関数高校入試対策13

たむかい学習教室
1月10日
読了時間: 9分

関数高校入試対策13

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では関数の出題があり、塾生は対策を進めています。1次関数では、変化の割合が一定になるため、グラフは直線で表されます。また、直線の交点を利用した出題があります。

問題

ｙはｘに比例し、ｘ＝３のときｙ＝ｍ、ｘ＝５のときｙ＝２ｍ－５である。ｍの値を求めなさい。

ｘとｙは比例の関係だから

３：ｍ＝５：（２ｍ－５）

５ｍ＝６ｍ－15

ｍ＝15

※別解

ｙがｘに比例する式をｙ＝ａｘとする

ｘ＝３、ｙ＝ｍを代入

ｍ＝３ａ

ｘ＝５、ｙ＝２ｍ－５を代入

２ｍ－５＝５ａ

この方程式にｍ＝３ａを代入

２×３ａ－５＝５ａ

ａ＝５

ｙ＝５ｘの式となるから

ｘ＝３を代入

ｙ＝５×３＝15

よって、ｍ＝15

問題

ｙはｘの１次関数で、そのグラフが点（０，３）を通り、傾き２の直線であるとき、この１次関数の式を求めなさい。

（０，３）を通るから、切片は３

👉切片：ｘ＝０のときのｙの値

傾き２、切片の値は３だから

求める式は、ｙ＝２ｘ＋３

問題

ｙがｘの１次関数で、そのグラフが直線ｙ＝３ｘ＋２に平行で、点（２，－１）を通る直線であるとき、この１次関数を求めなさい。

求める式とｙ＝３ｘ＋２が平行だから

求める式の傾きは３

切片の値をｂとする

ｙ＝３ｘ＋ｂ

（２，－１）を通るから

－１＝３×２＋ｂ

ｂ＝－７

よって、ｙ＝３ｘ－７

問題

下の図で、２つの直線ｙ＝２ｘ－１、ｙ＝－ｘ＋５の交点の座標を求めなさい。

交点の座標は、ｘとｙの値がそれぞれ同じ。

よって、

２式の連立方程式により求める。

ｙ＝２ｘ－１　①

ｙ＝－ｘ＋５　②

①＝②より

２ｘ－１＝－ｘ＋５

ｘ＝２

①に代入

ｙ＝２×２－１＝３

よって、（２，３）

問題

下の図のように、ｙ軸上に点Ａ（０，５）がある。点Ａを通り、ｘ軸に平行な直線をひく。この直線上に点Ｂをとり、直線ＯＢの傾きをａとする。点Ｂを通り、傾きが－ａの直線が２点Ｃ（６，０）、Ｄ（８，０）を結ぶ線分ＣＤ上の点を通るとき、ａの値の範囲を求めなさい。

ＢＣの傾き－ａのとき

ＯＢとＢＣの傾きの絶対値は同じ

△ＢＯＣは、

∠ＢＯＣ＝∠ＢＣＯの二等辺三角形

点ＢからＯＣへの垂線をＢＨとする

ＯＣ＝６－０＝６だから

点Ｈは、ｘ＝６÷２＝３

よって、Ｂ（３，５）

点Ｂはｙ＝ａｘ上にあるから

５＝ａ×３

ａ＝5/3

ＢＤの傾き－ａのとき

ＯＢとＢＤの傾きの絶対値は同じ

△ＢＯＤは、

∠ＢＯＤ＝∠ＢＤＯの二等辺三角形

点ＢからＯＤへの垂線をＢＨ’とする

ＯＤ＝８－０＝８だから

点Ｈ’は、ｘ＝８÷２＝４

よって、Ｂ（４，５）

点Ｂはｙ＝ａｘ上にあるから

５＝ａ×４

ａ＝5/4

以上から、求める範囲は、

5/4≦ａ≦5/3

問題

下の図で、直線ℓは関数ｙ＝（1/3）ｘ＋５のグラフ、直線ｍは関数ｙ＝２ｘのグラフ、直線ｎは関数ｙ＝（－4/3）ｘのグラフである。直線ℓと直線ｍは点Ａで、直線ℓと直線ｎは点Ｂでそれぞれ交わっている。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の１目もりの単位を１cmとする。

1）点Ａの座標を求めなさい。

2）△ＯＡＢの面積を求めなさい。

1）

交点の座標は、ｘとｙの値がそれぞれ同じ。

よって、

２式の連立方程式により求める。

ｙ＝（1/3）ｘ＋５　①

ｙ＝２ｘ　②

①＝②より

（1/3）ｘ＋５＝２ｘ

ｘ＋15＝６ｘ

ｘ＝３

②に代入

ｙ＝２×３＝６

よって、（３，６）

2）

直線ℓとｙ軸との交点をＣとする

直線ℓの切片の値は５だから

点Ｃは、ｙ＝５

よって、

ＯＣ＝５－０＝５

点Ｂのｘ座標を求める

直線ℓとｎの連立方程式は、

ｙ＝（1/3）ｘ＋５　①

ｙ＝（－4/3）ｘ　②

①＝②より

（1/3）ｘ＋５＝（－4/3）ｘ

ｘ＋15＝－４ｘ

ｘ＝－３

△ＯＢＣの底辺をＯＣ、

高さを点Ｂからｙ軸への垂線ＢＨとする

ＯＣ＝５

ＢＨ＝０－（－３）＝３

よって、△ＯＢＣの面積は、

（1/2）×５×３＝15/2

△ＯＡＣの底辺をＯＣ、

高さを点Ａからｙ軸への垂線ＡＨ’とする

ＡＨ’＝３－０＝３

△ＯＢＣの底辺・高さと同じだから

△ＯＡＣ＝15/2

△ＯＡＢ＝△ＯＢＣ＋△ＯＡＣだから

△ＯＡＢ＝（15/2）＋（15/2）＝15

よって、

求める面積は、15cm²

問題

１周3200mの池がある。太郎さんと花子さんは、同じ場所から出発し、それぞれこの池の周りを１周する。上のグラフは、太郎さんが出発してからｘ分後における進んだ道のりをｙmとして、ｘとｙの関係を表したものである。あとの問いに答えなさい。

1）太郎さんは、出発して32分後から８分間休憩した。休憩前は毎分何mの速さで進んだか求めなさい。

2）休憩後に太郎さんが進んだようすを表した直線の式を求めなさい。

3）花子さんは、太郎さんが出発してから24分後に、太郎さんとは反対の向きに毎分40mの速さで進んだ。２人が出会うのは太郎さんが出発してから何分後か求めなさい。

1）

1600mの道のりを32分で進むから

求める速さは、1600÷32＝50

よって、毎分50m

2）

グラフより

休憩を終えたときは、

ｘ＝40、ｙ＝1600

１周したときは、

ｘ＝60、ｙ＝3200

ｘの増加量　60－40＝20

ｙの増加量　3200－1600＝1600

よって、直線の傾きは、

1600/20＝80

切片の値をｂとする

ｙ＝80ｘ＋ｂ

（40，1600）を通るから

1600＝80×40＋ｂ

ｂ＝－1600

よって、求める式は、

ｙ＝80ｘ－1600

3）

花子さんは、

「反対の向きに毎分40mの速さで進む」

とあるから、

花子さんの式の傾きは、－40

切片の値をｃとする

ｙ＝－40ｘ＋ｃ

ｘ＝24のとき、ｙ＝3200だから

3200＝－40×24＋ｃ

ｃ＝4160

花子さんの式は、

ｙ＝－40ｘ＋4160

花子さんのグラフが太郎さんのグラフのどこで交わるかを確認する。

ｘ＝40を代入

ｙ＝－40×40＋4160＝2560

花子さんは2560mの地点、

太郎さんは1600の地点にいるから

太郎さんの休憩後のときに交わる。

太郎さんの休憩後の式は、

ｙ＝80ｘ－1600だから

２式の連立方程式により求める。

80ｘ－1600＝－40ｘ＋4160

120ｘ＝5760

ｘ＝48

よって、48分後

問題

はるとさんの学校から図書館までは一本道であり、その途中に公園がある。この道を、学校を出発して分速50mで歩くと、学校から公園までにかかる時間は、公園から図書館までにかかる時間より３分長くかかる。

ある日、はるとさんは、午後４時ちょうどに学校を出発して、図書館に向かった。学校から公園までは分速90mで歩き、公園で10分間休んだあと、公園から図書館までは分速60mで歩いたところ、午後４時45分に図書館に着いた。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）学校から公園までの道のりと公園から図書館までの道のりは、それぞれ何mか求めなさい。

学校から公園までをｘm、

公園から図書館までをｙmとする。

ｘmを分速50mで進むから

公園までの時間は、

ｘ÷50＝ｘ／50 分

ｙmを分速50mで進むから

図書館までの時間は、

ｙ÷50＝ｙ／50 分

よって、

（ｘ/50）－（ｙ/50）＝３　①

ある日の場合

ｘmを分速90mで進むから

公園までの時間は、

ｘ÷90＝ｘ／90 分

ｙmを分速60mで進むから

図書館までの時間は、

ｙ÷60＝ｙ／60 分

よって、

（ｘ/90）＋10＋（ｙ/60）＝45　②

①×50より

ｘ－ｙ＝150　①’

②×180より

２ｘ＋1800＋３ｙ＝8100

２ｘ＋３ｙ＝6300　②’

①’×２－②’より

　　２ｘ－２ｙ＝300

－）２ｘ＋３ｙ＝6300

　　　　　　ｙ＝1200

①’に代入

ｘ－1200＝150

ｘ＝1350

よって、

学校から公園まで　1350m

公園から図書館まで　1200m

2）この日、りくさんは、はるとさんと同時に学校を出発して休まずに一定の速さで歩き、図書館に向かった。はじめは、はるとさんより後ろを歩いていたが、途中ではるとさんを追いこした。

次の図は、りくさんとはるとさんが学校を出発してから図書館に着くまでの時間と道のりの関係を、それぞれグラフに表したものである。このとき、りくさんがはるとさんに追いついたのは、午後４時何分か、その時刻を求めなさい。

公園は学校から1350mの地点、

図書館は学校から

1350＋1200＝2550mの地点になる。

りくさんは、2550mを34分で進んだから

進む速さは、

2550÷34＝75　分速75m

グラフから

ｙ＝75ｘとｙ＝1350の交点になるから

75ｘ＝1350

ｘ＝18

よって、午後４時18分

👉一次関数練習問題

👉二次関数練習問題

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今年度塾生35名（2026年1月現在）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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