空間図形高校入試対策

たむかい学習教室
1月14日
読了時間: 8分

空間図形高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では空間図形に関する出題があります。表面積や体積を求めるための公式は基本で、平面の展開図を利用して求める出題もあります。以下の問題では、入試で使う公式も掲載しています。

問題

下の図のように、１辺の長さが５cmの正方形ＡＢＣＤを底面とし、高さが４cmの正四角錐ＯＡＢＣＤがある。この正四角錐の体積を求めなさい。

錐の体積

（1/3）×底面積×高さ

錐の体積の公式より

（1/3）×５²×４＝100/3

よって、100/3 cm³

問題

下図は、半径２cmの円を底面とする円錐の展開図であり、円錐の側面になる部分は半径５cmのおうぎ形である。このおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

おうぎ形の中心角

360°×（底面の半径／母線）

360°×（２／５）＝144°

よって、144°

※

底面の円周は、２π×２＝４π

半径５cmの円周は、２π×５＝10π

おうぎ形は、

10πのうちの４πの部分だから

360°×（４／10）

＝360°×（２／５）＝144°

問題

下の図は、円柱の投影図である。立面図は縦４cm、横６cmの長方形であり、平面図は円である。このとき、この円柱の体積と表面積を求めなさい。

柱の体積　底面積×高さ

底面の半径は、６÷２＝３cm

高さは、４cm

柱の体積の公式より

π×３²×４＝36π

よって、36π cm³

円柱の表面積　底面積２つ分＋側面積

底面積は、π×３²×２＝18π cm²

側面積は長方形

縦は円柱の高さと同じ４cm

横は底面の円周と同じだから

２π×３＝６π cm

側面積は、４×６π＝24π cm²

よって、表面積は、

18π＋24π＝42π cm²

問題

下の図の△ＡＢＣを、辺ＡＣを軸として１回転してできる立体の表面積を求めなさい。ただし、円周率はπを用いること。

円錐の表面積　底面積＋側面積

底面：円　側面：おうぎ形

ＡＣを軸に１回転すると

底面の半径４cm、母線５cmの円錐になる。

底面積は、π×４²＝16π cm²

側面のおうぎ形の面積は、

（1/2）×母線×弧の長さ　で求められる。

弧の長さは底面の円周と同じだから

２π×４＝８π cm

側面積は、

（1/2）×５×８π＝20π cm²

よって、表面積は、

16π＋20π＝36π cm²

問題

下の図のような半径２cmの半円を、直径ＡＢを含む直線ℓを軸として１回転させてできる立体の体積と表面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

１回転すると半径２cmの球ができる

球の体積　（4/3）πｒ³

球の表面積　４πｒ²

球の体積の公式より

（4/3）π×２³＝（32/3）π cm³

球の表面積の公式より

４π×２²＝16π cm²

問題

下の図のように、半径３cm、中心角90°のおうぎ形ＯＡＢがある。このとき、Ａ⌒Ｂと弦ＡＢで囲まれた部分を直線ＯＡを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。

中心角90°のおうぎ形から半球ができる

△ＡＢＯから円錐ができる

よって、

（半球の体積）－（円錐の体積）で求める。

半球の半径は３cmだから

球の体積の公式より

（4/3）π×３³×（1/2）＝18π cm³

点ＡとＢは円周上の点だから

ＯＡ＝ＯＢ

円錐の底面の半径と高さは３cmだから

円錐の体積の公式より

（1/3）×π×３²×３＝９π cm³

よって、求める体積は、

18π－９π＝９π cm³

問題

下の図のようなおうぎ形ＡＢＥと長方形ＢＣＤＥをくっつけた図形を、直線ＡＣを軸として１回転させてできる立体の体積は何cm³か、求めなさい。ただし、ＡＢ＝ＢＥ＝２cm、ＢＣ＝３cmとする。

おうぎ形から半球、長方形から円柱ができる。

よって、

（半球の体積）＋（円柱の体積）で求める。

半球の半径は２cmだから

球の体積の公式より

（4/3）×π×２³×（1/2）＝（16/3）π cm³

円柱の底面の半径は２cm、高さは３cmだから

円柱の体積の公式より

π×２²×３＝12π cm³

よって、求める体積は、

（16/3）π＋12π＝（52/3）π cm³

問題

下の図のように、３辺の長さがａcm、ｂcm、１cm（ａ＞ｂ＞１）である直角三角形ＡＢＣがある。直角三角形ＡＢＣを、直線ＡＢ、ＡＣ、ＢＣを軸としてそれぞれ１回転したときにできる立体をＰ、Ｑ、Ｒとするとき、３つの立体の体積の大小関係を考える。あとの問いに答えなさい。

1）直線ＡＢを軸として１回転したときにできるＰの体積を、ｂを使って表しなさい。

2）直線ＡＣを軸として１回転したときにできるＱの体積は、Ｐの体積の何倍か、ｂを使って表しなさい。

1）

立体Ｐは、

底面の半径ｂcm、高さ１cmの円錐

円錐の体積の公式より

（1/3）×π×ｂ²×１＝πｂ²/３ cm³

2）

立体Ｑは、

底面の半径１cm、高さｂcmの円錐

円錐の体積の公式より

（1/3）×π×１²×ｂ＝πｂ/３ cm³

Ｑの体積÷Ｐの体積だから

（πｂ/３）÷（πｂ²/３）

＝（πｂ/３）×（３/πｂ²）

＝１/ｂ

よって、１/ｂ倍

3）直線ＢＣを軸として１回転したときにできるＲの体積は、Ｐの体積の何倍か、ａを使って表しなさい。

4）体積の小さい順に、Ｐ、Ｑ、Ｒを並べなさい。

3）

ＡからＢＣへの垂線をＡＨとする

立体Ｒは、

底面の半径ＡＨ、高さＣＨの円錐と、

底面の半径ＡＨ、高さＢＨの円錐。

半径ＡＨを求める

△ＡＢＣの面積は、

（1/2）×ＡＣ×ＢＡ

＝（1/2）×ｂ×１＝ｂ/２ cm²

底辺をＢＣ、高さをＡＨとすると

（1/2）×ａ×ＡＨ＝ｂ/２

よって、

ＡＨ＝ｂ/ａ cm

２つの円錐は底面が共通だから

円錐の体積の公式より

（1/3）×π×（ＡＨ）²×（ＣＨ＋ＢＨ）

＝（1/3）×π×（ｂ/ａ）²×ａ

＝πｂ²/３ａ cm³

Ｒの体積÷Ｐの体積だから

（πｂ²/３ａ）÷（πｂ²/３）

＝（πｂ²/３ａ）×（３/πｂ²）

＝１/ａ

よって、１/ａ倍

4）

ＱはＰの１/ｂ倍、ＲはＰの１/ａ倍

ａ＞ｂだから

Ｑの体積がＲより大きい

よって、Ｒ＜Ｑ＜Ｐ

青森県立高校入試（2024年）

問題

下の図は、底面の半径が１cm、高さが２√２cmの円錐である。母線ＡＢの中点をＭとし、点Ｂから点Ｍまで、円錐の側面にそって母線ＡＣを通り、最も短くなるように糸をかける。あとの問いに答えなさい。

1）母線ＡＢの長さを求めなさい。

2）この円錐の展開図をかいたとき、側面になるおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

3）糸の長さを求めなさい。

1）

底面の中心をＯとする

△ＡＢＯにおいて、三平方の定理より

ＡＢ²＝ＡＯ²＋ＯＢ²

ＡＢ²＝（２√２）²＋１²＝９

ＡＢ＞０より

ＡＢ＝３cm

2）

中心角の大きさは、

360°×（底面の半径／母線）

で求められるから

360°×（1/3）＝120°

よって、120°

3）

下の展開図の通り、

半直線ＢＡとＭからの垂線の交点をＨとする

ＢＭが最短距離となる

△ＡＭＨにおいて

∠ＢＡＭ＝120°だから

∠ＭＡＨ＝180°－120°＝60°

∠ＭＨＡ＝90°だから

直角三角形の辺の比より

ＭＨ：ＭＡ＝√３：２

ＭＡ＝３÷２＝3/2cmだから

ＭＨ：3/2＝√３：２

ＭＨ＝（3√3/4）cm

また、

ＡＨ：ＭＡ＝１：２

ＡＨ：3/2＝１：２

ＡＨ＝3/4cm

△ＢＭＨにおいて、三平方の定理より

ＢＭ²＝ＭＨ²＋ＢＨ²

ＢＨ＝ＡＨ＋ＡＢ＝15/4cmだから

ＢＭ²＝（3√3/4）²＋（15/4）²

ＢＭ²＝252/16

ＢＭ＞０より

ＢＭ＝3√7/2 cm

よって、3√7/2 cm

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

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（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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