関数高校入試対策12

たむかい学習教室
1月8日
読了時間: 8分

関数高校入試対策12

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では関数の出題があり、塾生は対策を進めています。２次関数のグラフはｙ軸について対称になるため、放物線とｘ軸に平行な直線が交わってできる２点のｙ座標はともに同じになります。

問題

下図において、ｍはｙ＝（1/3）ｘ²のグラフを表す。Ａ、Ｂはｍ上の点であって、Ａのｘ座標は正であり、Ｂのｘ座標は負である。Ａのｙ座標とＢのｙ座標は等しい。ＡとＢとを結ぶ。ＢＡ＝８cmである。このとき、Ａのｙ座標を求めなさい。

ＢＡとｙ軸との交点をＣとする

ＢＡはｘ軸と平行であり、

放物線はｙ軸について対称だから

ＡＣ＝ＣＢ＝４cm

よって、

点Ａのｘ座標は４

点Ａは、ｙ＝（1/3）ｘ²上にあるから

ｙ＝（1/3）×４²＝16/3

よって、16/3

問題

下図において、ｍはｙ＝（1/2）ｘ²のグラフを表す。Ａ、Ｂはｍ上の点であり、そのｘ座標はそれぞれ３、－１である。ℓは、点Ｂを通り傾きが２の直線である。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）Ａのｙ座標を求めなさい。

2）直線ℓの式を求めなさい。

1）

点Ａは、

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝３だから

ｙ＝（1/2）×３²＝9/2

よって、9/2

2）

点Ｂは、

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝－１だから

ｙ＝（1/2）×（－１）²＝1/2

直線ℓは、傾きが２だから

求める式を、ｙ＝２ｘ＋ｂとする。

Ｂ（－１，1/2）を通るから

1/2＝２×（－１）＋ｂ

ｂ＝5/2

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ＋（5/2）

問題

下の図のように、関数ｙ＝２ｘ²のグラフ上に、２点Ｐ、Ｑがあり、直線ＰＱはｘ軸に平行である。点Ｐのｘ座標をｐとする。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、ｐ＞０とする。

1）点Ｑの座標をｐを用いて表しなさい。

2）関数ｙ＝２ｘ²のグラフ上で、ｘ座標が２ｐである点をＲとする。２点Ｑ、Ｒを通る直線の傾きが７のとき、ｐの値を求めなさい。

1）

ＰＱはｘ軸に平行、

放物線はｙ軸について対称だから

点ＰとＱのｘの絶対値は同じである。

点Ｐは、ｘ＝ｐだから

点Ｑは、ｘ＝－ｐ

ｙ＝２ｘ²上の点だから

ｙ＝２×（－ｐ）²＝２ｐ²

よって、

Ｑ（－ｐ，２ｐ²）

2）

点Ｒは、

ｙ＝２ｘ²上にあり、ｘ＝２ｐだから

ｙ＝２×（２ｐ）²＝８ｐ²

Ｒ（２ｐ，８ｐ²）

Ｑ（－ｐ，２ｐ²）

ｘの増加量　２ｐ－（－ｐ）＝３ｐ

ｙの増加量　８ｐ²－２ｐ²＝６ｐ²

傾き　６ｐ²／３ｐ＝２ｐ

傾きは７だから

２ｐ＝７

よって、

ｐ＝7/2

問題

下の図のように、関数ｙ＝（1/6）ｘ²のグラフ上に、ｘ座標が－６となる点Ａと、ｘ座標が正である点Ｂをとり、２点Ａ、Ｂを通る直線とｙ軸との交点をＣとする。ＡＣ：ＣＢ＝３：２となるとき、点Ｂの座標を求めなさい。

点Ａを通り、ｘ軸に平行な直線と、

点Ｂを通り、ｙ軸に平行な直線の交点をＤとする。

また、ＡＤとｙ軸の交点をＥとする。

ＥＣ//ＤＢだから

平行線の比の性質より

ＡＥ：ＥＤ＝ＡＣ：ＣＢ＝３：２

ＡＥ＝６だから

６：ＥＤ＝３：２

ＥＤ＝４

よって、

点Ｂのｘ座標は、４

ｙ＝（1/6）ｘ²上にあるから

ｙ＝（1/6）×４²＝8/3

よって、求める座標は、

（４，8/3）

問題

図１で、①は関数ｙ＝（－1/2）ｘ²のグラフである。２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれ－２、６である。あとの問いに答えなさい。

1）①の関数について、ｘの変域が－２≦ｘ≦６のときのｙの変域を求めなさい。

2）２点Ａ、Ｂを通る直線の式を求めなさい。

1）

グラフは下開き（上に凸）

ｘの絶対値が大きいほうがｙは最小

ｘ＝６のときだから

ｙ＝（－1/2）×６²＝－18

ｘ＝０のとき、ｙ＝０で最大

よって、

－18≦ｙ≦０

2）

1）より

点Ｂ（６，－18）

点Ａはｘ＝－２だから

ｙ＝（－1/2）×（－２）²＝－２

よって、

点Ａ（－２，－２）

ｘの増加量　６－（－２）＝８

ｙの増加量　－18－（－２）＝－16

直線の傾き　－16／８＝－２

切片の値をｂとする

ｙ＝－２ｘ＋ｂ

（－２，－２）を通るから

－２＝－２×（－２）＋ｂ

ｂ＝－６

よって、求める式は、

ｙ＝－２ｘ－６

図２は、図１に②と線分ＣＤ、ＯＢ、ＡＢをかき加えたもので、②は２点Ｏ、Ａを通る直線である。また、点Ｃはｘ軸上の点でｘ座標は負であり、点Ｄはｙ軸上の点で、ＣＤ//ＯＢである。②と線分ＣＤとの交点をＥとする。△ＡＯＢとＣＯＤの面積が等しいとき、あとの問いに答えなさい。

3）点Ｃの座標を求めなさい。

4）点Ｅを通り、△ＣＯＤの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

3）

△ＡＯＢの面積を求める

直線ＡＢとｙ軸との交点をＦとする

△ＡＯＦ＋△ＢＯＦとして求める

△ＡＯＦの面積

底辺ＯＦは、ＡＢの切片が－６だから

ＯＦ＝０－（－６）＝６

高さは、点Ａとｙ軸との距離だから

ＡＨ＝０－（－２）＝２

よって、

△ＡＯＦ

＝（1/2）×６×２＝６

△ＢＯＦの面積

高さは、点Ｂとｙ軸との距離だから

ＢＨ’＝６－０＝６

△ＡＯＦの高さの３倍だから

面積も３倍になる。

よって、

△ＢＯＦ＝３△ＡＯＦ＝18

△ＡＯＢの面積は

△ＡＯＦ＋△ＢＯＦ

＝６＋18＝24

ＣＤ//ＯＢより

直線ＣＤの傾きは、ＯＢと同じ。

ＯＢの傾きは、

点Ｂ（６，－18）より

－18／６＝－３

点Ｃのｘ座標をｔ、

直線ＣＤの切片の値をｃとする

直線の式は、ｙ＝－３ｘ＋ｃ

Ｃ（ｔ，０）を通るから

０＝－３ｔ＋ｃ

ｃ＝３ｔ

△ＣＯＤにおいて

∠ＣＯＤ＝90°、

ＣＯ＝ｔ、ＯＤ＝３ｔだから

面積を求める式は、

（1/2）×ｔ×３ｔ

＝（3/2）ｔ²

△ＣＯＤ＝△ＡＯＢ＝24だから

（3/2）ｔ²＝24

ｔ²＝16

ｔ＝±４

点Ｃのｘ座標は負で、ｔ＞０だから

ｔ＝－４

よって、（－４，０）

4）

直線ＣＤの式は、ｙ＝－３ｘ＋ｃ

Ｃ（－４，０）を通るから

０＝－３×（－４）＋ｃ

ｃ＝－12

よって、

直線ＣＤは、ｙ＝－３ｘ－12

また、

直線ＯＡの式は、Ａ（－２，－２）だから

ｙ＝ｘ

点Ｅは、直線ＣＤとＯＡの交点だから

２式の連立方程式より

ｘ＝－３ｘ－12

ｘ＝－３

よって、

ｙ＝－３で、Ｅ（－３，－３）

２等分する直線とｙ軸の交点をＧとする

△ＤＥＧ＝24÷２＝12

高さは点Ｅとｙ軸との距離だから３

底辺ＤＧの長さは、

（1/2）×ＤＧ×３＝12

ＤＧ＝８

点Ｄは、ｙ＝－12だから

点Ｇは、ｙ＝－12＋８＝－４

求める直線の傾きをｄとする

切片が－４だから、ｙ＝ｄｘ－４

Ｅ（－３，－３）を通るから

－３＝ｄ×（－３）－４

ｄ＝－1/3

よって、求める式は、

ｙ＝（－1/3）ｘ－４

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