関数高校入試対策②

たむかい学習教室
2025年11月25日
読了時間: 9分

関数高校入試対策②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では「関数」の問題が出題され、図形の面積を利用した出題がよくあります。三角形の場合、底辺と高さについて考えることが基本で、辺の長さを文字式で表すことには、慣れが必要になります。

１次関数

三角形の面積

問題

下の図で、直線ℓは関数ｙ＝－２ｘ＋10のグラフ、直線mは関数ｙ＝ｘ－８のグラフである。ℓとｙ軸との交点をＡ、mとｙ軸との交点をＢ、ℓとmとの交点をＣとする。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の１めもりを１cmとする。

1）線分ＡＢの長さを求めなさい。

2）点Ｃの座標を求めなさい。

3）△ＡＢＣの面積を求めなさい。

1）

点Ａは直線ℓの切片だから、ｙ＝10

点Ｂは直線mの切片だから、ｙ＝－８

ＡＢの長さは、２点のｙの値の差だから

10－（－８）＝18

よって、18cm

👉ｙ切片：ｘ＝０のときのｙの値

2）

直線ℓとmの交点だから

－２ｘ＋10＝ｘ－８

ｘ＝６

ｙ＝６－８＝－２

よって、（６，－２）

👉２式の連立方程式により求める

3）

底辺をＡＢ、

高さを点Ｃからｙ軸への垂線ＣＨとする。※

ＡＢ＝18cm

ＣＨの長さは、２点のｘの値の差だから

６－０＝６cm

よって、

△ＡＢＣ

＝（1/2）×ＡＢ×ＣＨ

＝（1/2）×18×６

＝54cm²

※底辺と高さが垂直の関係

👉軸または軸と平行な直線から見つける

１次関数

三角形を２等分する式

問題

下の図は、関数ｙ＝ａｘ²と関数ｙ＝－２ｘ＋８が２点Ａ、Ｂで交わっているグラフである。Ａ、Ｂのｘ座標がそれぞれ－４、２のとき、あとの問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）△ＯＡＢの面積を求めなさい。

3）原点を通り、△ＯＡＢの面積を２等分する直線をひく。この直線と関数ｙ＝－２ｘ＋８との交点をＣとする。交点Ｃの座標を求めなさい。

1）

放物線は上開き（下に凸）

👉ａ＞０（正の数）

点Ａは、

ｙ＝－２ｘ＋８上にあり、ｘ＝－４だから

ｙ＝－２×（－４）＋８

　＝16

ｙ＝ａｘ²上の点だから

ｘ＝－４、ｙ＝16を代入

16＝ａ×（－４）²

ａ＝１

2）

直線ＡＢとの交点をＤ、

△ＡＯＤ－△ＢＯＤにより求める。

点Ｄは、

ｙ＝－２ｘ＋８上にあり、ｙ＝０だから

０＝－２ｘ＋８

ｘ＝４

△ＡＯＤの底辺をＯＤ、

高さを点Ａからｘ軸への垂線ＡＨとする。

ＯＤ＝４－０＝４

ＡＨ＝16－０＝16

△ＡＨＤ＝（1/2）×４×16＝32

点Ｂは、

ｙ＝－２ｘ＋８上にあり、ｘ＝２だから

ｙ＝－２×２＋８＝４

高さを点Ｂからｘ軸への垂線ＢＩとする。

ＢＩ＝４－０＝４

高さは△ＡＯＤの1/4だから

△ＢＯＤ＝32×（1/4）＝８

👉共通の底辺ＯＤをもつ

よって、

△ＡＯＤ－△ＢＯＤ

＝32－８

＝24

3）

点ＣはＡＢの中点

👇

ＡＣ＝ＣＢだから

△ＡＯＣと△ＡＯＢの底辺の長さが同じ

点ＯからＡＢへの垂線の長さ（高さ）が同じ

２点のｘ座標は、－４と２だから

（－４＋２）÷２＝－１

２点のｙ座標は、16と４だから

（16＋４）÷２＝10

よって、求める座標は、

（－１，10）

中点の座標

２点のｘの値の和÷２

２点のｙの値の和÷２

※直角三角形の底辺と高さそれぞれの中点の座標

１次関数

平行四辺形を２等分する式

問題

下の図の①は関数ｙ＝２ｘ＋８、②は関数ｙ＝（－2/3）ｘ＋８の直線で、点Ａを通りｘ軸に平行な直線はｙ＝４である。②の直線と、ｙ＝４との交点をＢ、①との交点をＣとする。また、点Ｃを通りＡＢに平行な直線上に点Ｄをとり、平行四辺形ＣＡＢＤをつくる。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）点Ａのｘ座標を求めなさい。

2）点Ｂ、Ｄを通る直線の式を求めなさい。

3）点Ｂを通り、△ＢＣＤの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

1）

点Ａはｙ＝２ｘ＋８上にあり、

ｙ＝４だから

４＝２ｘ＋８

ｘ＝－２

よって、

求めるｘ座標は、－２

2）

点Ｂはｙ＝（－2/3）ｘ＋８上にあり、

ｙ＝４だから

４＝（－2/3）ｘ＋８

ｘ＝６

点Ａがｘ＝－２、Ｂがｘ＝６だから

ＡＢ＝６－（－２）＝８

ＣＤ＝ＡＢ＝８cm、

また、ＣＤ//ＡＢだから

点Ｄは、ｘ＝８、ｙ＝８

Ｂ（６，４）、Ｄ（８，８）を通る直線

ｘの増加量　８－６＝２

ｙの増加量　８－４＝４

変化の割合　４／２＝２

切片の値をｂとする

ｙ＝２ｘ＋ｂ

（８，８）を通るから

８＝２×８＋ｂ

ｂ＝－８

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ－８

3）

点ＢとＣＤの中点を通る直線になる　※

ＣＤの中点をＭとする

ＣＤ＝８だから、点Ｍはｘ＝４

点Ｍのｙ座標は、

Ｃ、Ｄと同じだから、ｙ＝８

Ｂ（６，４）、Ｍ（４，８）を通る直線

ｘの増加量　６－４＝２

ｙの増加量　４－８＝－４

変化の割合　－４／２＝－２

切片の値をｃとする

ｙ＝－２ｘ＋ｃ

（４，８）を通るから

８＝－２×４＋ｃ

ｃ＝16

よって、求める式は、

ｙ＝－２ｘ＋16

※

△ＢＣＭと△ＢＤＭの底辺の長さと高さが同じ

１次関数と２次関数

三角形の面積

問題

図１で、①は関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフである。２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれ－４、６である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）２点Ａ、Ｂを通る直線の式を求めなさい。

1）

点Ａはｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、

ｘ＝－４だから

ｙ＝（1/4）×（－４）²＝４

よって、

求めるｙ座標は、４

2）

点Ｂはｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、

ｘ＝６だから

ｙ＝（1/4）×６²＝９

Ａ（－４，４）、Ｂ（６，９）を通る直線

ｘの増加量　６－（－４）＝10

ｙの増加量　９－４＝５

変化の割合　５／10＝１／２

切片の値をｂとする

ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂ

（６，９）を通るから

９＝（1/2）×６＋ｂ

ｂ＝６

よって、求める式は、

ｙ＝（1/2）ｘ＋６

3）図２は、図１に△ＡＢＣと線分ＰＱをかき加えたもので、点Ｃは①上の点でｘ座標は２である。また、点Ｐは線分ＡＢ上の点、点Ｑは線分ＡＣ上の点で、点Ｐと点Ｑのｘ座標は同じである。このとき、ア、イに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

ア

△ＡＢＣの面積を求めなさい。

イ

△ＡＰＱの面積が△ＡＢＣの面積の3/20になるとき、点Ｐのｘ座標を求めなさい。

点Ｃを通りｙ軸と平行な直線と、

ＡＢとの交点をＤとする。

△ＡＢＣ＝△ＡＣＤ＋△ＢＣＤ

として求める。

△ＡＣＤの底辺をＣＤ、

高さを点ＡからＣＤへの垂線ＡＥとする。

点Ｃは、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、

ｘ＝２だから

ｙ＝（1/4）×２²＝１

点Ｄは、

ｙ＝（1/2）ｘ＋６上にあり、

ｘ＝２だから

ｙ＝（1/2）×２＋６＝７

よって、

ＣＤ＝７－１＝６cm

点Ａはｘ＝－４、Ｅはｘ＝２だから

ＡＥ＝２－（－４）＝６cm

△ＡＣＤの面積は、

（1/2）×ＣＤ×ＡＥ

＝（1/2）×６×６＝18cm²　①

△ＢＣＤの底辺をＣＤ、

高さを点ＢからＣＤへの垂線ＢＦとする。

点Ｂはｘ＝６、Ｆはｘ＝２だから

ＢＦ＝６－２＝４cm

高さは、△ＡＣＤの2/3だから

△ＢＣＤの面積は、

＝18×（2/3）＝12cm²　②

△ＡＢＣ＝①＋②より

18＋12＝30

よって、

求める面積は、30cm²

別解

点Ｃを通り、ＡＢに平行な直線を引く。

平行な直線は、

ｙ＝（1/2）ｘで原点Ｏを通る。

等積変形（共通な底辺、高さ同じ）により

△ＡＢＯ＝△ＡＢＣだから

ＡＢとｙ軸との交点をＤとし、

△ＡＢＯ＝△ＡＯＤ＋△ＢＯＤとして求める。

イ

△ＡＰＱ

＝（3/20）×△ＡＢＣ

＝（3/20）×30＝9/2cm²

△ＡＰＱの底辺をＰＱ、

高さを点ＡからＰＱへの垂線ＡＲとする。

ＰＱは２点のｙの値の差、

ＡＲは２点のｘの値の差になる。

点Ｐのｘ座標をｔとする

点Ｐは、

ｙ＝（1/2）ｘ＋６上にあり、

ｘ＝ｔだから

ｙ＝（1/2）ｔ＋６

点ＱはＡＣ上にあるから式を求める

Ａ（－４，４）、Ｃ（２，１）を通る直線

ｘの増加量　２－（－４）＝６

ｙの増加量　１－４＝－３

変化の割合　－３／６＝－１／２

切片の値をｃとする

ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｃ

（２，１）を通るから

１＝（－1/2）×２＋ｃ

ｃ＝２

よって、

直線ＡＣは、ｙ＝（－1/2）ｘ＋２

点Ｑは、ｘ＝ｔだから

ｙ＝（－1/2）ｔ＋２

よって、

ＰＱ

＝｛（1/2）ｔ＋６｝－｛（－1/2）ｔ＋２｝

＝ｔ＋４

点Ａはｘ＝－４、Ｒはｘ＝ｔだから

ＡＲ

＝ｔ－（－４）

＝ｔ＋４

△ＡＰＱの面積は、9/2cm²だから

（1/2）×ＰＱ×ＡＲ＝9/2

（1/2）×（ｔ＋４）²＝9/2

（ｔ＋４）²＝９

ｔ＋４＝±３

ｔ＝－４±３

ｔ＝－７，－１

点Ｐと点Ｑのｘ座標が同じであるのは、

－４＜ｘ＜２　※

すなわち、－４＜ｔ＜２だから

ｔ＝－１

よって、

求めるｘ座標は、－１

※

ＡＰＱが三角形である範囲

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今年度塾生35名（2025年11月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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