関数高校入試対策⑤

たむかい学習教室
6 日前
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関数高校入試対策⑤

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の「関数」の問題では、図形の面積を利用した出題があります。面積を２等分する直線や、面積が等しくなる点を求める問題などです。ｘ軸・ｙ軸に平行な直線や、グラフの傾きに平行な直線をもとに考えていきます。

三角形の面積

問題

下の図のように、関数ｙ＝（1/2）ｘ²のグラフ上に２点Ａ、Ｂをとり、それぞれのｘ座標を－２、４とする。また、点Ｃを線分ＢＣとｘ軸が平行になるようにｙ軸上にとり、点ＤをＢＣ//ＡＤとなるように関数ｙ＝（1/2）ｘ²のグラフ上にとる。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）関数ｙ＝（1/2）ｘ²について、ｘの変域が－２≦ｘ≦４のとき、ｙの変域を求めなさい。

2）２点Ａ、Ｂを通る直線の式を求めなさい。

3）原点Ｏを通り、四角形ＡＤＢＣの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

1）

グラフは上開きだから

ｘの絶対値が大きいほうがｙは最大

ｘ＝４のとき

ｙ＝（1/2）×４²＝８

ｘ＝０のとき、ｙ＝０で最小だから

０≦ｙ≦８

2）

点Ａは、

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝－２だから

ｙ＝（1/2）×（－２）²＝２

点Ａは、（－２，２）

点Ｂは、1）より（４，８）

ｘの増加量　４－（－２）＝６

ｙの増加量　８－２＝６

傾き　６／６＝１

切片の値をｂとする

ｙ＝ｘ＋ｂ

（－２，２）を通るから

２＝－２＋ｂ

ｂ＝４

よって、求める式は、

ｙ＝ｘ＋４

3）

線分ＢＣはｘ軸に平行

点Ｂはｘ＝４、点Ｃはｘ＝０だから

ＢＣ＝４－０＝４

線分ＡＤもｘ軸に平行だから

２点のｙ座標は同じ２

２点はｙ＝（1/2）ｘ²上にあるから

２＝（1/2）ｘ²

ｘ＝±２

点Ａはｘ＝－２、点Ｄはｘ＝２だから

ＡＤ＝２－（－２）＝４

ＢＣ//ＡＤ、ＢＣ＝ＡＤより

四角形ＡＤＢＣは平行四辺形である。

よって、

面積を２等分する直線は、対角線の交点を通る。

Ｃ（０，８）とＤ（２，２）の中点だから

ｘ座標　（０＋２）÷２＝１

ｙ座標　（８＋２）÷２＝５　※

原点と（１，５）を通る直線だから

求める式は、ｙ＝５ｘ

※中点の座標

ｘの２点の値の和÷２

ｙの２点の値の和÷２

点Ｂから垂線ＢＨをひき、直角三角形ＢＡＨのＢＨとＡＨの中点を求めてもよい。

本問では、直線ＡＢとＣＤの式の連立方程式により求めることもできる。

問題

下の図で、①は関数ｙ＝ａｘ²のグラフであり、直線②と２点Ａ、Ｂで交わっている。点Ａの座標は（－２，１）、点Ｂの座標は（６，９）である。点Ｃ、Ｆは①上に、点Ｄは②上にあり、四角形ＣＤＥＦは、辺ＣＦがｘ軸と平行な長方形である。あとの問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）直線②の式を求めなさい。

3）ＣＤ：ＣＦ＝１：２のとき、①上の点Ｃのｘ座標を求めなさい。ただし、点Ｃは原点Ｏと点Ｂの間にあるものとする。

1）

ｙ＝ａｘ²は、（－２，１）を通るから

１＝ａ×（－２）²

よって、

ａ＝1/4

2）

２点（－２，１）（６，９）を通る直線

ｘの増加量　６－（－２）＝８

ｙの増加量　９－１＝８

傾き　８／８＝１

切片の値をｂとする

ｙ＝ｘ＋ｂ

（－２，１）を通るから

１＝－２＋ｂ

ｂ＝３

よって、求める式は、

ｙ＝ｘ＋３

3）

点Ｃのｘ座標をｔとする（ｘ＝ｔ）

点Ｃはｙ＝（1/4）ｘ²上にあるから

ｙ座標は、（1/4）ｔ²

ＣＤとｙ軸が平行だから

点Ｄのｘ座標は、点Ｃと同じｔ

点Ｄはｙ＝ｘ＋３上にあるから

ｙ座標は、ｔ＋３

よって、

ＣＤ＝（ｔ＋３）－（1/4）ｔ²　①※

また、

ＣＦはｘ軸に平行で、２点は放物線上にある。

点Ｆは、点Ｃとｙ軸について対称だから

ｘ座標は、－ｔ

よって、

ＣＦ＝ｔ－（－ｔ）＝２ｔ　②

①、②より

（ｔ＋３）－（1/4）ｔ²：２ｔ＝１：２

（ｔ＋３）－（1/4）ｔ²：ｔ＝１：１

（ｔ＋３）－（1/4）ｔ²＝ｔ

３－（1/4）ｔ²＝０

ｔ²＝12

ｔ＝±２√３

点Ｃは原点Ｏと点Ｂの間にあるから

ｔ＞０より、ｔ＝２√３

よって、

求めるｘ座標は、２√３

※辺の長さの表し方

絶対値の大きい方から小さい方を引く

ｘ軸に平行な直線👉２点のｘの値の差

ｙ軸に平行な直線👉２点のｙの値の差

問題

下の図で、放物線は関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフである。点Ａは放物線上の点であり、その座標は（６，９）である。また、点Ｂの座標は（６，４）であり、点Ｏは原点である。あとの問いに答えなさい。

1）関数ｙ＝（1/4）ｘ²について、ｘの値が０から６まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

2）次のア～エの関数のうち、そのグラフを上の図にかき入れたとき、グラフが線分ＡＢと交わるものはどれか。ア～エから１つ選びなさい。

ア　ｙ＝（1/4）ｘ

イ　ｙ＝２ｘ

ウ　ｙ＝（1/8）ｘ²

エ　ｙ＝ｘ²

3）点Ａを通りｘ軸に平行な直線と放物線との交点のうち、Ａ以外の交点をＣとする。ｙ軸上に点Ｐをとり、△ＣＯＢの面積と△ＣＯＰの面積が等しくなるようにする。このとき、点Ｐのｙ座標をすべて求めなさい。

1）

ｘ＝０のとき、ｙ＝０

ｘ＝６のとき、

ｙ＝（1/4）×６²＝９

ｘの増加量　６－０＝６

ｙの増加量　９－０＝９

変化の割合　９／６＝３／２

よって、3/2

2）

点ＡとＢは、ｘ座標が同じ６だから

直線ＡＢは、ｘ＝６

よって、

ｘ＝６と４≦ｙ≦９で交わるグラフになる

ア　ｙ＝（1/4）×６＝3/2＝1.5

イ　ｙ＝２×６＝12

ウ　ｙ＝（1/8）×６²＝9/2＝4.5

エ　ｙ＝６²＝36

よって、ウ

3）

△ＣＯＢ＝△ＣＯＰとなる点Ｐ

①　共通底辺をＯＣとする　※

②　ＯＣと平行で点Ｂを通る直線を引く

③　直線とｙ軸との交点がＰ

点Ｃのｙ座標は、点Ａと同じ９

点Ａとｙ軸について対称だから

点Ｃのｘ座標は、－６

Ｃ（－６，９）

直線ＯＣの傾きは、

９／－６＝－３／２

ＯＣ//ＢＰより、ＢＰの傾きも－３／２

ＢＰの切片の値をｂとする

ｙ＝（－3/2）ｘ＋ｂ

Ｂ（６，４）を通るから

４＝（－3/2）×６＋ｂ

ｂ＝13

よって、

点Ｐのｙ座標は、13

点Ｐをｙ軸の負の部分にとり、Ｐ’とする。

△ＣＯＰと△ＣＯＰ’の高さは、

ともに点Ｃとｙ軸との距離（垂線）になる。

△ＣＯＰ＝△ＣＯＰ’となるには、

底辺ＯＰ＝底辺ＯＰ’であればよいから

点Ｐ’のｙ座標は、－13

よって、求めるｙ座標は、

13と－13

※等積変形

２つの三角形が共通な底辺をもつとき、残りの頂点が底辺と平行な直線上にあると、面積は等しくなる。

ｙ軸の負の部分Ｐは、点Ｂと原点Ｏについて対称な点をとって求めることもできる。

Ｂ（６，４）と原点について対称な点

ｘとｙ座標は異符号になるから

（－６，－４）

傾き－3/2で、（－６，－４）を通る直線

ｙ＝（－3/2）ｘ＋ｂ

－４＝（－3/2）×（－６）＋ｂ

ｂ＝－13

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