立体図形高校入試対策

たむかい学習教室
15 分前
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立体図形高校入試対策

12月に入り、中学生は高校入試対策を進めています。

立体図形の柱や錐（すい）の問題では、垂直の関係にある「底面と高さ」を見出すことが基本になります。体積について考える場合は、公式のほかに、体積が底面積と高さとそれぞれ比例の関係にあることも押さえておきます。

問題

下の図のように、円柱の形をした容器に鉄の球を入れた。容器の底面の半径は４cm、高さは８cmであり、球の半径は３cmである。この状態の容器を水平面に置き、容器の底面からはかった水面の高さが６cmになるように水を入れた。あとの問いに答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。

1）容器の容積を求めなさい。

2）球の体積を求めなさい。

3）容器に入っている水をこぼさないようにして、容器から球を取り出したとき、取り出したあとの容器の底面からはかった水面の高さを求めなさい。

1）

円柱の体積＝底面積×高さ

π×４²×８＝128π

よって、128π cm³

2）

球の体積＝（4/3）πｒ³

（4/3）×π×３³＝36π

よって、36π cm³

3）

高さ６cmの円柱の体積

π×４²×６＝96π cm³

これから球の体積を引くと、

水の体積が求められる。

96π－36π＝60π cm³

柱の高さと底面積は比例の関係

高さ６cmに対して96π cm³

求める高さｘcmに対して60π cm³

よって、

６：96π＝ｘ：60π

１：16π＝ｘ：60π

１：４＝ｘ：15

４ｘ＝15

ｘ＝15/4 cm

問題

図１のような、底面がＡＢ＝６cm、ＢＣ＝４cm、∠ＡＢＣ＝90°の直角三角形である三角柱ＡＢＣ-ＤＥＦと、図２のような、底面が１辺３cmの正方形である正四角柱ＧＨＩＪ-ＫＬＭＮがあり、２つの立体の高さは等しい。あとの問いに答えなさい。

1）図１の三角柱について、辺ＢＣと垂直な辺は全部で何本か、答えなさい。

2）図２の正四角柱について、ＨＬ＝ａcmとするとき、正四角柱の表面積を、ａを用いた最も簡単な式で表しなさい。

3）図１の三角柱の体積が96cm³のとき、図２の正四角柱の体積を求めなさい。

4）図２の正四角柱の頂点Ｊと頂点Ｋ、Ｌ、Ｍをそれぞれ結び、四角すいＪ-ＫＬＭＮをつくるとき、図１の三角柱の体積とつくった四角すいの体積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

1）

∠ＡＢＣ＝90°より、ＢＣ⊥ＡＢ

底面と側面が垂直だから

ＢＣ⊥ＥＢ、ＢＣ⊥ＦＣ

よって、３本

2）

底面２つ分は、

３²×２＝18cm²

側面４つ分は、

ａ×３×４＝12ａcm²

よって、

12ａ＋18（cm²）

3）

ＨＬ＝ａより、ＢＥ＝ａとする。

柱の体積の公式より

(1/2）×４×６×ａ＝96

12ａ＝96

ａ＝８cm

ＨＬ＝８だから

３²×８＝72

よって、72cm³

4）

ＢＥ＝ａとすると、

三角柱の体積は（3）より、12ａcm³

四角錐の高さはＪＮ

ＪＮ＝ＢＥ＝ａだから

四角錐の体積は、

（1/3）×３²×ａ＝３ａcm³

よって、

12ａ：３ａ

求める比は、４：１

問題

図１のような、直角三角形ＡＢＣを底面とする三角柱の容器があり、ＡＢ＝５cm、ＡＣ＝８cm、ＡＤ＝12cm、∠ＢＡＣ＝90°である。この容器を水平な台の上に置き、面ＤＥＦから９cmの高さまで水を入れる。あとの問いに答えなさい。

1）辺ＡＤとねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。

2）図２は、水がこぼれないようにふたをした図１の三角柱を、水面が長方形ＢＥＱＰになるように傾けたものである。線分ＰＣの長さを求めなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。

1）

ねじれ：平行でなく、交わらない

ＡＤと平行　ＢＥ、ＣＦ

ＡＤと交わる　ＡＢ、ＡＣ、ＤＥ、ＤＦ

よって、

辺ＢＣ、辺ＥＦ

2）

「水面が長方形ＢＥＱＰになる」

👉水が入っている部分の立体は、

　 △ＢＣＰを底面とする三角柱である。

△ＢＣＰの高さはＢＡだから

三角柱の体積は、

（1/2）×ＰＣ×ＢＡ×ＢＥ

ＢＥ＝ＡＤ＝12cmだから

（1/2）×ＰＣ×５×12　①

図１の水が入っている部分の体積は、

（1/2）×５×８×９＝180　②

①＝②より

（1/2）×ＰＣ×５×12＝180

30ＰＣ＝180

ＰＣ＝６cm

問題

下の図は、ＡＢ＝４cm、ＢＣ＝８cm、ＡＥ＝３cmの直方体ＡＢＣＤＥＦＧＨである。辺ＢＣの中点をＭとし、点Ｍと点Ｄ、Ｇ、点Ｄと点Ｇをそれぞれ結ぶ。あとの問いに答えなさい。

1）∠ＢＭＤの大きさを求めなさい。

2）この直方体を平面ＤＭＧで２つの立体に切り分けるとき、頂点Ａをふくむ方の立体の体積を求めなさい。

1）

ＣＤ＝ＡＢ＝４cm

ＣＭ＝ＭＢ＝４cm

∠ＤＣＭ＝90°

△ＣＤＭは直角二等辺三角形だから

∠ＣＭＤ＝45°

よって、

∠ＢＭＤ

＝180°－∠ＣＭＤ

＝180°－45°＝135°

2）

直方体の体積から、三角錐Ｇ-ＣＤＭの体積を引いて求める。

△ＣＤＭと辺ＧＣは垂直の関係だから

三角錐の底面を△ＣＤＭ、高さをＧＣとする。

ＣＤ＝ＣＭ＝４cm、∠ＤＣＭ＝90°

ＧＣ＝ＡＥ＝３cm

三角錐の体積は、

（1/3）×（1/2）×４²×３＝８cm³

直方体の体積は、

ＡＢ×ＢＣ×ＡＥ

＝４×８×３＝96cm³

よって、求める体積は、

96－８＝88cm³

問題

下の図のような三角柱ＡＢＣ－ＤＥＦがあり、底面は∠ＡＢＣ＝90°、ＡＢ＝ＢＣ＝６cmの直角二等辺三角形で、高さはＡＤ＝10cmである。また、点Ｐは辺ＢＥ上、点Ｑは辺ＣＦ上にあり、ＢＰ＝４cm、ＢＰ＜ＣＱである。あとの問いに答えなさい。

1）三角柱ＡＢＣ－ＤＥＦの体積を求めなさい。

2）ＡＰ＝ＰＱのとき、三角錐Ｑ－ＤＥＦの体積を求めなさい。

1）

底面△ＡＢＣの面積は、

（1/2）×６²＝18cm²

高さＡＤ＝10cm

よって、求める体積は、

18×10＝180cm³

2）

下図の通り、

ＢＣに平行な線分ＰＲをひく。

△ＡＢＰと△ＰＲＱにおいて

ＡＰ＝ＰＱ　①

ＡＢ＝ＢＣ、ＰＲ＝ＢＣより

ＡＢ＝ＰＲ　②

∠ＡＢＰ＝90°　③

ＢＣ//ＰＲより

同位角は等しいから

∠ＰＲＱ＝∠ＢＣＲ＝90°　④

③、④より

∠ＡＢＰ＝∠ＰＲＱ＝90°

直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいから

△ＡＢＰ≡△ＰＲＱ

合同な図形の対応する辺は等しいから

ＲＱ＝ＢＰ＝４cm

また、

ＢＰ//ＣＲより、ＣＲ＝４cm

ＱＦ＝ＣＦ－ＣＲ－ＲＱだから

ＱＦ＝10－４－４＝２cm

∠ＱＦＥ＝90°より

ＱＦは三角錐の高さになる。

よって、求める体積は、

（1/3）×△ＤＥＦ×ＱＦ

＝（1/3）×18×２

＝36/3cm³

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