関数高校入試対策③

たむかい学習教室
11月27日
読了時間: 9分

関数高校入試対策③

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では「関数」の問題が出題され、図形の面積を利用した出題がよくあります。三角形の場合、底辺と高さについて考えることが基本で、辺の長さを文字式で表すことには、慣れが必要になります。

１次関数

三角形を２等分する直線

問題

下の図で、点Ｏは原点、直線ℓは一次関数ｙ＝－３ｘ＋９のグラフを表している。直線ℓとｙ軸との交点をＡ、直線ℓとｘ軸との交点をＢとする。直線ℓ上にある点をＰとし、点Ｐのｘ座標が３より小さい正の数であるとき、ｘ軸上にあり、ｘ座標が－12である点をＣとし、点Ａと点Ｃを結び、２点Ｃ、Ｐを通る直線mとした場合を表している。直線mが△ＡＣＢの面積を２等分するとき、直線mの式を求めなさい。

△ＡＣＢと△ＰＣＢにおいて

ＣＢを共通の底辺にすると、

△ＰＣＢの高さは、△ＡＣＢの半分になる。

点Ａは、ｙ＝９（切片）だから

点Ｐは、ｙ＝９×（1/2）＝9/2

Ｐは、ｙ＝－３ｘ＋９上にあるから

9/2＝－３ｘ＋９

ｘ＝3/2

よって、

Ｃ（－12，０）とＰ（2/3，9/2）を通る直線

ｘの増加量　3/2－（－12）＝27/2

ｙの増加量　9/2－０＝9/2

傾きａ　（9/2）÷（27/2）＝1/3

切片の値をｂとする

ｙ＝（1/3）ｘ＋ｂ

（－12，０）を通るから

０＝（1/3）×（－12）＋ｂ

ｂ＝４

よって、直線mの式は、

ｙ＝（1/3）ｘ＋４

※別解

△ＣＡＰ＝△ＣＢＰだから

ＡＢの中点がＰとなる。

👉２つの三角形の高さが同じ

点Ａは、

ｘ＝０のとき、ｙ＝９

点Ｂは、

ｙ＝－３ｘ＋９上にあり、ｙ＝０だから

０＝－３ｘ＋９

ｘ＝３

Ａ（０，９）　Ｂ（３，０）

点Ｐのｘ座標は、

（０＋３）÷２＝3/2

点Ｐのｙ座標は、

（９＋０）÷２＝9/2

以下、上記と同じ

中点の座標

２点のｘの値の和÷２

２点のｙの値の和÷２

本問は、三角形の底辺をＣＢ、またはＡＢとして、点Ｐを求める出題。

２次関数

四角形を２等分する直線

問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフ上に３点Ａ、Ｂ、Ｃがあり、点Ａの座標は（６，９）、点Ｂのｘ座標は４、点Ｃのｘ座標は－４である。あとの問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）直線ＡＣの式を求めなさい。

1）

点Ａはｙ＝ａｘ²上にあるから

ｙ＝ａｘ²に（６，９）を代入

ａ×６²＝９

36ａ＝９

ａ＝1/4

2）

点Ｃはｙ＝ｘ²/4上にあるから

ｙ＝ｘ²/4に、ｘ＝－４を代入

ｙ＝（－4）²/4

　＝４

Ａ（６，９）、Ｃ（－４，４）

ｘの増加量　６－（－４）＝10

ｙの増加量　９－４＝５

傾き　５／10＝１／２

切片の値をｂとする

ｙ＝ｘ／２＋ｂ

（６，９）を代入

６／２＋ｂ＝９

ｂ＝６

よって、直線ＡＣの式は、

ｙ＝ｘ／２＋６

3）点Ｂを通り、四角形ＯＢＡＣの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

求める式が、

ＡＣとＯＣのどちらに交わるかを確かめる。

四角形ＯＢＡＣの面積を

△ＡＢＣ＋△ＯＢＣとして求める。

点Ｂの座標は（４，４）だから

△ＡＢＣの面積は

８×５×1/2＝20

△ＯＢＣの面積は、

８×４×1/2＝16

四角形ＯＢＡＣの２等分の面積は、

（20＋16）÷２＝18

よって、

２等分する直線は、ＡＣと交わる。

その交点をＤとし、ｘ座標をｔとする。

ｙ＝ｘ／２＋６上にあるから、

ｙ＝ｔ／２＋６

△ＤＢＣの底辺ＢＣの長さは８

高さは、点ＤとＢＣとの距離だから

ｔ／２＋６－４

＝ｔ／２＋２

△ＤＢＣ＝２だから

８×（ｔ／２＋２）×1/2＝２

２ｔ＋８＝２

２ｔ＝－６

ｔ＝－３

点Ｄのｘ座標は、－３

ｙ＝ｔ／２＋６より

ｙ＝－３／２＋６

　＝９／２

点Ｄのｙ座標は、9/2

Ｂ（４，４）、Ｄ（－３，9/2）

を通る直線の式を求める。

ｘの増加量　４－（－３）＝７

ｙの増加量　４－9/2＝－1/2

傾き　－1/2÷７＝－1/14

切片の値をｃとする

ｙ＝－ｘ/14＋ｃに（４，４）を代入

－４/14＋ｃ＝４

－2/7＋ｃ＝４

ｃ＝30/7

よって、２等分する直線の式は、

ｙ＝－ｘ/14＋30/7

２次関数

動点と三角形の面積

問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²・・①のグラフが、点Ａ（２，２）を通っている。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、原点はＯとする。

1）点Ａを通り、傾きが－１の直線の式を求めなさい。

2）1）で求めた直線と①のグラフとの交点のうち、点Ａとは異なる点をＢとするとき、△ＯＡＢの面積を求めなさい。

3）①のグラフ上を動く点Ｐがある。この点Ｐと、2）の点とを結んでできる直線ＢＰとｘ軸との交点をＱとする。このとき、△ＯＰＢの面積と△ＯＰＱの面積が等しくなるような点Ｐのｘ座標を求めなさい。ただし、点Ｐはｘ＞０を満たす範囲を動くものとする。

1）

切片の値をｂとし、

求める式を、ｙ＝－ｘ＋ｂとする。

Ａ（２，２）を通るから

２＝－２＋ｂ

ｂ＝４

よって、ｙ＝－ｘ＋４

2）

ａの値を求める

点Ａは、ｙ＝ａｘ²上の点だから

２＝ａ×２²

ａ＝1/2

①は、ｙ＝（1/2）ｘ²

２式の交点だから

（1/2）ｘ²＝－ｘ＋４

ｘ²＋２ｘ－８＝０

（ｘ＋４）（ｘ－２）＝０

ｘ＝－４，２

点Ａがｘ＝２だから

点Ｂは、ｘ＝－４

ＡＢとｙ軸との交点をＣとする

△ＯＢＣ＋△ＯＡＣとして求める

△ＯＢＣ

点Ｃは、ｙ＝４だから

底辺ＯＣ＝４－０＝４

点Ｂは、ｘ＝－４だから

高さＢＨ＝０－（－４）＝４

△ＯＢＣの面積は、

（1/2）×４×４＝８

△ＯＡＣの高さは、

２－０＝２で、△ＯＢＣの1/2だから※

△ＯＡＣの面積は、

８×（1/2）＝４

よって、

△ＯＢＣ＋△ＯＡＣ

＝８＋４

＝12

※共通の底辺をもつ場合は、高さが半分になると、面積も半分になる（比例の関係）。

点Ｐは、ＢＱの中点になる。

※

△ＯＰＢと△ＯＰＱにおいて

ＢＰ＝ＰＱ、

高さが点ＯとＢＱとの距離で同じだから

△ＯＰＢ＝△ＯＰＱ

点Ｂは、

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝－４だから

ｙ＝（1/2）²×（－４）＝８

点Ｑは、ｙ＝０

よって、点Ｐのｙ座標は、

（８＋０）÷２＝４

点Ｐは、

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｙ＝４だから

４＝（1/2）ｘ²

ｘ²＝８

ｘ＝±２√２

ｘ＞０より

ｘ＝２√２

よって、

求めるｘ座標は、２√２

問題

下の図において、放物線①は関数ｙ＝ｘ²のグラフであり、①上のｘ座標が２である点をＡ、点Ａを通りｘ軸に平行な直線と①との交点のうち、点Ａと異なる点をＢとする。放物線②は関数ｙ＝ａｘ²（ａ＜０）のグラフであり、②上に点Ｃ、ｙ軸上に点Ｄを、四角形ＡＢＣＤが平行四辺形となるようにとり、直線ＡＣとｙ軸との交点をＥとすると、点Ｅのｙ座標が２となった。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）直線ＡＣの式を求めなさい。

2）ａの値を求めなさい。

3）点Ｐは、放物線①上を、原点Ｏから点Ｂまで動く点とする。点Ｐを通りｙ軸に平行な直線と放物線②との交点をＱとする。△ＡＢＰの面積と△ＣＤＱの面積が等しくなるとき、点Ｐのｘ座標を求めなさい。

1）

点Ｅのｙの値が切片となるから

求める式を、ｙ＝ｃｘ＋２とする。

点Ａは、

ｙ＝ｘ²上にあり、ｘ＝２だから

ｙ＝２²＝４

点Ａは、ｙ＝ｃｘ＋２上にあるから

４＝ｃ×２＋２

ｃ＝１

よって、

ｙ＝ｘ＋２

2）

点Ｂは、点Ａとｙ軸について対称だから

ｘ＝－２

よって、

ＡＢ＝２－（－２）＝４

ＣＤ＝ＡＢ＝４、点Ｄはｘ＝０だから

点Ｃは、ｘ＝－４

点Ｃは、ｙ＝ｘ＋２上にあるから

ｙ＝－４＋２＝－２

また、ｙ＝ａｘ²上にあるから

－２＝ａ×（－４）²

よって、

ａ＝－1/8

3）

△ＡＢＰと△ＣＤＱは、

底辺がＡＢ＝ＣＤで同じだから

高さが等しくなる点ＰとＱをとる。

ＰＱはｙ軸に平行だから、

ＰとＱのｘ座標をｔとする。

点Ｐは、

ｙ＝ｘ²上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝ｔ²

よって、

△ＡＢＰの高さは、

点Ｂがｙ＝４だから、４－ｔ²　①

点Ｑは、

ｙ＝（－1/8）ｘ²上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝（－1/8）ｔ²

よって、

△ＣＤＱの高さは、

点Ｃがｙ＝－２だから、

（－1/8）ｔ²－（－２）

＝（－1/8）ｔ²＋２　②

①＝②より

４－ｔ²＝（－1/8）ｔ²＋２

７ｔ²＝16

ｔ＝±４√７／７

ｔ＜０より　※

ｔ＝－４√７／７

よって、

求める点Ｐのｘ座標は、－４√７／７

※点Ｐは、原点ＯからＢまで動くから、ｘ座標は負。

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