったとき、Ｐが原点にもどっている確率を求めよ。

表の回数ｒ回とすると、裏の回数は（５－ｒ）回

表が出たとき

＋２×ｒ＝２ｒ　進む

裏が出たとき

－３×（５－ｒ）＝３ｒ－15　進む

Ｐの位置はこれらの和だから、

２ｒ＋（３ｒ－15）

＝５ｒ－15

原点の０の位置に戻るのは、

５ｒ－15＝０

ｒ＝３

よって、Ｐが原点に戻るのは表が３回出たとき（反復試行を５回行い、表が３回出る確率）

表が出る確率　1/2

したがって、求める確率は

₅Ｃ₃×（1/2）³×（1－1/2）⁵⁻³

＝10×1/8×1/4

＝5/16

条件付き確率

１つの試行において、事象Ａが起こったとして、そのときに事象Ｂの起こる確率をＰA（Ｂ）で表す。

　　　　　　Ｐ（Ａ∩Ｂ）

ＰA（Ｂ）＝ ━━━━━━

　　　　　　　Ｐ（Ａ）

問題

ある博物館の入館者のうち、全体の20％が高校生で、全体の15％が前売り券で入館した高校生である。入館した高校生の中から１人を選び出すとき、その人が前売り券で入館している確率を求めよ。

入館者全体から選ばれた１人が

Ａ「高校生である」

Ｂ「前売り券で入館している」

Ｐ（Ａ）＝20/100

Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝15/100

よって、求める確率は

ＰA（Ｂ）

＝15/100÷20/100

＝15/20

＝3/4

問題

大人と子どもの人数の比が３：２であるグループに、ある提案をしたところ、子どもで賛成した人数は全体の15％であった。このグループの子どもの中から１人を選び出すとき、その人が提案に賛成である確率を求めよ。

グループから選ばれた１人が

Ａ「子どもである」

Ｂ「提案に賛成している」

Ｐ（Ａ）＝2/5

Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝15/100

よって、求める確率は

ＰA（Ｂ）

＝15/100÷2/5

＝3/8

乗法定理

事象Ａ、Ｂがともに起こる確率

Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝Ｐ（Ａ）ＰA（Ｂ）

問題

当たりくじ４本を含む10本のくじを、Ａ、Ｂの２人がこの順に１本ずつ引く。ただし、引いたくじはもとにもどさない。このとき、次の確率を求めよ。

1）２人とも当たる確率

2）Ａが当たり、Ｂがはずれる確率

3）Ａがはずれ、Ｂが当たる確率

4）２人ともはずれる確率

1）

Ａ「Ａが当たる」

Ｂ「Ｂが当たる」

Ａが当たる確率　4/10

Ａが当たったときに、残り９本で当たり３本を含むから、

条件付き確率

ＰA（Ｂ）＝3/9

求める確率は、乗法定理より

Ｐ（Ａ∩Ｂ）

＝4/10×3/9

＝2/15

2）

Ａ「Ａが当たる」

Ｂ「Ｂがはずれる」

Ａが当たったときに、残り９本ではずれ６本を含むから、

条件付き確率

ＰA（Ｂ）＝6/9

求める確率は、乗法定理より

Ｐ（Ａ∩Ｂ）

＝4/10×6/9

＝4/15

3）

Ａ「Ａがはずれる」

Ｂ「Ｂが当たる」

Ａがはずれる確率　6/10

Ａがはずれたときに、残り９本で当たり４本を含むから、

条件付き確率

ＰA（Ｂ）＝4/9

求める確率は、乗法定理より

Ｐ（Ａ∩Ｂ）

＝6/10×4/9

＝4/15

4）

Ａ「Ａがはずれる」

Ｂ「Ｂがはずれる」

Ａがはずれたときに、残り９本ではずれ５本を含むから、

条件付き確率

ＰA（Ｂ）＝5/9

求める確率は、乗法定理より

Ｐ（Ａ∩Ｂ）

＝6/10×5/9

＝1/3

問題

赤玉３個、白玉10個の入った袋から、玉を１個ずつ３個取り出す。ただし、取り出した玉はもとにもどさない。このとき、取り出した玉がすべて赤玉である確率を求めよ。

１回目に赤玉を取り出す確率　3/13

２回目に赤玉を取り出す確率　2/12

３回目に赤玉を取り出す確率　1/11

求める確率は、乗法定理より

3/13×2/12×1/11

＝1/286

問題

当たりくじを３本含む10本のくじを、Ａ、Ｂの２人がこの順に１本ずつ引く。ただし、引いたくじはもとにもどさない。このとき、Ｂが当たる確率を求めよ。

事象①

Ａが当たり、Ｂも当たる確率

Ａが当たる確率　3/10

Ｂが当たる確率　2/9

乗法定理より

3/10×2/9＝6/90

事象②

Ａがはずれ、Ｂが当たる確率

Ａがはずれる確率　7/10

Ｂが当たる確率　3/9

乗法定理より

7/10×3/9＝21/90

①、②は互いに排反であるから、

加法定理より

6/90＋21/90

＝27/90

＝3/10

問題

当たりくじ５本を含む12本のくじを、Ａ、Ｂの２人がこの順に１本ずつ引く。ただし、引いたくじはもとにもどさない。このとき、Ｂが当たる確率を求めよ。

事象①

Ａが当たり、Ｂも当たる確率

Ａが当たる確率　5/12

Ｂが当たる確率　4/11

乗法定理より

5/12×4/11＝20/132

事象②

Ａがはずれ、Ｂが当たる確率

Ａがはずれる確率　7/12

Ｂが当たる確率　5/11

乗法定理より

7/12×5/11＝35/132

①、②は互いに排反であるから、

加法定理より

20/132＋35/132

＝55/132

＝5/12

期待値

数量Ｘの値と確率

Ｘ　ｘ₁，ｘ₂，ｘ₃，...，ｘn

確率ｐ₁，ｐ₂，ｐ₃，...，ｐn

Ｘの期待値は

ｘ₁ｐ₁＋ｘ₂ｐ₂＋ｘ₃ｐ₃＋...＋ｘnｐn

問題

５枚の硬貨を同時に投げて、表の出た硬貨の枚数が５、４、３の場合に、それぞれ得点40、16、４を得るが、それ以外の場合には得点は得られないとする。得点の期待値を求めよ。

５枚の硬貨を同時に投げる

表と裏の出方　２⁵＝32通り

表が５枚出る確率

（1/2）⁵＝1/32

表が４枚出る確率

₅Ｃ₄×（1/2）⁴×（1－1/2）⁵⁻⁴

＝5×1/16×1/2

＝5/32

表が３枚出る確率

₅Ｃ₃×（1/2）³×（1－1/2）⁵⁻³

＝10×1/8×1/4

＝5/16

よって、求める期待値は

40×1/32＋5/32×16＋5/16×4

＝20/4

＝5

問題

次の①、②の２つの場合のいずれかが選べるとき、どちらを選んだ方が、得られる金額の期待値が大きいか。

①　確実に30000円得られる場合

②　40000円得られる確率が0.8で、何も得られない確率が0.2である場合

②の期待値

40000×0.8＋0×0.2

＝32000

よって、②

問題

次の①～③の３つの場合の中で、得られる金額の期待値が最も大きいのはどれか。

①　確実に600円得られる場合

②　硬貨を１枚投げて、表が出たら1000円、裏が出たら500円得られる場合

③　さいころを１回投げて、200円に出た目を掛けた金額が得られる場合

②の期待値

1000×1/2＋500×1/2

＝750

③の期待値

1/6×200×（1+2+3+4+5+6）

＝700

よって、②

問題

赤玉２個と白玉３個が入った袋から、３個の玉を同時に取り出し、出た赤玉１個につき100円もらえるゲームがある。このゲームの参加料が150円であるとき、このゲームに参加することは得であるといえるか。

計５個から３個を取り出す組合せ

₅Ｃ₃＝10通り

赤玉０個（白玉３個）の確率

白玉３個から３個取り出す組合せ

₃Ｃ₃＝1通り

確率　1/10

赤玉１個の確率

赤玉２個から１個、白玉３個から２個取り出す組合せ

₂Ｃ₁×₃Ｃ₂＝6通り

確率　6/10

赤玉２個の確率

赤玉２個から２個、白玉３個から１個取り出す組合せ

₂Ｃ₂×₃Ｃ₁＝3通り

確率　3/10

よって、期待値は

1/10×0＋6/10×100＋3/10×200

＝60＋60

＝120

期待値は120円だから、得であるといえない

問題

50円硬貨３枚を同時に投げて、表が出た硬貨を全部もらえるゲームがある。１回のゲームで、受け取る金額の期待値を求めよ。

また、このゲームの参加料が１回80円のとき、このゲームに参加することは得といえるか。

１枚投げたときの表が出る確率　1/2

表が３枚出る確率

（1/2）³＝1/8

表が２枚出る確率

₃Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）³⁻²

＝3×1/4×1/2

＝3/8

表が１枚出る確率

₃Ｃ₁×1/2×（1－1/2）³⁻¹

＝3×1/2×1/4

＝3/8

よって、期待値は

1/8×150＋3/8×100＋3/8×50

＝600/8

＝75

期待値は75円、得であるといえない

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【たむかい学習教室】

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多くの生徒さんや親御さんのご期待に、本当の意味でお応えできるよう、当塾では「生徒一人に教師一人」の授業で、塾生の学習を本格的にサポートしております。

塾生のホンネ

「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」

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「学校の授業で難しいことが増えてきた」

「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」

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　＜１か月授業料（税込）＞

　90分授業：14,800円（月4回）

120分授業：17,600円（月4回）

　(例)１回・90分授業の場合

　教師１名・生徒３名の複数指導

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　　↕

　教師1名・生徒1名の完全個別指導

　⇒完全90分の個別指導（当塾）

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親御さんの声

「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」

合格実績

八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小

今年度塾生28名（2025年4月現在）

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通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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