関数高校入試対策17

たむかい学習教室
2月18日
読了時間: 8分

関数高校入試対策17

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の関数では、グラフの座標を文字にして、式や図形の面積を求める出題があります。点のｘ座標がｔであれば、点が位置するグラフの式のｘにｔを代入して、ｙ座標もｔを使って表します。

問題

下の図において、①は関数ｙ＝ｘ²のグラフで、②は関数ｙ＝ｘ＋２のグラフである。点Ａは①と②の交点のうちｘ座標が２の点である。２点Ｂ、Ｃは①上の点で、点Ｂのｘ座標は２より大きく、線分ＢＣはｘ軸に平行である。また、点Ｂを通り、ｙ軸に平行な直線をひき、②との交点をＤとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）関数ｙ＝ｘ²で、ｘの変域が－２≦ｘ≦１のとき、ｙの変域を求めなさい。

2）ＢＣ＝ＢＤとなるときの点Ｂのｘ座標をｔとするとき、ｔの値を求めなさい。

1）

グラフは上開き（下に凸）

ｘの絶対値が大きいほうがｙは最大

ｘ＝－２のとき、

ｙ＝（－２）²＝４

ｘ＝０のとき、ｙ＝０で最小

よって、

０≦ｙ≦４

2）

点Ｂは、

ｙ＝ｘ²上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝ｔ²

Ｂ（ｔ，ｔ²）

点Ｃは、ｙ軸について対称だから

Ｃ（－ｔ，ｔ²）

ＢＣの長さは、ｘの値の差だから

ＢＣ＝ｔ－（－ｔ）＝２ｔ　①

点Ｄは、ｘ＝ｔ

ｙ＝ｘ＋２上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝ｔ＋２

Ｄ（ｔ，ｔ＋２）

ＢＤの長さは、ｙの値の差だから

ＢＤ＝ｔ²－（ｔ＋２）＝ｔ²－ｔ－２　②

①＝②より

２ｔ＝ｔ²－ｔ－２

ｔ²－３ｔ－２＝０

解の公式より

ｔ＝（３±√17）／２

ｔ＞０より

ｔ＝（３＋√17）／２

問題

図１で、①は関数ｙ＝（1/2）ｘ²のグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれ４、－２である。また、点Ａからｘ軸にひいた垂線とｘ軸との交点をＣとする。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ｂのｙ座標を求めなさい。

2）△ＡＢＣの面積を求めなさい。

1）

点Ｂは、

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝－２だから

ｙ＝（1/2）×（－２）²＝２

よって、２

2）

点ＢからＡＣへの垂線をＢＨとする

点Ａのｙ座標は、

ｙ＝（1/2）×４²＝８

ＡＣ＝８－０＝８

ＢＨ＝４－（－２）＝６

よって、△ＡＢＣの面積は、

（1/2）×ＡＣ×ＢＨ

＝（1/2）×８×６＝24

よって、24cm²

図２は、図１に②、③をかき加えたもので、②は２点Ａ、Ｂを通る直線、③はｘ＝ｔ（０＜ｔ＜４）の直線である。③とｘ軸、②、①との交点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

3）ｔ＝２のとき、点Ｑの座標を求めなさい。

4）ＰＲ＝ＱＲのとき、ｔの値を求めなさい。

3）

点Ｑは直線ＡＢ上にあるから、直線の式を求める。

Ａ（４，８）　Ｂ（－２，２）

ｘの増加量　４－（－２）＝６

ｙの増加量　８－２＝６

傾き　６／６＝１

切片の値をｂとする

ｙ＝ｘ＋ｂ

（－２，２）を通るから

２＝－２＋ｂ　ｂ＝４

直線ＡＢの式は、ｙ＝ｘ＋４

点Ｑは、ｘ＝２だから

ｙ＝２＋４＝６

よって、（２，６）

4）

点Ｐは、ｙ＝０

点Ｒは、ｙ＝（1/2）ｘ²上にあるから

ｙ＝（1/2）ｔ²

よって、

ＰＲ＝（1/2）ｔ²－０＝（1/2）ｔ²

点Ｑは、ｙ＝ｘ＋４上にあるから

ｙ＝ｔ＋４

よって、

ＱＲ＝（ｔ＋４）－（1/2）ｔ²

ＰＲ＝ＱＲだから

（1/2）ｔ²＝（ｔ＋４）－（1/2）ｔ²

ｔ²－ｔ－４＝０

解の公式より

ｔ＝（1±√17）/2

０＜ｔ＜４だから

ｔ＝（1＋√17）/2

問題

下の図において、①は関数ｙ＝20/ｘ（ｘ＞０）のグラフである。２点Ａ、Ｂは①上にあり、そのｘ座標は、それぞれ５、２である。点Ｐは①上を動く点で、②は点Ｐを通る関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフである。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）①のグラフ上で、ｘ座標、ｙ座標がともに整数である点は何個あるか、求めなさい。

2）②の形は、点Ｐの動きにともなって変化する。点Ｐが点Ａと点Ｂの間を動くとき、ａのとりうる値の範囲を不等号で表しなさい。

3）②上にｘ座標が－３である点Ｃをとる。直線ＡＣが△ＯＡＢの面積を２等分するとき、ａの値と直線ＡＣの式を求めなさい。

1）

①はｙ＝20/ｘだから

ｘの値が20の約数のときになる

約数は、1,2,4,5,10,20

よって、６個

2）

放物線は上開きだから

点Ａにあるときａは最小、

点Ｂにあるときａは最大になる。

点Ａはｙ＝20/ｘ上にあり、ｘ＝５だから

ｙ＝20/５＝４

ｙ＝ａｘ²に、（５，４）を代入

４＝ａ×５²

ａ＝4/25

点Ｂはｙ＝20/ｘ上にあり、ｘ＝２だから

ｙ＝20/2＝10

ｙ＝ａｘ²に、（２，10）を代入

10＝ａ×２²

ａ＝5/2

よって、4/25≦ａ≦5/2

3）

線分ＯＢの中点を通る式になる

中点をＭとする

Ｏ（０，０）とＢ（２，10）

ｘとｙそれぞれの値の平均だから

ｘ＝（０＋２）÷２＝１

ｙ＝（０＋10）÷２＝５

よって、Ｍ（１，５）

Ａ（５，４）とＭ（１，５）を通る直線

ｘの増加量　５－１＝４

ｙの増加量　４－５＝－１

傾き　－１/４

切片の値をｂとする

ｙ＝（－1/4）ｘ＋ｂ

（１，５）を通るから

５＝（－1/4）×１＋ｂ

ｂ＝21/4

よって、直線ＡＣの式は、

ｙ＝（－1/4）ｘ＋（21/4）

点Ｃは、ｘ＝－３だから

ｙ＝（－1/4）×（－３）＋（21/4）

　＝６

点Ｃは、ｙ＝ａｘ²上にあるから

ｘ＝－３、ｙ＝６を代入

６＝ａ×（－３）²

ａ＝2/3

問題

図１～図３のように、関数ｙ＝（1/2）ｘ²のグラフ①上に２点Ａ、Ｂがあり、Ａ、Ｂのｘ座標はそれぞれ２、－４である。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）直線ＡＢの式を求めなさい。

2）△ＯＡＢの面積を求めなさい。

3）図２、図３のように、点Ｐが①上にある。点Ｐを通りｘ軸に平行な直線と直線ＡＢとの交点をＱとする。点Ｐのｘ座標をｔとするとき、次の問いに答えなさい。ただし、２＜ｔ＜４とする。

㋐　点Ｑがｙ軸上にあるとき、線分ＰＱの長さを求めなさい。

㋑　線分ＰＱの長さをｔで表しなさい。

㋒　図３のように、ＡＢ//ＰＲとなる点Ｒを①上にとる。点Ｐのｘ座標と点Ｒのｘ座標の差が７となるとき、△ＰＱＲの面積を求めなさい。

1）

点Ａはｘ＝２だから

ｙ＝（1/2）×２²＝２

点Ｂはｘ＝－４だから

ｙ＝（1/2）×（－４）²＝８

Ａ（２，２）　Ｂ（－４，８）

ｘの増加量　２－（－４）＝６

ｙの増加量　２－８＝－６

傾き　－６／６＝－１

切片の値をｂとする

ｙ＝－ｘ＋ｂ

（２，２）を通るから

２＝－２＋ｂ　ｂ＝４

よって、求める式は、

ｙ＝－ｘ＋４

2）

直線ＡＢとｙ軸の交点をＣとする

ＯＣ＝４、ＡからＯＣへの垂線が２

よって、

△ＯＡＣ＝（1/2）×４×２＝４

Ｂからｙ軸への垂線が４で、

△ＯＡＣの高さの２倍だから

△ＯＢＣ＝２△ＯＡＣ＝８

よって、求める面積は、

△ＯＡＣ＋△ＯＢＣ＝12

3）㋐

点Ｑがｙ軸上にあるとき、線分ＰＱの長さを求めなさい。

1）より、Ｑがｙ軸にあるときはｙ座標４

Ｐのｙ座標も同じ４だから

ｙ＝（1/2）ｘ²より

４＝（1/2）ｘ²

ｘ²＝８

ｘ＞０より、ｘ＝２√２

よって、

点Ｐのｘ座標は２√２

ＰＱの長さはｘの値の差だから

２√２－０＝２√２

㋑　線分ＰＱの長さをｔで表しなさい。

点Ｐの座標は（ｔ，（1/2）ｔ²）

点Ｑはｙ＝－ｘ＋４上にあり、

Ｐのｙ座標と同じだから

（1/2）ｔ²＝－ｘ＋４

ｘ＝－（1/2）ｔ²＋４

２点のｘの値の差だから

ｔ－｛－（1/2）ｔ²＋４｝

＝（1/2）ｔ²＋ｔ－４

㋒　図３のように、ＡＢ//ＰＲとなる点Ｒを①上にとる。点Ｐのｘ座標と点Ｒのｘ座標の差が７となるとき、△ＰＱＲの面積を求めなさい。

点Ｒのｘ座標をｓとする

点ＰとＲのｘ座標の差は、

ｔ－ｓ＝７

ｓについて変形して

ｓ＝ｔ－７

直線ＰＲの傾きはＡＢと同じ－１だから

点ＰとＲのｙ座標の差も７

点Ｒのｙ座標は（1/2）ｓ²だから

点ＰとＲのｙ座標の差は、

（1/2）ｓ²－（1/2）ｔ²＝７

両辺を２倍して

ｓ²－ｔ²＝14

ｓにｔ－７を代入

（ｔ－７）²－ｔ²＝14

ｔ²－14ｔ＋49－ｔ²＝14

－14ｔ＝－35

ｔ＝5/2

よって、点Ｐのｙ座標は

ｙ＝（1/2）×（5/2）²＝25/8

点Ｑは、ｙ＝－ｘ＋４上にあり、

ｙ座標はＰと同じ25/8だから

25/8＝－ｘ＋４

ｘ＝7/8

△ＰＱＲの底辺をＰＱとする

ＰＱ＝（5/2）－（7/8）＝13/8

高さは点ＰとＲのｙ座標の差と同じ７

よって、求める面積は、

（1/2）×（13/8）×７＝91/16

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