連立方程式の文章題③

たむかい学習教室
2025年7月19日
読了時間: 12分

連立方程式の文章題③

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中２数学では、連立方程式の加減法や代入法の計算学習から、文章題の学習に入っています。問題文を式にするときには、文を区切りながら等しい関係を見つけ出すことがポイントになります。

方程式のつくり方

例題

50円硬貨と100円硬貨があわせて12枚あります。合計金額は900円です。50円硬貨と100円硬貨はそれぞれ何枚ありますか。

問題文（文末）にある

「○○はそれぞれいくつあるか」

「○○をそれぞれ求めなさい」

👉求める○○の数量を文字で表す

50円をｘ枚、100円をｙ枚とする。

枚数の式

ｘ＋ｙ＝12（枚）

金額の式

50ｘ＋100ｙ＝900（円）

👉表や式を作るときは「単位」を付けて書く。文字式が何を求めるための式かをはっきりさせる。

演習問題

問題

50円のあめと80円のガムを合わせて12個買ったら、代金の合計は750円であった。あめの個数をｘ個、ガムの個数をｙ個として連立方程式をつくり、それぞれの個数を求めなさい。

あめとガムの個数の合計は12個だから、

ｘ＋ｙ＝12　①

あめ１個50円、個数はｘ個

あめの代金は、50ｘ円

ガム１個80円、個数はｙ個

ガムの代金は、80ｙ円

代金の合計は750円だから、

50ｘ＋80ｙ＝750　②

②の両辺÷10

５ｘ＋８ｙ＝75　②’

①×５－②’

　　５ｘ＋５ｙ＝60

－）５ｘ＋８ｙ＝75

　　　　－３ｙ＝－15

　　　　　　ｙ＝５

①に代入

ｘ＋５＝12

ｘ＝７

よって、

あめ７個、ガム５個

問題

ある植物園に入るとき、中学生５人と大人２人では1350円、中学生６人と大人４人では2100円かかる。中学生１人の入園料をｘ円、大人１人の入園料をｙ円として連立方程式をつくり、それぞれの入園料を求めなさい。

中学１人ｘ円、５人のとき　５ｘ円

大人１人ｙ円、２人のとき　２ｙ円

料金の合計は1350円だから、

５ｘ＋２ｙ＝1350円　①

中学１人ｘ円、６人のとき　６ｘ円

大人１人ｙ円、４人のとき　４ｙ円

料金の合計は2100円だから、

６ｘ＋４ｙ＝2100円　②

②の両辺÷２

３ｘ＋２ｙ＝1050　②’

①－②’

　　５ｘ＋２ｙ＝1350

－）３ｘ＋２ｙ＝1050

　　２ｘ　　　＝300

　　　　　　ｘ＝150

②’に代入

450＋２ｙ＝1050

２ｙ＝600

ｙ＝300

よって、

中学生150円、大人300円

問題

くだもの屋さんで、みかんと桃を買うことにした。みかん10個と桃６個の代金の合計は1710円、みかん６個と桃10個の代金の合計は1890円であった。みかん１個の値段と、桃１個の値段をそれぞれ求めなさい。

みかん１個の値段をｘ円、

桃１個の値段をｙ円とする。

みかん10個のとき　10ｘ円

桃６個のとき　６ｙ円

代金の合計は1710円だから、

10ｘ＋６ｙ＝1710　①

みかん６個のとき　６ｘ円

桃10個のとき　10ｙ円

代金の合計は1890円だから、

６ｘ＋10ｙ＝1890　②

②×５－①×３

　　30ｘ＋50ｙ＝9450

－）30ｘ＋18ｙ＝5130

　　　　　32ｙ＝4320

　　　　　　ｙ＝135

②に代入

６ｘ＋1350＝1890

６ｘ＝540

ｘ＝90

よって、

みかん90円、桃135円

問題

子ども会で動物園に行った。参加した子どもの人数は大人の人数の２倍より５人少なかった。動物園の入園料は大人１人が600円、子ども１人が300円であり、入園料の総額は28500円であった。このとき、参加した大人の人数と子どもの人数はそれぞれ何人か、求めなさい。

大人をｘ人、子どもをｙ人とする。

子ども（ｙ人）は、大人（ｘ人）の２倍より５人少ない

ｙ＝２ｘ－５　①

大人１人600円、ｘ人分　600ｘ円

子ども１人300円、ｙ人分　300ｙ円

総額は28500円だから、

600ｘ＋300ｙ＝28500　②

②の両辺÷300

２ｘ＋ｙ＝95　②’

①より、ｙに２ｘ－５を代入

２ｘ＋（２ｘ－５）＝95

４ｘ＝100

ｘ＝25

①に代入

ｙ＝50－５

　＝45

よって、

大人25人、子ども45人

問題

ＡさんとＢさんが10回じゃんけんを行い、1回ごとに次のポイントを与える。

・勝った人には3ポイント

・あいこの時は、2人に1ポイント

・負けた人にはポイントを与えない。

ポイントの合計点は、Aさんが9ポイント、Bさんが18ポイントであった。

Ａさんが勝った回数をｘ回、あいこの回数をｙ回として連立方程式をつくり、Ａさんが勝った回数を求めなさい。

Ａさんの場合

勝ち　３点　ｘ回分　３ｘ点

あいこ１点　ｙ回分　　ｙ点　

負けは０点

Ａさんの合計点は９だから、

３ｘ＋ｙ＝９　①

Ｂさんの場合

勝った回数は、計10回から「負けた回数」と「あいこの回数」を引いた数。

負けは、Ａの勝った回数と同じ　ｘ回

あいこは、Ａの回数と同じ　ｙ回

Ｂさんの勝った回数は、

10－ｘ－ｙ（回）

勝ち３点　(10-x-y)回分　3(10-x-y)点

あいこ１点　ｙ回分　ｙ点

Ｂさんの合計点は18だから、

３（10－ｘ－ｙ）＋ｙ＝18　②

②より

30－３ｘ－３ｙ＋ｙ＝18

－３ｘ－２ｙ＝－12

両辺×（－１）

３ｘ＋２ｙ＝12　②’

①－②’

　　３ｘ＋　ｙ＝９

－）３ｘ＋２ｙ＝12

　　　　　－ｙ＝－３

　　　　　　ｙ＝３

①に代入

３ｘ＋３＝９

３ｘ＝６

ｘ＝２

よって、

Ａさんの勝ち　２回

問題

Ａ町から14kmはなれたＢ町まで行くのに、Ａ町から峠までは時速３km、峠からＢ町までは、時速５kmで歩き、全体で４時間かかった。Ａ町から峠までの道のりをｘkm、峠からＢ町までの道のりをｙkmとして連立方程式をつくり、それぞれの道のりを求めなさい。

道のりの合計は14kmだから、

ｘ＋ｙ＝14　①

Ａ町から峠までの場合

時速３km、道のりｘkm

かかった時間は　ｘ／３時間

峠からＢ町までの場合

時速５km、道のりｙkm

かかった時間は、ｙ／５時間

時間の合計は４時間だから、

ｘ／３＋ｙ／５＝４　②

②×15

５ｘ＋３ｙ＝60　②’

①×３－②’

　　３ｘ＋３ｙ＝42

－）５ｘ＋３ｙ＝60

　　－２ｘ　　＝－18

　　　　　　ｘ＝９

①に代入

９＋ｙ＝14

ｙ＝５

よって、

Ａ町～峠　９km

峠～Ｂ町　５km

問題

Ａさんは自宅から1.8kmはなれた駅まで行くのに、はじめは毎分70ｍの速さで歩き、途中から毎分150ｍの速さで走ったところ、全体で20分かかった。歩いた時間と走った時間をそれぞれ求めなさい。

歩いた時間をｘ分、走った時間をｙ分とする。

※毎分○○、全体で20分とあるから、単位を分とする。

👉速さに関する問題は、「単位」に注目する。

時間の合計は20分だから、

ｘ＋ｙ＝20　①

はじめ（歩き）の場合

分速70ｍ、時間ｘ分

歩いた道のりは、70ｘ（m）

途中から（走り）の場合

分速150ｍ、時間ｙ分

走った道のりは、150ｙ（m）

道のりの合計は1.8km＝1800mだから、

70ｘ＋150ｙ＝1800　②

②÷10

７ｘ＋15ｙ＝180　②’

①×７－②’

　　７ｘ＋７ｙ＝140

－）７ｘ＋15ｙ＝180

　　　　－８ｙ＝－40

　　　　　　ｙ＝５

①に代入

ｘ＋５＝20

ｘ＝15

よって、

歩いた時間　15分

走った時間　５分

問題

下の図のように、池のまわりに１周６kmの道がある。この道を、Ａさんは自転車で、Ｂさんは徒歩で、同じところを出発して反対の方向にまわる。２人が同時に出発すると、ＡさんとＢさんは20分後に出会う。また、ＡさんがＢさんより24分遅れて出発すると、Ａさんは出発してから16分後にＢさんと出会う。Ａさん、Ｂさんそれぞれの速さは毎分何ｍか求めなさい。

「同時に出発、20分後に出会う」

👉ＡとＢの進んだ時間が同じ

👉同じ地点で出会うから、

　Ａの道のり＋Ｂの道のり＝池１周分

Ａさんの速さを毎分ｘｍ、

Ｂさんの速さを毎分ｙｍとする。

Ａさんの場合

分速ｘｍ、20分進む

進んだ道のりは20ｘ（m）

Ｂさんの場合

分速ｙｍ、20分進む

進んだ道のりは20ｙ（m）

同じ地点で出会うと、道のりの合計が6000mになるから、

20ｘ＋20ｙ＝6000　①

「ＡがＢより24分遅れて出発」

例）

Ｂさんが、7:00に出発

Ａさんは、7:24に出発

16分後、7:40に出会う

👉Ｂさんは、7:00からの40分間進んだことになる。

24＋16＝40分

Ｂが40分間で進んだ道のりは、40ｙ（m）

Ａが16分間で進んだ道のりは、16ｘ（m）

同じ地点で出会うと、道のりの合計が6000mになるから、

16ｘ＋40ｙ＝6000　②

①÷10

２ｘ＋２ｙ＝600　①’

②÷８

２ｘ＋５ｙ＝750　②’

①’－②’

　　２ｘ＋２ｙ＝600

－）２ｘ＋５ｙ＝750

　　　　－３ｙ＝－150

　　　　　　ｙ＝50

①’に代入

２ｘ＋100＝600

２ｘ＝500

ｘ＝250

よって、

Ａさん　毎分250ｍ

Ｂさん　毎分50ｍ

問題

ある中学校の２年生は全体で188人で、男子は女子より28人多い。この中学校の２年生の男子と女子のそれぞれの人数を求めなさい。

男子をｘ人、女子をｙ人とする。

全体で188人だから、

ｘ＋ｙ＝188　①

男子は女子より28人多いから、

ｘ＝ｙ＋28　②

①のｘにｙ＋28を代入

（ｙ＋28）＋ｙ＝188

２ｙ＝160

ｙ＝80

①に代入

ｘ＋80＝188

ｘ＝108

よって、

男子108人、女子80人

問題

150ｇの重さの皿が１枚と、２種類の製品Ａ、Ｂがたくさんある。この皿の上にＡ５個とＢ４個を乗せて重さをはかったところ、820ｇであった。また、この皿の上にＡ８個とＢ６個をのせて重さをはかったところ、1190ｇであった。Ａ１個、Ｂ１個のそれぞれの重さを求めなさい。

Ａ１個をｘｇ、Ｂ１個をｙｇとする。

Ａ　５個のとき　５ｘ（ｇ）

Ｂ　４個のとき　４ｙ（ｇ）

皿１枚　150（ｇ）

合計の重さは、820ｇだから

５ｘ＋４ｙ＋150＝820　①

Ａ　８個のとき　８ｘ（ｇ）

Ｂ　６個のとき　６ｙ（ｇ）

皿１枚　150（ｇ）

合計の重さは、1190ｇだから

８ｘ＋６ｙ＋150＝1190　②

①より

５ｘ＋４ｙ＝670　①’

②より

８ｘ＋６ｙ＝1040　②’

①’×３－②’×２

　　15ｘ＋12ｙ＝2010

－）16ｘ＋12ｙ＝2080

　　－ｘ　　　＝－70

　　　　　　ｘ＝70

①’に代入

350＋４ｙ＝670

４ｙ＝320

ｙ＝80

よって、

Ａの重さ　70ｇ

Ｂの重さ　80ｇ

問題

１個250円のケーキと１個200円のシュークリームをそれぞれいくつか買ったところ、代金は4400円であった。買ったケーキとシュークリームの個数の比が２：３のとき、買ったケーキの個数を求めなさい。

ケーキをｘ個、シュークリームをｙ個とする。

ケーキ250円、ｘ個買う　250ｘ円

シュー200円、ｙ個買う　200ｙ円

代金の合計は4400円だから、

250ｘ＋200ｙ＝4400　①

ケーキとシューの個数の比は２：３だから、

ｘ：ｙ＝２：３　②

①÷50

５ｘ＋４ｙ＝88　①’

②より

２ｙ＝３ｘ　②’

※内項×内項＝外項×外項

②’×２

４ｙ＝６ｘ

①’の４ｙに６ｘ代入

５ｘ＋６ｘ＝88

11ｘ＝88

ｘ＝８

よって、８個

※求める答えは１つだが、検算をしておく。

問題

Ａ地から15km離れたＣ地へ行くのに、途中のＢ地までは時速６km、Ｂ地からは時速３kmで進んだところ、４時間かかった。Ａ地～Ｂ地の道のりと、Ｂ地～Ｃ地の道のりをそれぞれ求めなさい。

Ａ～Ｂの道のりをｘkm、

Ｂ～Ｃの道のりをｙkmとする。

道のりの合計は15kmだから、

ｘ＋ｙ＝15　①

Ａ～Ｂの場合

道のりｘkm、時速６km

かかった時間は、ｘ／６時間

Ｂ～Ｃの場合

道のりｙkm、時速３km

かかった時間は、ｙ／３時間

時間の合計は４時間だから、

ｘ／６＋ｙ／３＝４　②

②×６

ｘ＋２ｙ＝24　②’

①－②’

　　ｘ＋　ｙ＝15

－）ｘ＋２ｙ＝24

　　　　－ｙ＝－９

　　　　　ｙ＝９

①に代入

ｘ＋９＝15

ｘ＝６

よって、

Ａ地～Ｂ地　６km

Ｂ地～Ｃ地　９km

問題

家から学校まで2300ｍの道のりを自転車で走った。はじめの下り坂を分速250ｍで走り、途中からの上り坂を分速150ｍで走って、12分で学校に着いた。下り坂と上り坂のそれぞれの道のりを求めなさい。

下り坂の道のりをｘｍ、

上り坂の道のりをｙｍとする。

道のりの合計は2300ｍだから、

ｘ＋ｙ＝2300　①

下り坂の場合

道のりｘｍ、分速250ｍ

かかった時間は、ｘ／250分

上り坂の場合

道のりｙｍ、分速150ｍ

かかった時間は、ｙ／150分

時間の合計は12分だから、

ｘ／250＋ｙ／150＝12　②

①より

ｘ＝2300－ｙ　①’

②×750

３ｘ＋５ｙ＝9000

ｘに2300－ｙを代入

３（2300－ｙ）＋５ｙ＝9000

6900－３ｙ＋５ｙ＝9000

２ｙ＝2100

ｙ＝1050

①’に代入

ｘ＝2300－1050

　＝1250

よって、

下り坂　1250ｍ

上り坂　1050ｍ

問題

Ａさんは午前９時に家を出て、4.6kmはなれた駅へ向かった。はじめは分速60ｍで歩き、途中から分速140ｍで走ると、Ａさんは午前９時30分ちょうどに駅に着くことができるか。

歩く時間をｘ分、走る時間をｙ分とする。

家～途中の場合

時間ｘ分、分速60ｍ

歩いた道のりは、60ｘ（m）

途中～駅の場合

時間ｙ分、分速140ｍ

走った道のりは、140ｙ（m）

道のりの合計は、4.6km（4600m）だから、

60ｘ＋140ｙ＝4600　①

また、家から駅まで30分かかるとすると、

ｘ＋ｙ＝30　②

①÷20

３ｘ＋７ｙ＝230　①’

①’－②×３

　　３ｘ＋７ｙ＝230

－）３ｘ＋３ｙ＝90

　　　　　４ｙ＝140

　　　　　　ｙ＝35

走る時間が35分となり、30分を越えてしまうので、着くことができない。

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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