連立方程式の文章題9

たむかい学習教室
8月21日
読了時間: 8分

連立方程式の文章題9

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

夏休みに入り、塾生は１学期の復習や受験対策に取り組んでいます。連立方程式の文章題では、求める値をｘ、ｙにして、問題文の内容から等しい関係を読み取って、式をつくっていきます。読解力が必要とされるため、ふだんから問題文をていねいに読み解くことを心がけます。

問題

Ａ地点からＢ地点を経てＣ地点まで自転車で行くのに、Ａ、Ｂ間を時速10km、Ｂ、Ｃ間を時速12kmで走ると３時間半かかる。また、Ａ、Ｂ間を時速12km、Ｂ、Ｃ間を時速15kmで走ると２時間50分かかる。Ａ、Ｂ間とＢ、Ｃ間の道のりをそれぞれ求めなさい。

ＡＢ間の道のりをｘkm、

ＢＣ間の道のりをｙkmとする。

計３時間半かかる場合

ＡＢ間のｘkmを、

時速10kmで進むから

かかった時間は、

ｘ÷10＝ｘ／10（時間）

ＢＣ間のｙkmを、

時速12kmで進むから

かかった時間は、

ｙ÷12＝ｙ／12（時間）

よって、

ｘ／10＋ｙ／12＝３と30/60　①

計２時間50分かかる場合

ＡＢ間のｘkmを、

時速12kmで進むから

かかった時間は、

ｘ÷12＝ｘ／12（時間）

ＢＣ間のｙkmを、

時速15kmで進むから

かかった時間は、

ｙ÷15＝ｙ／15（時間）

よって、

ｘ／12＋ｙ／15＝２と50/60　②

①より

ｘ／10＋ｙ／12＝7/2

両辺×60

６ｘ＋５ｙ＝210　①’

②より

ｘ／12＋ｙ／15＝17/6

両辺×60

５ｘ＋４ｙ＝170　②’

①’×４－②’×５

　　24ｘ＋20ｙ＝840

－）25ｘ＋20ｙ＝850

　　　　　　ｘ＝10

①’に代入

60＋５ｙ＝210

ｙ＝30

よって、

ＡＢ間　10km

ＢＣ間　30km

問題

２けたの正の整数がある。その整数は、各位の和の４倍より３小さく、また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる２けたの数は、もとの整数よりも36大きくなる。もとの整数を求めなさい。

求める２けたの整数

十の位の数をｘ、

一の位の数をｙとする。

求める２けたの整数は、

10ｘ＋ｙと表せる。

10ｘ＋ｙは、

各位の和の４倍より３小さいから

10ｘ＋ｙ＝４（ｘ＋ｙ）－３　①

位の数を入れかえてできる整数は、

10ｙ＋ｘと表せる。

10ｙ＋ｘは、

もとの整数より36大きいから

10ｙ＋ｘ＝10ｘ＋ｙ＋36　②

①より

10ｘ＋ｙ＝４ｘ＋４ｙ－３

６ｘ－３ｙ＝－３

両辺÷３

２ｘ－ｙ＝－１　①’

②より

－９ｘ＋９ｙ＝36

両辺÷９

－ｘ＋ｙ＝４　②’

①’＋②’

　　２ｘ－ｙ＝－１

＋）－ｘ＋ｙ＝４

　　　ｘ　　＝３

②’に代入

－３＋ｙ＝４

ｙ＝７

よって、

もとの整数は、37

問題

地域のクラブの昨年度の人数は45人であった。今年度は昨年度に比べて、小学生が８％減少し、中学生が20％増加したので、全体では２人増加した。昨年度の地域のクラブの小学生と中学生の人数をそれぞれ求めなさい。

昨年度の小学生をｘ人、

昨年度の中学生をｙ人とする。

合わせて45人だったから

ｘ＋ｙ＝45　①

今年度の小学生は、

昨年より８％減少したから

減少した分は、

ｘ×（－8/100）

＝－8/100ｘ（人）

今年度の中学生は、

昨年より20％増加したから

増加した分は、

ｙ×20/100

＝20/100ｙ（人）

合わせて＋２人だから

－8/100ｘ＋20/100ｙ＝２　②

②×100

－８ｘ＋20ｙ＝200

両辺÷２

－４ｘ＋10ｙ＝100　②’

①×４＋②’

　　　４ｘ＋４ｙ＝180

＋）－４ｙ＋10ｙ＝100

　　　　　　14ｙ＝280

　　　　　　　ｙ＝20

①に代入

ｘ＋20＝45

ｘ＝25

よって、

昨年度の小学生　25人

昨年度の中学生　20人

入試過去問

問題

ある中学校では、学習旅行で自主研修の時間を設けており、生徒は博物館か美術館、またはその両方を見学する。見学に必要な入館券は、博物館の入館券、美術館の入館券、博物館と美術館の両方を見学できる共通入館券の３種類あり、１枚の値段は、博物館の入館券が600円、美術館の入館券が700円、共通入館券が1000円である。学習旅行に参加した生徒の人数は120人であり、120人全員がいずれか１つの入館券を選んで買ったところ、代金の合計は89500円であった。美術館の入館券を買った生徒の人数が55人であったとき、博物館の入館券を買った生徒と共通入館券を買った生徒の人数はそれぞれ何人か、求めなさい。

博物館の券を買った生徒をｘ人、

共通券を買った生徒をｙ人とする。

美術館の券を買った生徒が55人だから、

ｘ＋ｙ＋55＝120　①

博物館の券の合計代金

ｘ×600＝600ｘ円

共通券の合計代金

ｙ×100＝1000ｙ円

美術館の券の合計代金

55×700＝38500円

合わせて89500円だから、

600ｘ＋1000ｙ＋38500＝89500　②

①より

ｘ＋ｙ＝65　①’

②より

600ｘ＋1000ｙ＝51000

両辺÷200

３ｘ＋５ｙ＝255　②’

①’×３－②’

　　３ｘ＋３ｙ＝195

－）３ｘ＋５ｙ＝255

　　　　－２ｙ＝－60

　　　　　　ｙ＝30

①’に代入

ｘ＋30＝65

ｘ＝35

よって、

博物館の券を買った生徒　35人

共通券を買った生徒　30人

問題

下のように、１、ａ、３、ｂが繰り返し並んでいる。ただし、ａ、ｂは定数とする。

１番目から９番目までの和が17、１番目から310番目までの和が623であるとき、ａ、ｂの値を求めなさい。

８番目までは、

（１＋ａ＋３＋ｂ）が２個分

９番目は、１

これらの和は、

２（１＋ａ＋３＋ｂ）＋１＝17　①

（１＋ａ＋３＋ｂ）は、

310番目までに、

310÷４＝77あまり２で、77個分

「あまり２」は、

309番目、310番目だから

309番目　１

310番目　ａ

※308番目は、77個目のｂ

これらの和は、

77（１＋ａ＋３＋ｂ）＋１＋ａ＝623　②

①より

２ａ＋２ｂ＝８

両辺÷２

ａ＋ｂ＝４　①’

②より

78ａ＋77ｂ＝314　②’

①’より

ｂ＝４－ａ

②’に代入

78ａ＋77（４－ａ）＝314

78ａ＋308－77ａ＝314

ａ＝６

①’に代入

６＋ｂ＝４

ｂ＝－２

よって、

ａ＝６、ｂ＝－２

問題

ある肉屋で、牛肉500ｇと豚肉400ｇを定価で買うと4000円である。その肉屋に買い物に行ったところ、タイムサービスで牛肉が定価の２割引きになっていたので、牛肉700ｇ、豚肉200ｇと１個70円のコロッケを２個買って、ちょうど4000円であった。牛肉と豚肉それぞれ100ｇの定価は何円か、求めなさい。

牛肉100ｇの定価をｘ円、

豚肉100ｇの定価をｙ円とする。

通常の場合

牛肉500ｇの代金は、

ｘ×５＝５ｘ円

豚肉400ｇの代金は、

ｙ×４＝４ｙ円

合計4000円だから

５ｘ＋４ｙ＝4000　①

タイムサービスの場合

牛肉が定価の２割引きだから

100ｇあたりの金額は、

ｘ×（10/10－2/10）

＝8/10ｘ円

700ｇ買ったから、牛肉の代金は、

8/10ｘ×７

＝28/5ｘ円

豚肉200ｇの代金は、

ｙ×２＝２ｙ円

１個70円のコロッケ２個の代金は、

70×２＝140円

合計4000円だから

28/5ｘ＋２ｙ＋140＝4000　②

①より

４ｙ＝4000－５ｘ　①’

②より

28/5ｘ＋２ｙ＝3860

両辺×２

56/5ｘ＋４ｙ＝7720

４ｙ＝7720－56/5ｘ　②’

①’＝②’

4000－５ｘ＝7720－56/5ｘ

56/5ｘ－５ｘ＝3720

56ｘ－25ｘ＝18600

31ｘ＝18600

ｘ＝600

①’に代入

４ｙ＝4000－５×600

４ｙ＝1000

ｙ＝250

よって、

牛肉100ｇ　600円

豚肉100ｇ　250円

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親御さんの声

「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」

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八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

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今年度塾生28名（2025年4月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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