連立方程式の文章題6

たむかい学習教室
8月8日
読了時間: 8分

連立方程式の文章題6

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中２数学では、連立方程式の加減法や代入法の計算学習から、文章題の学習に入っています。問題文を式にするときには、文を区切りながら等しい関係を見つけ出すことがポイントになります。

方程式のつくり方

例題

50円硬貨と100円硬貨があわせて12枚あります。合計金額は900円です。50円硬貨と100円硬貨はそれぞれ何枚ありますか。

問題文（文末）にある

「○○はそれぞれいくつあるか」

「○○をそれぞれ求めなさい」

👉求める○○の数量を文字で表す

50円をｘ枚、100円をｙ枚とする。

枚数の式

ｘ＋ｙ＝12（枚）

金額の式

50ｘ＋100ｙ＝900（円）

👉表や式を作るときは「単位」を付けて書く。文字式が何を求めるための式かをはっきりさせる。

演習問題

問題

Ａ地から18kmはなれたＢ地へ行った。初めは時速５kmで歩き、途中から走って時速10kmで進んだら、３時間かかった。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい。

歩いた道のりｘkm、

走った道のりｙkmとする。

道のりは合わせて18kmだから、

ｘ＋ｙ＝18　①

歩いたときの時間

ｘkmを時速５kmで進んだから、

ｘ／５（時間）

走ったときの時間

ｙkmを時速10kmで進んだから、

ｙ／10（時間）

合わせて３時間かかったから、

ｘ／５＋ｙ／10＝３　②

②×10

２ｘ＋ｙ＝30　②’

①－②’

　　　ｘ＋ｙ＝18

－）２ｘ＋ｙ＝30

　　－ｘ　　＝－12

　　　　　ｘ＝12

①に代入

12＋ｙ＝18

ｙ＝６

よって、

歩いた道のり　12km

走った道のり　６km

問題

２種類の菓子Ａ、Ｂがある。Ａ２個とＢ３個の代金の合計は1400円、Ａ５個とＢ２個の代金の合計は1850円である。Ａ１個、Ｂ１個の値段はそれぞれいくらか、求めなさい。

Ａ１個の値段ｘ円、

Ｂ１個の値段ｙ円とする。

Ａ２個とＢ３個の代金は、

２ｘ＋３ｙ＝1400　①

Ａ５個とＢ２個の代金は、

５ｘ＋２ｙ＝1850　②

①×２－②×３

　　４ｘ＋６ｙ＝2800

－）15ｘ＋６ｙ＝5550

　　　　－11ｘ＝－2750

　　　　　　ｘ＝250

①に代入

500＋３ｙ＝1400

３ｙ＝900

ｙ＝300

よって、

Ａ１個　250円

Ｂ１個　300円

問題

Ａ町から峠をこえてＢ町まで10kmの道のりを、Ａ町から峠までは時速３km、峠からＢ町までは時速４kmで歩いたら、３時間かかった。Ａ町から峠まで、峠からＢ町まではそれぞれ何kmあるか、求めなさい。

Ａから峠までｘkm、

峠からＢまでｙkmとする。

道のりは合わせて10kmだから、

ｘ＋ｙ＝10　①

Ａから峠までの時間

ｘkmを時速３kmで進んだから、

ｘ／３（時間）

Ｂから峠までの時間

ｙkmを時速４kmで進んだから、

ｙ／４（時間）

合わせて３時間かかったから、

ｘ／３＋ｙ／４＝３　②

②×12

４ｘ＋３ｙ＝36　②’

①より

ｘ＝10－ｙ

これを②’に代入

４（10－ｙ）＋３ｙ＝36

40－４ｙ＋３ｙ＝36

－ｙ＝－４

ｙ＝４

①に代入

ｘ＋４＝10

ｘ＝６

よって、

Ａから峠まで　６km

峠からＢまで　４km

問題

ある中学校の２年生の人数は120人である。そのうち、男子の15％と、女子の10％はバレー部に所属し、その人数の合計は15人である。２年生の男子と女子の人数はそれぞれ何人か、求めなさい。

男子ｘ人、女子ｙ人とする。

合わせて120人だから、

ｘ＋ｙ＝120　①

男子ｘ人の15％の人数は、

ｘ×15/100

＝15/100ｘ（人）

女子ｙ人の10％の人数は、

ｙ×10/100

＝10/100ｙ（人）

合わせて15人だから、

15/100ｘ＋10/100ｙ＝15　②

②×100

15ｘ＋10ｙ＝1500

両辺÷５

３ｘ＋２ｙ＝300　②’

①×２－②’

　　２ｘ＋２ｙ＝240

－）３ｘ＋２ｙ＝300

　　　　　－ｘ＝－60

　　　　　　ｘ＝60

①に代入

60＋ｙ＝120

ｙ＝60

よって、

男子　60人

女子　60人

問題

２けたの自然数がある。この数の十の位の数は一の位の数の３倍より１小さい。また、十の位の数と一の位の数を入れかえると、もとの数より27小さくなる。もとの自然数を求めなさい。

もとの２けたの自然数の

十の位の数をｘ、一の位の数をｙとする。

十の位の数は一の位の数の３倍より１小さいから、

ｘ＝３ｙ－１　①

もとの自然数

👉10ｘ＋ｙ

位の数を入れかえた自然数

👉10ｙ＋ｘ

位の数を入れかえた数は、もとの数より27小さいから、

10ｙ＋ｘ＝10ｘ＋ｙ－27　②

②より

－９ｘ＋９ｙ＝－27

両辺÷９

－ｘ＋ｙ＝－３　②’

これにｘ＝３ｙ－１を代入

－（３ｙ－１）＋ｙ＝－３

－３ｙ＋１＋ｙ＝－３

－２ｙ＝－４

ｙ＝２

①に代入

ｘ＝６－１

　＝５

よって、もとの自然数は、52

問題

下の図で、２段目と３段目の数は、その上の段の２数をもとに、ある同じ規則にしたがって並んでいる。このとき、ａとｂの値を求めなさい。

１段目の３と２、２段目の５

１段目の２と７、２段目の９から、

３＋２＝５

２＋７＝９

下の段の値は、上の段の２数の和である。

このことから、

２段目左側の□には、

７＋ｂ

２段目右側の□には、

ｂ＋４（ａ－２）

の式があてはまる

さらに、

９＋（７＋ｂ）＝ａ＋25　①

（７＋ｂ）＋｛ｂ＋４（ａ－２）｝＝65　②

の２式が成り立つ

①より

16＋ｂ＝ａ＋25

ａ－ｂ＝－９　①’

②より

４ａ＋２ｂ－１＝65

４ａ＋２ｂ＝66

両辺÷２

２ａ＋ｂ＝33　②’

①’＋②’

　　　ａ－ｂ＝－９

＋）２ａ＋ｂ＝33

　　３ａ　　＝24

　　　　　ａ＝８

①’に代入

８－ｂ＝－９

ｂ＝17

よって、

ａ＝８，ｂ＝17

問題

次の条件をどちらも満たす２元１次方程式ｘ＋３ｙ＝21の解を求めなさい。

・ｘ、ｙは１けたの自然数

・ｘ＜ｙ

ｘとｙは１けたの自然数だから、ともに１～９のいずれか

ｘ＜ｙから、ｘの値の方が小さい（ｘ≠ｙ）

ｘ＋３ｙ＝21より、

ｘ＝21－３ｙ

ｙ＝７，８，９のとき

ｘは０または負の数になり、条件を満たさないから、ｙは６以下の値が考えられる。

ｙ＝６のとき

ｘ＝21－18

　＝３

ｘ＝３、ｙ＝６のときは、どちらの条件も満たす。

ｙ＝５のとき

ｘ＝21－15

　＝６

ｘ＞ｙとなり条件を満たさない。これと同じことがｙ＝４以下の値にも言える。

よって、

（ｘ、ｙ）＝（３，６）

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