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２次不等式 練習問題 ２次不等式では、２次方程式の解からｘの範囲を求めます。重解や虚数解（実数解なし）の場合には、不等式の解の一覧表を暗記する前に、作図によって、放物線とｘ軸との関係から解の範囲を具体的にイメージする学習を心がけます。 問題 次の２次不等式を解け。 1）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０ 2）（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０ 3）ｘ²－３ｘ－10≦０ 1） （ｘ＋１）（ｘ－２）＞０ ｘ＜－１、ｘ＞２ 2） （ｘ＋１）（ｘ－２）＜０ －１＜ｘ＜２ 3） ｘ²－３ｘ－10≦０ （ｘ－５）（ｘ＋２）≦０ －２≦ｘ≦５ 問題 次の２次不等式を解け。 1）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＜０ 2）（２ｘ＋１）（３ｘ－５）＞０ 3）ｘ²－２ｘ＜０ 4）ｘ²＋６ｘ＋８≧０ 5）ｘ²＞９ 6）ｘ²＋ｘ≦６ 1） （ｘ＋２）（ｘ＋３）＜０ －３＜ｘ＜－２ 2） （２ｘ＋１）（３ｘ－５）＞０ ｘ＜－1/2、ｘ＞5/3 3） ｘ²－２ｘ＜０ ｘ（ｘ－２）＜０ ０＜ｘ＜２ 4） ｘ²＋６ｘ＋８≧０ （ｘ＋２）（ｘ＋４）≧０ ｘ≦－４、ｘ≧－２ 5） ｘ²＞９ （ｘ＋３）（ｘ－３）＞０ ｘ＜－３、ｘ＞３ 6） ｘ²＋ｘ≦６ ｘ²＋ｘ－６≦０ （ｘ＋３）（ｘ－２）≦０ －３≦ｘ≦２ 問題 次の２次不等式を解け。 1）２ｘ²－５ｘ＋２＜０ 2）－４ｘ²＋４ｘ＋１≦０ 1） ２ｘ²－５ｘ＋２＜０ ２　－１　－１ 　× １　－２　－４ 　　　　　－５ （２ｘ－１）（ｘ－２）＜０ 1/2＜ｘ＜２ 2） －４ｘ²＋４ｘ＋１≦０ ４ｘ²－４ｘ－１≧０ ４ｘ²－４ｘ－１＝０とする ｘ＝（２±２√２）/４ 　＝（１±√２）/２ よって、 ｘ≦（１－√２）/２、ｘ≧（１＋√２）/２ 問題 次の２次不等式を解け。 1） ３ｘ²＋10ｘ－８＞０ 2） ６ｘ²＋ｘ－12≦０ 3） ５ｘ²＋６ｘ－１≧０ 4） ２（ｘ＋２）（ｘ－２）≦（ｘ＋１）² 5） －ｘ²＋３ｘ＋２＞０ 1） ３ｘ²＋10ｘ－８＞０ ３　－２　－２ 　× １　　４　　12 　　　　　＋10 （３ｘ－２）（ｘ＋４）＞０ ｘ＜－４、ｘ＞2/3 2） ６ｘ²＋ｘ－12≦０ ３　－４　－８ 　× ２　　３　　９ 　　　　　＋１ （３ｘ－４）（２ｘ＋３）≦０ －3/2≦ｘ≦4/3 3） ５ｘ²＋６ｘ－１≧０ ５ｘ²＋６ｘ－１＝０とする ｘ＝（－３±√14）/５ よって、 ｘ≦（－３－√14）/５、ｘ≧（－３＋√14）/５ 4） ２（ｘ＋２）（ｘ－２）≦（ｘ＋１）² ２ｘ²－８－ｘ²－２ｘ－１≦０ ｘ²－２ｘ－９≦０ ｘ²－２ｘ－９＝０とする ｘ＝１±√10 よって、 １－√10≦ｘ≦１＋√10 5） －ｘ²＋３ｘ＋２＞０ ｘ²－３ｘ－２＜０ ｘ²－３ｘ－２＝０とする ｘ＝（３±√17）/２ よって、 （３－√17）/２＜ｘ＜（３＋√17）/２ 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²－８ｘ＋16＞０ 2）ｘ²－８ｘ＋16＜０ 3）ｘ²－８ｘ＋16≧０ 4）ｘ²－８ｘ＋16≦０ 1） ｘ²－８ｘ＋16＞０ （ｘ－４）²＞０ ｘ≠４のすべての実数 👉ｘ＜４、ｘ＞４ 　４を含まない数直線上のすべての値 2） ｘ²－８ｘ＋16＜０ （ｘ－４）²＜０ 解なし 👉２乗した数が０未満になることはない 3） ｘ²－８ｘ＋16≧０ （ｘ－４）²≧０ すべての実数 👉２乗した数は０以上になる 4） ｘ²－８ｘ＋16≦０ （ｘ－４）²≦０ ｘ＝４ 👉ｘ＝４以外は成り立たない 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²＋２ｘ＋１＞０ 2）ｘ²＋４ｘ＋４≧０ 3）（1/4）ｘ²－ｘ＋１＜０ 4）－９ｘ²＋12ｘ－４≧０ 1） ｘ²＋２ｘ＋１＞０ （ｘ＋１）²＞０ ｘ≠－１のすべての実数 2） ｘ²＋４ｘ＋４≧０ （ｘ＋２）²≧０ すべての実数 3） （1/4）ｘ²－ｘ＋１＜０ ｛（1/2）ｘ－１｝²＜０ 解なし 4） －９ｘ²＋12ｘ－４≧０ ９ｘ²－12ｘ＋４≦０ （３ｘ－２）²≦０ ｘ＝2/3 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²＋４ｘ＋６＞０ 2）ｘ²＋４ｘ＋６＜０ 3）ｘ²＋４ｘ＋６≧０ 4）ｘ²＋４ｘ＋６≦０ 1） ｘ²＋４ｘ＋６＞０ ｘ²＋４ｘ＋６ ＝（ｘ＋２）²＋２＞０ ｘ²＋４ｘ＋６＞０が常に成り立つから すべての実数 2） ｘ²＋４ｘ＋６＜０ ｘ²＋４ｘ＋６ ＝（ｘ＋２）²＋２＞０ ｘ²＋４ｘ＋６＜０が成り立たないから 解なし 3） ｘ²＋４ｘ＋６≧０ ｘ²＋４ｘ＋６ ＝（ｘ＋２）²＋２＞０ ｘ²＋４ｘ＋６≧０が常に成り立つから すべての実数 4） ｘ²＋４ｘ＋６≦０ ｘ²＋４ｘ＋６ ＝（ｘ＋２）²＋２＞０ ｘ²＋４ｘ＋６≦０が成り立たないから 解なし 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²－４ｘ＋５＜０ 2）２ｘ²－８ｘ＋13＞０ 3）３ｘ²－６ｘ＋６≦０ 4）ｘ²＋３≧０ 1） ｘ²－４ｘ＋５＜０ ｘ²－４ｘ＋５ ＝（ｘ－２）²＋１＞０ ｘ²－４ｘ＋５＜０が成り立たないから 解なし 2） ２ｘ²－８ｘ＋13＞０ ２ｘ²－８ｘ＋13 ＝２（ｘ²－４ｘ）＋13 ＝２｛（ｘ－２）²－４｝＋13 ＝２（ｘ－２）²＋５＞０ ２ｘ²－８ｘ＋13＞０が常に成り立つから すべての実数 3） ３ｘ²－６ｘ＋６≦０ ３ｘ²－６ｘ＋６ ＝３（ｘ²－２ｘ）＋６ ＝３｛（ｘ－１）²－１｝＋６ ＝３（ｘ－１）²＋３＞０ ３ｘ²－６ｘ＋６≦０が成り立たないから 解なし 4） ｘ²＋３≧０ 常に成り立つから すべての実数 問題 ２次方程式ｘ²＋２ｍｘ－ｍ＋２＝０の解が次のようなとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 1）異なる２つの実数解をもつ 2）実数解をもつ 3）実数解をもたない 1） 判別式をＤとする Ｄ/４＝ｍ²＋ｍ－２ Ｄ＞０だから ｍ²＋ｍ－２＞０ （ｍ＋２）（ｍ－１）＞０ ｍ＜－２、ｍ＞１ 2） 重解を含むからＤ≧０ （ｍ＋２）（ｍ－１）≧０ ｍ≦－２、ｍ≧１ 3） Ｄ＜０だから （ｍ＋２）（ｍ－１）＜０ －２＜ｍ＜１ 問題 ２次方程式ｘ²＋ｍｘ＋９＝０の解が次のようなとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 1）異なる２つの実数解をもつ 2）実数解をもつ 3）実数解をもたない 1） 判別式をＤとする Ｄ＝ｍ²－36 Ｄ＞０だから ｍ²－36＞０ （ｍ＋６）（ｍ－６）＞０ ｍ＜－６、ｍ＞６ 2） Ｄ≧０だから （ｍ＋６）（ｍ－６）≧０ ｍ≦－６、ｍ≧６ 3） Ｄ＜０だから （ｍ＋６）（ｍ－６）＜０ －６＜ｍ＜６ 問題 すべての実数ｘについて、次の２次不等式が成り立つような定数ｍの値の範囲を求めよ。 1）ｘ²＋ｍｘ＋３ｍ－５＞０ 2）ｍｘ²＋４ｘ－２＜０ 1） ｘ²＋ｍｘ＋３ｍ－５＞０ ｛ｘ＋（ｍ/２）｝²－（ｍ²/４）＋３ｍ－５＞０ よって、 －（ｍ²/４）＋３ｍ－５＞０ ｍ²－12ｍ＋20＜０ （ｍ－２）（ｍ－10）＜０ ２＜ｍ＜10 2） ｍｘ²＋４ｘ－２＜０ ｙ＝ｍｘ²＋４ｘ－２とする ｙ＜０だから、 放物線は上に凸で、ｘ軸と共有点をもたない。 よって、 ｍ＜０　① ｍｘ²＋４ｘ－２＝０の判別式Ｄ＜０ Ｄ/４＝４＋２ｍ＜０ ２ｍ＜－４ ｍ＜－２　② ①、②より ｍ＜－２ 問題 次の２次不等式が、常に成り立つような定数ｍの値の範囲を求めよ。 1） ｘ²＋２（ｍ＋１）ｘ＋２（ｍ²－１）＞０ 2） ｍｘ²＋３ｍｘ＋ｍ－１＜０ 1） ｘ²＋２（ｍ＋１）ｘ＋２（ｍ²－１）＞０ ｛ｘ＋（ｍ＋１）｝²－（ｍ＋１）²＋２（ｍ²－１）＞０ よって、 －（ｍ＋１）²＋２（ｍ²－１）＞０ －ｍ²－２ｍ－１＋２ｍ²－２＞０ ｍ²－２ｍ－３＞０ （ｍ－３）（ｍ＋１）＞０ ｍ＜－１、ｍ＞３ 2） ｍｘ²＋３ｍｘ＋ｍ－１＜０ ｙ＝ｍｘ²＋３ｍｘ＋ｍ－１とする ｙ＜０だから、 放物線は上に凸で、ｘ軸と共有点をもたない。 よって、 ｍ＜０　① ｍｘ²＋３ｍｘ＋ｍ－１＝０の判別式Ｄ＜０ Ｄ＝９ｍ²－４ｍ²＋４ｍ ＝５ｍ²＋４ｍ＜０ ｍ（５ｍ＋４）＜０ －4/5＜ｍ＜０　② ①、②より －4/5＜ｍ＜０ 問題 次の不等式を解け。 1） ｘ²＋３ｘ＋２＞０ ｘ²＋２ｘ－３＜０ 2） ２ｘ－３＜ｘ²－４ｘ≦４ｘ－７ 1） ｘ²＋３ｘ＋２＞０　① ｘ²＋２ｘ－３＜０　② ①より （ｘ＋１）（ｘ＋２）＞０ ｘ＜－２、ｘ＞－１　③ ②より （ｘ＋３）（ｘ－１）＜０ －３＜ｘ＜１　④ ③、④より －３＜ｘ＜－２ －１＜ｘ＜１ 2） ２ｘ－３＜ｘ²－４ｘ≦４ｘ－７ ２ｘ－３＜ｘ²－４ｘ　① ｘ²－４ｘ≦４ｘ－７　② ①より ｘ²－６ｘ＋３＞０ ｘ²－６ｘ＋３＝０とする ｘ＝３±√６ よって、 ｘ＜３－√６、ｘ＞３＋√６　③ ②より ｘ²－８ｘ＋７≦０ （ｘ－１）（ｘ－７）≦０ １≦ｘ≦７　④ ③、④より ３＋√６＜ｘ≦７ 問題 次の不等式を解け。 1） ｘ²－２ｘ－８＜０ ｘ²－ｘ－２＞０ 2） ｘ²＋２ｘ＋１＞０ ｘ²－ｘ－６＜０ 3） ２ｘ²＋５ｘ≦３ ３（ｘ²－１）＜１－11ｘ 4） ２－ｘ＜ｘ²＜ｘ＋３ 1） ｘ²－２ｘ－８＜０　① ｘ²－ｘ－２＞０　② ①より （ｘ－４）（ｘ＋２）＜０ －２＜ｘ＜４　③ ②より （ｘ－２）（ｘ＋１）＞０ ｘ＜－１、ｘ＞２　④ ③、④より －２＜ｘ＜－１ ２＜ｘ＜４ 2） ｘ²＋２ｘ＋１＞０　① ｘ²－ｘ－６＜０　② ①より （ｘ＋１）²＞０ ｘ≠－１のすべての実数　③ ※ｘ＜－１、ｘ＞－１ ②より （ｘ－３）（ｘ＋２）＜０ －２＜ｘ＜３　④ ③、④より －２＜ｘ＜－１ －１＜ｘ＜３ 3） ２ｘ²＋５ｘ≦３　① ３（ｘ²－１）＜１－11ｘ　② ①より ２ｘ²＋５ｘ－３≦０ ２　－１　－１ 　× １　　３　　６ 　　　　　＋５ （２ｘ－１）（ｘ＋３）≦０ －３≦ｘ≦1/2　③ ②より ３ｘ²－３－１＋11ｘ＜０ ３ｘ²＋11ｘ－４＜０ ３　－１　－１ 　× １　　４　　12 　　　　　＋11 （３ｘ－１）（ｘ＋４）＜０ －４＜ｘ＜1/3　④ ③、④より －３≦ｘ＜1/3 4） ２－ｘ＜ｘ²＜ｘ＋３ ２－ｘ＜ｘ²　① ｘ²＜ｘ＋３　② ①より ｘ²＋ｘ－２＞０ （ｘ＋２）（ｘ－１）＞０ ｘ＜－２、ｘ＞１　③ ②より ｘ²－ｘ－３＜０ ｘ²－ｘ－３＝０とする ｘ＝（１±√13）/２ よって、 （１－√13）/２＜ｘ＜（１＋√13）/２　④ ③、④より １＜ｘ＜（１＋√13）/２ 問題 次のｘについての不等式を解け。ただし、ａは定数とする。 1） ｘ²－（ａ＋２）ｘ＋２ａ＜０ 2） ｘ²－２ａｘ－３ａ²＜０ 1） ｘ²－（ａ＋２）ｘ＋２ａ＜０ （ｘ－ａ）（ｘ－２）＜０ ａ＜２のとき、ａ＜ｘ＜２ （ｘ－２）²＜０より ａ＝２のとき、解なし ａ＞２のとき、２＜ｘ＜ａ 2） ｘ²－２ａｘ－３ａ²＜０ （ｘ－３ａ）（ｘ＋ａ）＜０ ３ａ＜－ａ すなわち ａ＜０のとき ３ａ＜ｘ＜－ａ ３ａ＝－ａ すなわち ａ＝０のとき 解なし ３ａ＞－ａ すなわち ａ＞０のとき －ａ＜ｘ＜３ａ 問題 ２次不等式ａｘ²＋ｂｘ＋４＞０の解が－1/2＜ｘ＜４となるように、定数ａ、ｂの値を定めよ。 －1/2＜ｘ＜４　より ｛ｘ＋（1/2）｝（ｘ－４）＜０ ｘ²－（7/2）ｘ－２＜０ 両辺×（－２） －２ｘ²＋７ｘ＋４＞０ よって、 ａ＝－２、ｂ＝７ 問題 次の条件を満たすように、定数ａ、ｂの値を定めよ。 1）２次不等式ｘ²＋ａｘ＋ｂ＜０の解が－1/2＜ｘ＜３である。 2）２次不等式ａｘ²＋ｘ＋ｂ≦０の解がｘ≦－１、２≦ｘである。 1） ｛ｘ＋（1/2）｝（ｘ－３）＜０ ｘ²－（5/2）ｘ－（3/2）＜０ よって、 ａ＝－5/2、ｂ＝－3/2 2） （ｘ＋１）（ｘ－２）≧０ ｘ²－ｘ－２≧０ －ｘ²＋ｘ＋２≦０ よって、 ａ＝－１、ｂ＝２ 問題 ０≦ｘ≦２の範囲において、常にｘ²－２ａｘ＋３ａ＞０が成り立つように、定数ａの値の範囲を定めよ。 ｙ＝ｘ²－２ａｘ＋３ａとする ｙ＝ｘ²－２ａｘ＋３ａ ＝（ｘ－ａ）²－ａ²＋３ａ 下に凸、軸ｘ＝ａ 頂点（ａ，－ａ²＋３ａ） 軸が定義域の左側 ａ＜０のとき ｘ＝０を代入して ３ａ＞０ ａ＜０だから不適 軸が定義域の内側 ０≦ａ≦２のとき 頂点のｙ座標が最小値をとり、かつｙ＞０ ｘ＝ａを代入して －ａ²＋３ａ＞０ ａ²－３ａ＜０ ａ（ａ－３）＜０ ０＜ａ＜３ ａ≠０だから ０＜ａ≦２　① 軸が定義域の右側 ａ＞２のとき ｘ＝２を代入して （２－ａ）²－ａ²＋３ａ＞０ ４－４ａ＋ａ²－ａ²＋３ａ＞０ －ａ＞－４ ａ＜４ よって、 ２＜ａ＜４　② ①、②より ０＜ａ＜４ 問題 1）ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ａｘ－ａ＋６について、すべての実数ｘに対してｆ（ｘ）＞０となる定数ａの値の範囲を求めよ。 2）－１≦ｘ≦１で常にｆ（ｘ）≧０となるａの値の範囲を求めよ。 1） ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ａｘ－ａ＋６ ＝（ｘ－ａ）²－ａ²－ａ＋６ ｆ（ｘ）＞０より －ａ²－ａ＋６＞０ ａ²＋ａ－６＜０ （ａ＋３）（ａ－２）＜０ －３＜ａ＜２ 2） ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）²－ａ²－ａ＋６ 下に凸、軸ｘ＝ａ 頂点（ａ，－ａ²－ａ＋６） 軸が定義域の左側 ａ＜－１のとき ｆ（－１） ＝１＋２ａ－ａ＋６ ＝ａ＋７≧０ ａ≧－７ よって、 －７≦ａ＜－１　① 軸が定義域の内側 －１≦ａ≦１のとき 頂点のｙ座標が最小値をとり、かつｙ≧０ ｘ＝ａを代入して －ａ²－ａ＋６≧０ ａ²＋ａ－６≦０ （ａ＋３）（ａ－２）≦０ －３≦ａ≦２ よって、 －１≦ａ≦１　② 軸が定義域の右側 ａ＞１のとき ｆ（１） ＝１－２ａ－ａ＋６ ＝－３ａ＋７≧０ １＜ａ≦7/3　③ ①、②、③より －７≦ａ≦7/3 問題 放物線ｙ＝ｘ²－８ａｘ－８ａ＋24がｘ軸の正の部分と異なる２点で交わるように、定数ａの値の範囲を定めよ。 放物線は下に凸だから ・軸が０より大きい（ｙ軸の右にある） ・ｙ切片が０より大きい ・頂点のｙ座標が０より小さい ｙ＝ｘ²－８ａｘ－８ａ＋24 ＝（ｘ－４ａ）²－16ａ²－８ａ＋24 軸はｘ＝４ａ ４ａ＞０ ａ＞０　① ｙ切片は－８ａ＋24 －８ａ＋24＞０ ａ＜３　② 頂点のｙ座標は－16ａ²－８ａ＋24 －16ａ²－８ａ＋24＜０ ２ａ²＋ａ－３＞０ ２　　３　　３ 　× １　－１　－２ 　　　　　＋１ （２ａ＋３）（ａ－１）＞０ ａ＜－3/2、ａ＞１　③ ①、②、③より １＜ａ＜３ 問題 ２次方程式ｘ²－（ａ－４）ｘ＋ａ－１＝０が次の条件を満たすように、定数ａの値の範囲を定めよ。 1）異なる２つの負の解をもつ。 2）正の解と負の解をもつ。 1） ｙ＝ｘ²－（ａ－４）ｘ＋ａ－１とする ｙ＝｛ｘ－（1/2）（ａ－４）｝²－（1/4）（ａ－４）²＋ａ－１ 放物線は下に凸だから ・軸が０より小さい（ｙ軸の左側） ・ｙ切片は０より大きい ・頂点のｙ座標が０より小さい 軸は（1/2）（ａ－４） （1/2）（ａ－４）＜０ ａ－４＜０ ａ＜４　① ｙ切片はａ－１ ａ－１＞０ ａ＞１　② 頂点は－（1/4）（ａ－４）²＋ａ－１ －（1/4）（ａ－４）²＋ａ－１＜０ （ａ－４）²－４ａ＋４＞０ ａ²－８ａ＋16－４ａ＋４＞０ ａ²－12ａ＋20＞０ （ａ－２）（ａ－10）＞０ ａ＜２、ａ＞10　③ ①、②、③より １＜ａ＜２ 👉判別式の異なる２つの実数解は、③で判明している。 2） ｙ切片が０より小さいときだから ａ－１＜０ ａ＜１ 問題 次の条件を満たすような定数ｍの値の範囲を、それぞれ求めよ。 1）２次方程式ｘ²－（ｍ－１）ｘ＋ｍ²＝０が実数解をもつ。 2）２次不等式ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＋２＜０が解をもつ。 3）２次関数ｙ＝－ｘ²＋２ｍｘ－２ｍ²＋ｍ＋６が負の値しかとらない。 1） ｘ²－（ｍ－１）ｘ＋ｍ²＝０ Ｄ＝（ｍ－１）²－４ｍ² ＝ｍ²－２ｍ＋１－４ｍ² ＝－３ｍ²－２ｍ＋１ Ｄ≧０だから －３ｍ²－２ｍ＋１≧０ ３ｍ²＋２ｍ－１≦０ ３　－１　－１ 　× １　　１　　３ 　　　　　＋２ （３ｍ－１）（ｍ＋１）≦０ －１≦ｍ≦1/3 2） ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＋２ ＝｛ｘ＋（1/2）ｍ｝²－（1/4）ｍ²＋ｍ＋２ となるから、 －（1/4）ｍ²＋ｍ＋２＜０ ｍ²－４ｍ－８＞０ ｍ²－４ｍ－８＝０とする ｍ＝２±２√３ ｍ＜２－２√３、ｍ＞２＋２√３ 3） ｙ＝－ｘ²＋２ｍｘ－２ｍ²＋ｍ＋６ ＝－（ｘ²－２ｍｘ）－２ｍ²＋ｍ＋６ ＝－｛（ｘ－ｍ）²－ｍ²｝－２ｍ²＋ｍ＋６ ＝－（ｘ－ｍ）²＋ｍ²－２ｍ²＋ｍ＋６ ＝－（ｘ－ｍ）²－ｍ²＋ｍ＋６ 上に凸、頂点（ｍ，－ｍ²＋ｍ＋６） 頂点のｙ座標が常に０より小さいときだから －ｍ²＋ｍ＋６＜０ ｍ²－ｍ－６＞０ （ｍ－３）（ｍ＋２）＞０ ｍ＜－２、ｍ＞３ 問題 ｋは０でない定数とする。不等式ｋｘ²＋（２ｋ－３）ｘ＋２ｋ－１≧０がすべての実数ｘに対して成り立つようなｋの値の範囲を求めよ。 ｙ＝ｋｘ²＋（２ｋ－３）ｘ＋２ｋ－１ 下に凸で、頂点がｘ軸に接するとき、または頂点のｙ座標が０より大きいとき。 ※ｘ軸と１点を共有するとき、まったく共有しないとき。 よって、 ｋ＞０、Ｄ≦０ ｋｘ²＋（２ｋ－３）ｘ＋２ｋ－１＝０ Ｄ＝（２ｋ－３）²－４ｋ（２ｋ－１） ＝４ｋ²－12ｋ＋９－８ｋ²＋４ｋ ＝－４ｋ²－８ｋ＋９≦０ ４ｋ²＋８ｋ－９≧０ ４ｋ²＋８ｋ－９＝０とする ｋ＝（－４±２√13）/４ ＝（－２±√13）/２ よって、 ｋ≦（－２－√13）/２、ｋ≧（－２＋√13）/２ ｋ＞０との共通範囲だから ｋ≧（－２＋√13）/２ 問題 1） 不等式－１＜ｘ²－６ｘ＋７≦０を解け。 2） 次の連立不等式を解け。 ｜ｘ＋１｜＜3/2 ｘ²－２ｘ－３＞０ 3） 次の連立不等式を満たす整数ｘをすべて求めよ。 ２ｘ²＜７ｘ＋４ ｘ²＋１≧３ｘ 1） ｘ²－６ｘ＋７＞－１　より ｘ²－６ｘ＋８＞０ （ｘ－２）（ｘ－４）＞０ ｘ＜２、ｘ＞４　① ｘ²－６ｘ＋７≦０　より ｘ²－６ｘ＋７＝０とする ｘ＝３±√２ よって、 ３－√２≦ｘ≦３＋√２　② ①、②より ３－√２≦ｘ＜２ ４＜ｘ≦３＋√２ 2） ｜ｘ＋１｜＜3/2　より ｘ＋１≧０　すなわちｘ≧－１のとき ｘ＋１＜3/2 ｘ＜1/2 よって、 －１≦ｘ＜1/2　① ｘ＋１＜０　すなわちｘ＜－１のとき －（ｘ＋１）＜3/2 ｘ＋１＞－3/2 ｘ＞－5/2 よって、 －5/2＜ｘ＜－１　② ①、②より －5/2＜ｘ＜1/2　③ ｘ²－２ｘ－３＞０　より （ｘ－３）（ｘ＋１）＞０ ｘ＜－１、ｘ＞３　④ ③、④より －5/2＜ｘ＜－１ 3） ２ｘ²＜７ｘ＋４　より ２ｘ²－７ｘ－４＜０ ２　　１　　１ 　× １　－４　－８ 　　　　　－７ （２ｘ＋１）（ｘ－４）＜０ －1/2＜ｘ＜４　① ｘ²＋１≧３ｘ　より ｘ²－３ｘ＋１≧０ ｘ²－３ｘ＋１＝０とする ｘ＝（３±√５）/２ よって、 ｘ≦（３－√５）/２、ｘ≧（３＋√５）/２　② －1/2＜（３－√５）/２ （３＋√５）/２＜４　だから －1/2＜ｘ≦（３－√５）/２　③ （３＋√５）/２≦ｘ＜４　④ ③を満たす整数は、０ ④を満たす整数は、３ よって、０と３ 問題 ｘの不等式ｘ²＋２ｘ－８＞０、ｘ²－（ａ＋３）ｘ＋３ａ＜０を同時に満たす整数ｘが３つあるとき、定数ａの値の範囲を求めよ。 ｘ²＋２ｘ－８＞０　より （ｘ＋４）（ｘ－２）＞０ ｘ＜－４、ｘ＞２　① ｘ²－（ａ＋３）ｘ＋３ａ＜０　より （ｘ－ａ）（ｘ－３）＜０ ａ＜３のとき ａ＜ｘ＜３　② ａ＝３のとき ｘ²－６ｘ＋９＜０ （ｘ－３）²＜０ 満たす整数なし ａ＞３のとき ３＜ｘ＜ａ　③ ①、②より ２＜ｘ＜３のとき、満たす整数なし ｘ＜－４を満たす整数は大きい順に －５，－６，－７，－８，... ｘ＝－８は含まないから －８≦ａ＜－７ ①、③より ３＜ｘ＜ａ ３＜ｘを満たす整数は小さい順に ４，５，６，７，... ｘ＝７は含まないから ６＜ａ≦７ よって、 －８≦ａ＜－７、６＜ａ≦７ 問題 ａを定数とする関数ｆ（ｘ）＝ｘ²＋２ｘ－ａ²＋５について、次が成り立つようなａの値の範囲をそれぞれ求めよ。 1）すべてのｘについて、ｆ（ｘ）＞０である。 2）ｘ≧０を満たすすべてのｘについて、ｆ（ｘ）＞０である。 3）ａ≦ｘ≦ａ＋１を満たすすべてのｘについて、ｆ（ｘ）≦０である。 1） ｘ軸と共有点をもたないから ｘ²＋２ｘ－ａ²＋５＝０は、Ｄ＜０ Ｄ/４＝１＋ａ²－５ ＝ａ²－４＜０ （ａ＋２）（ａ－２）＜０ －２＜ａ＜２ 2） ｆ（ｘ）＝ｘ²＋２ｘ－ａ²＋５ ＝（ｘ＋１）²－ａ²＋４ 軸はｘ＝－１だから ｘ≧０において、ｘ＝０のときに最小 よって、ｆ（０）＞０ ｆ（０）＝－ａ²＋５＞０ ａ²－５＜０ （ａ＋√５）（ａ－√５）＜０ －√５＜ａ＜√５ 3） ｆ（ａ）≦０かつｆ（ａ＋１）≦０ ｆ（ａ）＝ａ²＋２ａ－ａ²＋５ ＝２ａ＋５≦０ ａ≦－5/2　① ｆ（ａ＋１） ＝（ａ＋２）²－ａ²＋４ ＝ａ²＋４ａ＋４－ａ²＋４ ＝４ａ＋８≦０ ａ≦－２　② ①、②より ａ≦－5/2 問題 1）方程式ａｘ²＋（ａ＋７）ｘ＋２ａ－７＝０が異なる２つの実数解をもつような定数ａの値の範囲を求めよ。 2）異なる２つの実数解がともに、－３＜ｘ＜３の範囲にあるような定数ａの値の範囲を求めよ。 1） ａ＝０のとき１次方程式となるから ａ≠０　① 判別式をＤとする Ｄ＝（ａ＋７）²－４ａ（２ａ－７） ＝ａ²＋14ａ＋49－８ａ²＋28ａ ＝－７ａ²＋42ａ＋49 Ｄ＞０より －７ａ²＋42ａ＋49＞０ ａ²－６ａ－７＜０ （ａ－７）（ａ＋１）＜０　② ①、②より －１＜ａ＜０ ０＜ａ＜７ 2） 放物線が下に凸のとき ａ＞０のとき 異なる実数解をもつから －１＜ａ＜０、０＜ａ＜７　① ｙ＝ａｘ²＋（ａ＋７）ｘ＋２ａ－７とする ｘ＝－３のとき、ｙ＞０だから ｙ＝９ａ－３ａ－21＋２ａ－７ ＝８ａ－28＞０ ａ＞7/2　② ｘ＝３のとき、ｙ＞０だから ｙ＝９ａ＋３ａ＋21＋２ａ－７ ＝14ａ＋14＞０ ａ＞－１　③ 軸は、ｘ＝－（ａ＋７）/２ａ －３＜－（ａ＋７）/２ａ＜３　だから －６ａ＜－（ａ＋７）＜６ａ －６ａ＜－（ａ＋７）　より ６ａ＞ａ＋７ ５ａ＞７ ａ＞7/5 －（ａ＋７）＜６ａ　より －ａ－７＜６ａ －７ａ＜７ ａ＞－１ よって、ａ＞7/5　④ ①、②、③、④より 7/2＜ａ＜７ 放物線が上に凸のとき ａ＜０のとき －１＜ａ＜０ ｘ＝３のとき、ｙ＜０だから 14ａ＋14＜０ ａ＜－１となり不適 よって、 7/2＜ａ＜７ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.9 ２次不等式 練習問題 👉ブログ TOP

分数をふくむ多項式 ７月になりました。当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 分数をふくむ多項式では、通分や約分のほか、分配法則を使います。割り算がある場合は、逆数のかけ算にして解くなど、小学算数の内容が土台になります。 問題 次の計算をしなさい。 1） 　　　５　　７ －48（━ｘ－━） 　　　８　　12 2） 　３　　９ （━ｘ－━）÷（－３） 　５　　４ 3） 　10　　５　　　 ５ （━ｘ－━）÷（－━） 　９　　12　　　 ６ 1） 　　　５　　７ －48（━ｘ－━） 　　　８　　12 ＝－６×５ｘ－４×（－７） ＝－30ｘ＋28 2） 　３　　９ （━ｘ－━）÷（－３） 　５　　４ 　　３　　９　　　 １ ＝（━ｘ－━）×（－━） 　　５　　４　　　 ３ 　　１　　３ ＝－━ｘ＋━ 　　５　　４ 3） 　10　　５　　　 ５ （━ｘ－━）÷（－━） 　９　　12　　　 ６ 　　10　　５　　　 ６ ＝（━ｘ－━）×（－━） 　　９　　12　　　 ５ 　　４　　１ ＝－━ｘ＋━ 　　３　　２ 問題 次の計算をしなさい。 1） ３ｘ－２ ━━━━×６ 　 ８ 2） 　　　　　５ｘ＋４ （－24）×━━━━ 　　　　　　 18 3） 　　　－４ｘ＋７ －20（━━━━━） 　　　　　25 1） ３ｘ－２ ━━━━×６ 　 ８ 　３ｘ－２ ＝━━━━×３ 　 　４ 　９ｘ－６ ＝━━━━ 　 　４ 2） 　　　　　５ｘ＋４ （－24）×━━━━ 　　　　　　 18 　　　　　　５ｘ＋４ ＝（－４）×━━━━ 　　　　　　　 ３ 　－20ｘ－16 ＝━━━━━ 　　　３ 3） 　　　－４ｘ＋７ －20（━━━━━） 　　　　　25 　　　　－４ｘ＋７ ＝－４（━━━━━） 　　　　　　５ 　16ｘ－28 ＝━━━━ 　　 ５ 問題 次の計算をしなさい。 1） 　　　　２ｘ＋３ ｘ－６＋━━━━ 　　　　　 ４ 2） 　　　ｘ＋４ ２ｘ－━━━ 　　　　３ 3） 　　　　　３ｘ－７ ３ｘ－１－━━━━ 　　　　　　 ４ 4） ２ｘ－３　５ｘ＋２ ━━━━＋━━━━ 　 ３　 　　 ４ 1） 　　　　２ｘ＋３ ｘ－６＋━━━━ 　　　　　 ４ 　４ｘ－24＋２ｘ＋３ ＝━━━━━━━━━ 　　　　　４ 　６ｘ－21 ＝━━━━ 　　 ４ 2） 　　　ｘ＋４ ２ｘ－━━━ 　　　　３ 　６ｘ－（ｘ＋４） ＝━━━━━━━━ 　　　　３ 　６ｘ－ｘ－４ ＝━━━━━━ 　　　 ３ 　５ｘ－４ ＝━━━━ 　　 ３ 3） 　　　　　３ｘ－７ ３ｘ－１－━━━━ 　　　　　　 ４ 　12ｘ－４－３ｘ＋７ ＝━━━━━━━━━ 　　　　　４ 　９ｘ＋３ ＝━━━━ 　　 ４ 4） ２ｘ－３　５ｘ＋２ ━━━━＋━━━━ 　 ３　 　　 ４ 　８ｘ－12＋15ｘ＋６ ＝━━━━━━━━━ 　　　　　12 　23ｘ－６ ＝━━━━ 　　 12 5） ４ｘ－３　２ｘ－５ ━━━━－━━━━ 　 ５　 　　 ４ 6） ５ｘ－２　７ｘ－６ ━━━━－━━━━ 　 ６　 　　 ８ 5） ４ｘ－３　２ｘ－５ ━━━━－━━━━ 　 ５　 　　 ４ 16ｘ－12－10ｘ＋25 ＝━━━━━━━━━ 　　　　 20 ６ｘ＋13 ＝━━━━ 　　 20 6） ５ｘ－２　７ｘ－６ ━━━━－━━━━ 　 ６　 　　 ８ 　20ｘ－８－21ｘ＋18 ＝━━━━━━━━━ 　　　　　24 　－ｘ＋10 ＝━━━━ 　　 24 カッコをふくむ多項式 問題 次の計算をしなさい。 1） ３ａ－２（２ａ－４）＋５（４ａ＋３） 2） ３（２ｘ＋５）－４ｘ－８（２ｘ－９） 3） １　　　　　　　　　　１ ━ｘ－３（３ｘ－５）－━（４ｘ－16） ２　　　　　　　　　　８ 4） 0.4（６ａ－８）－７（0.3ａ－0.5） 1） ３ａ－２（２ａ－４）＋５（４ａ＋３） ＝３ａ－４ａ＋８＋20ａ＋15 ＝19ａ＋23 2） ３（２ｘ＋５）－４ｘ－８（２ｘ－９） ＝６ｘ＋15－４ｘ－16ｘ＋72 ＝－14ｘ＋87 3） １　　　　　　　　　　１ ━ｘ－３（３ｘ－５）－━（４ｘ－16） ２　　　　　　　　　　８ 　１　　　　　　　１ ＝━ｘ－９ｘ＋15－━ｘ＋２ 　２　　　　　　　２ ＝－９ｘ＋17 4） 0.4（６ａ－８）－７（0.3ａ－0.5） ＝2.4ａ－3.2－2.1ａ＋3.5 ＝0.3ａ＋0.3 問題 次の計算をしなさい。 1） ８ａ＋13－｛９－５（３ａ－４）｝ 2） ４（ｘ－３）－｛２（ｘ－３）－３（２ｘ－１）｝ 1） ８ａ＋13－｛９－５（３ａ－４）｝ ＝８ａ＋13－（９－15ａ＋20） ＝８ａ＋13－（29－15ａ） ＝８ａ＋13－29＋15ａ ＝23ａ－16 2） ４（ｘ－３）－｛２（ｘ－３）－３（２ｘ－１）｝ ＝４ｘ－12－（２ｘ－６－６ｘ＋３） ＝４ｘ－12－（－４ｘ－３） ＝４ｘ－12＋４ｘ＋３ ＝８ｘ－９ ２つ以上の文字をふくむ乗除 問題 次の計算をしなさい。 1） ｘｙ×６ｚ 2） ５ａ×（－５ｂｃ） 3） 　　　　　 １ （－24ｍ）×━ｎ 　　　　　 ３ 4） １ ━ａｂ×（－12ａ） ４ 5） 　　　　ｙ² ６ｘ²ｙ×━ 　　　　２ 6） 　　　　　　５ 16ａｂ²×（－━ａ） 　　　　　　２ 7） （－３ｘ）²×ｘ 8） （－２ａｂ）³ 1） ｘｙ×６ｚ ＝６ｘｙｚ 2） ５ａ×（－５ｂｃ） ＝－25ａｂｃ 3） 　　　　　 １ （－24ｍ）×━ｎ 　　　　　 ３ ＝－８ｍｎ 4） １ ━ａｂ×（－12ａ） ４ ＝－３ａ²ｂ 5） 　　　　ｙ² ６ｘ²ｙ×━ 　　　　２ ＝３ｘ²ｙ³ 6） 　　　　　　５ 16ａｂ²×（－━ａ） 　　　　　　２ ＝－40ａ²ｂ² 7） （－３ｘ）²×ｘ ＝９ｘ²×ｘ ＝９ｘ³ 8） （－２ａｂ）³ ＝－８ａ³ｂ³ 代入 問題 ａ＝1/2、ｂ＝３のとき、３（ａ－２ｂ）－５（３ａ－ｂ）の値を求めなさい。 ３（ａ－２ｂ）－５（３ａ－ｂ） ＝３ａ－６ｂ－15ａ＋５ｂ ＝－12ａ－ｂ ＝－12×（1/2）－３ ＝－６－３ ＝－９ 問題 ａ＝３、ｂ＝－２のとき、２ａ²ｂ³÷ａｂの値を求めなさい。 ２ａ²ｂ³÷ａｂ ＝２ａｂ² ＝２×３×（－２）² ＝６×４ ＝24 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.8 分数をふくむ多項式 👉ブログ TOP

２次不等式 高校数学Ⅰ ２次不等式では、２次方程式からｘの値を求めて、不等号の向きで範囲を決めます。不等号の向きだけで機械的に判断するよりも、放物線とｘ軸との関係をつかんだ上で、学習を進めるようにします。 問題 次の２次不等式を解け。 1）（ｘ－２）（ｘ－５）＞０ 2）（ｘ＋４）（２ｘ＋１）≦０ 3）ｘ²－２ｘ－３≧０ 4）ｘ²－９ｘ＋20＜０ 5）ｘ²－３ｘ≦０ 6）ｘ²－16＞０ 1） （ｘ－２）（ｘ－５）＝０とする ｘ＝２，５ （ｘ－２）（ｘ－５）＞０ ｘ＜２、ｘ＞５ 2） （ｘ＋４）（２ｘ＋１）＝０ ｘ＝－４，－1/2 （ｘ＋４）（２ｘ＋１）≦０ －４≦ｘ≦－1/2 3） ｘ²－２ｘ－３＝０ （ｘ－３）（ｘ＋１）＝０ ｘ＝３，－１ ｘ²－２ｘ－３≧０ ｘ≦－１、ｘ≧３ 4） ｘ²－９ｘ＋20＝０ （ｘ－４）（ｘ－５）＝０ ｘ＝４，５ ｘ²－９ｘ＋20＜０ ４＜ｘ＜５ 5） ｘ²－３ｘ＝０ ｘ（ｘ－３）＝０ ｘ＝０，３ ｘ²－３ｘ≦０ ０≦ｘ≦３ 6） ｘ²－16＝０ ｘ²＝16 ｘ＝±４ ｘ²－16＞０ ｘ＜－４、ｘ＞４ 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²－４ｘ＋３＞０ 2）ｘ²＋５ｘ＋６＜０ 3）２ｘ²－７ｘ－４≦０ 4）６ｘ²＋ｘ－２＞０ 5）ｘ²＋５ｘ＋１＜０ 6）２ｘ²－９≧０ 1） ｘ²－４ｘ＋３＞０ （ｘ－１）（ｘ－３）＞０ ｘ＜１、ｘ＞３ 2） ｘ²＋５ｘ＋６＜０ （ｘ＋２）（ｘ＋３）＜０ －３＜ｘ＜－２ 3） ２ｘ²－７ｘ－４≦０ ２　　１　　１ 　×　 １　－４　－８ 　　　　　－７ （２ｘ＋１）（ｘ－４）≦０ －1/2≦ｘ≦４ 4） ６ｘ²＋ｘ－２＞０ ３　　２　　４ 　× ２　－１　－３ 　　　　　＋１ （３ｘ＋２）（２ｘ－１）＞０ ｘ＜－2/3、ｘ＞1/2 5） ｘ²＋５ｘ＋１＝０とする 　　－５±√21 ｘ＝━━━━ 　　　 ２ ｘ²＋５ｘ＋１＜０ －５－√21 －５＋√21 ━━━━ ＜ｘ＜ ━━━━ 　 ２　　　　　　 ２ 6） ２ｘ²－９≧０ （√２ｘ＋３）（√２ｘ－３）≧０ ｘ≦－３/√２、ｘ≧３/√２ よって、 ｘ≦－３√２/２、ｘ≧３√２/２ 問題 次の２次不等式を解け。 1）－ｘ²＋７ｘ－10＞０ 2）５ｘ－ｘ²≦０ 3）－３ｘ²－ｘ＋３≧０ 1） －ｘ²＋７ｘ－10＞０ ｘ²－７ｘ＋10＜０ （ｘ－２）（ｘ－５）＜０ ２＜ｘ＜５ 2） ５ｘ－ｘ²≦０ ｘ²－５ｘ≧０ ｘ（ｘ－５）≧０ ｘ≦０、ｘ≧５ 3） －３ｘ²－ｘ＋３≧０ ３ｘ²＋ｘ－３≦０ ３ｘ²＋ｘ－３＝０とする 　　－１±√37 ｘ＝━━━━ 　　　 ６ －１－√37　　 －１＋√37 ━━━━≦ｘ≦━━━━━ 　 ６　　　　 　　６ 問題 次の２次不等式を解け。 1）（ｘ＋４）²≧０ 2）（ｘ－１）²≦０ 3）ｘ²＋４ｘ＋４＜０ 4）ｘ²＋８ｘ＋16＜０ 5）９ｘ²－12ｘ＋４＞０ 6）ｘ²－ｘ＋（1/4）≧０ 1） （ｘ＋４）²≧０ すべての実数 （ｘ＋４）²≧０ 👉ｘがどんな実数でも、０か正の数になる。 数直線 ｘ≦－４、ｘ≧－４ ●の－４を含む、左右方向すべての範囲 2） （ｘ－１）²≦０ ｘ＝１ （ｘ－１）²≦０ 👉ｘが１のときだけ「＝０」　それ以外の実数はない 数直線 １≦ｘ≦１ ●の１を含むだけ 3） ｘ²＋４ｘ＋４＜０ （ｘ＋２）²＜０ 解なし （ｘ＋２）²＜０ 👉ｘが実数のとき、２乗すると０または正の数になる。よって、解なし。 数直線 －２＜ｘ＜－２ 〇の－２は含まない、左右方向にも範囲はない 4） ｘ²＋８ｘ＋16＜０ （ｘ＋４）²＜０ 解なし 数直線 －４＜ｘ＜－４ ○の－４は含まない、左右方向にも範囲はない 5） ９ｘ²－12ｘ＋４＞０ （３ｘ－２）²＞０ ｘ≠2/3のすべての実数 （３ｘ－２）²＞０ 👉ｘ＝2/3のときは０　「＝０」ではないすべての実数。 数直線 ｘ＜2/3、ｘ＞2/3 〇の2/3は含まない、左右方向すべての範囲 6） ｘ²－ｘ＋（1/4）≧０ ｛ｘ－（1/2）｝²≧０ すべての実数 数直線 ｘ≦1/2、ｘ≧1/2 ●の1/2を含む、左右方向すべての範囲 ポイント 左辺が２乗（判別式Ｄ＝０）のケースでは、「不等式の解の一覧表」を先に覚えることよりも、数直線に表したり、式の意味を考えることから始めます。 ※（ｘ－ａ）²＝０の重解は、同じ解が２個出てくると考える。 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²－２ｘ＋３＜０ 2）－ｘ²＋10ｘ－25＜０ 3）５－２ｘ＋ｘ²≧０ 4）２√２ｘ＋１≦－２ｘ² 5）－３＞２ｘ²＋７ｘ 6）３ｘ²－４ｘ≧２ｘ²－５ｘ＋１ 1） ｘ²－２ｘ＋３＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝１－３＝－２ Ｄ＜０より ｙ＝ｘ²－２ｘ＋３は ｘ軸との共有点をもたないから ｙ＞０ よって、 ｙ＝ｘ²－２ｘ＋３＜０となる値はないから 解なし 2） －ｘ²＋10ｘ－25＜０ ｘ²－10ｘ＋25＞０ （ｘ－５）²＞０ ｘ≠５のすべての実数 3） ５－２ｘ＋ｘ²≧０ ｘ²－２ｘ＋５≧０ ｘ²－２ｘ＋５＝０ Ｄ/４＝１－５＝－４ Ｄ＜０より ｙ＝ｘ²－２ｘ＋５は ｘ軸との共有点を持たないから ｙ＞０ よって、 ｙ＝５－２ｘ＋ｘ²≧０となる値は すべての実数 4） ２√２ｘ＋１≦－２ｘ² ２ｘ²＋２√２ｘ＋１≦０ （√２ｘ＋１）²≦０ ｘ＝－１/√２ ｘ＝－√２/２ 5） －３＞２ｘ²＋７ｘ ２ｘ²＋７ｘ＋３＜０ ２　１　　１ 　× １　３　　６ 　　　　＋７ （２ｘ＋１）（ｘ＋３）＜０ －３＜ｘ＜－1/2 6） ３ｘ²－４ｘ≧２ｘ²－５ｘ＋１ ｘ²＋ｘ－１≧０ ｘ²＋ｘ－１＝０とする 　　－１±√５ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 　　－１－√５　　－１＋√５ ｘ≦━━━━、ｘ≧━━━━ 　　　 ２　　　　　 ２ 問題 次の連立不等式を解け。 1） ｘ²＋６ｘ＋８＞０ ｘ²＋２ｘ－３＜０ 2） ｘ²－ｘ－12≦０ ｘ²－３ｘ＋２＞０ 3） ｘ²－４ｘ＋３≦０ ｘ²－３ｘ－10＜０ 4） ６ｘ²＋ｘ－１＜０ ｘ²＋ｘ－１≧０ 5） ｘ²－10ｘ＋20＜０ －ｘ²＋６ｘ－３＞０ 1） ｘ²＋６ｘ＋８＞０　① ｘ²＋２ｘ－３＜０　② ①より （ｘ＋２）（ｘ＋４）＞０ ｘ＜－４、ｘ＞－２　③ ②より （ｘ＋３）（ｘ－１）＜０ －３＜ｘ＜１　④ ③、④の共通範囲は －２＜ｘ＜１ 2） ｘ²－ｘ－12≦０　① ｘ²－３ｘ＋２＞０　② ①より （ｘ－４）（ｘ＋３）≦０ －３≦ｘ≦４　③ ②より （ｘ－１）（ｘ－２）＞０ ｘ＜１、ｘ＞２　④ ③、④の共通範囲は －３≦ｘ＜１ ２＜ｘ≦４ 3） ｘ²－４ｘ＋３≦０　① ｘ²－３ｘ－10＜０　② ①より （ｘ－１）（ｘ－３）≦０ １≦ｘ≦３　③ ②より （ｘ－５）（ｘ＋２）＜０ －２＜ｘ＜５　④ ③、④の共通範囲は １≦ｘ≦３ 4） ６ｘ²＋ｘ－１＜０　① ｘ²＋ｘ－１≧０　② ①より ３　－１　－２ 　× ２　　１　　３ 　　　　　＋１ （３ｘ－１）（２ｘ＋１）＜０ －1/2＜ｘ＜1/3　③ ②より ｘ²＋ｘ－１＝０ 　　－１±√５ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 　 －１－√５　　 －１＋√５ ｘ≦━━━━、ｘ≧━━━━　④ 　　　 ２　　　　　　２ －１－√５＝－3.2... －１＋√５＝1.2... ③、④の共通範囲はないから 解なし 5） ｘ²－10ｘ＋20＜０　① －ｘ²＋６ｘ－３＞０　② ①より ｘ²－10ｘ＋20＝０とする ｘ＝５±√５ よって、 ５－√５＜ｘ＜５＋√５　③ 2...＜ｘ＜7... ②より ｘ²－６ｘ＋３＜０ ｘ²－６ｘ＋３＝０とする ｘ＝３±√６ よって、 ３－√６＜ｘ＜３＋√６　④ 0...＜ｘ＜5... ③、④の共通範囲は ５－√５＜ｘ＜３＋√６ 問題 次の不等式を解け。 1）３＜ｘ²＋２ｘ≦８ 2）２ｘ＋３＜ｘ²＜５ 1） ３＜ｘ²＋２ｘ≦８ ３＜ｘ²＋２ｘ　① ｘ²＋２ｘ≦８　② ①より ｘ²＋２ｘ－３＞０ （ｘ＋３）（ｘ－１）＞０ ｘ＜－３、ｘ＞１　③ ②より ｘ²＋２ｘ－８≦０ （ｘ＋４）（ｘ－２）≦０ －４≦ｘ≦２　④ ③、④の共通範囲は －４≦ｘ＜－３ １＜ｘ≦２ 2） ２ｘ＋３＜ｘ²＜５ ２ｘ＋３＜ｘ²　① ｘ²＜５　② ①より ｘ²－２ｘ－３＞０ （ｘ－３）（ｘ＋１）＞０ ｘ＜－１、ｘ＞３　③ ②より －√５＜ｘ＜√５　④ ③、④の共通範囲は －√５＜ｘ＜－１ 問題 次の２次不等式を解け。 1） ６（ｘ＋１）²＞５ｘ＋４ 2） ｘ²＜√５（２ｘ－√５） 3） 　ｘ　　　　 ２ｘ－５ （━－１）²＞ ━━━━ 　２　　　　　　４ 4） （ｘ－１）²　（ｘ－２）² ━━━━━≧━━━━━－１ 　 ３　　　　　２ 1） ６（ｘ＋１）²＞５ｘ＋４ ６ｘ²＋12ｘ＋６－５ｘ－４＞０ ６ｘ²＋７ｘ＋２＞０ ３　２　　４ 　× ２　１　　３ 　　　　＋７ （３ｘ＋２）（２ｘ＋１）＞０ ｘ＜－2/3、ｘ＞－1/2 2） ｘ²＜√５（２ｘ－√５） ｘ²＜２√５ｘ－（√５）² ｘ²－２√５ｘ＋（√５）²＜０ （ｘ－√５）²＜０ 左辺を２乗して負になる実数ｘはないから 解なし 3） 　ｘ　　　　 ２ｘ－５ （━－１）²＞ ━━━━ 　２　　　　　　４ ｘ²　　　　　２ｘ－５ ━－ｘ＋１＞ ━━━━ ４　　　　　　　４ ｘ²－４ｘ＋４＞２ｘ－５ ｘ²－６ｘ＋９＞０ （ｘ－３）²＞０ 左辺を２乗して正になるのはｘ＝３以外の実数 よって、 ｘ≠３のすべての実数 4） （ｘ－１）²　（ｘ－２）² ━━━━━≧━━━━━－１ 　 ３　　　　　２ ２（ｘ－１）²≧３（ｘ－２）²－６ ２ｘ²－４ｘ＋２≧３ｘ²－12ｘ＋12－６ ｘ²－８ｘ＋４≦０ ｘ²－８ｘ＋４＝０ ｘ＝４±√12 　＝４±２√３ よって、 ４－２√３≦ｘ≦４＋２√３ 問題 次の２次不等式を満たす整数ｘをすべて求めよ。 1）２ｘ²＋３ｘ－９≦０ 2）ｘ²－２ｘ－４＜０ 1） ２ｘ²＋３ｘ－９≦０ ２　－３　－３ 　×　 １　　３　　６ 　　　　　＋３ （２ｘ－３）（ｘ＋３）≦０ －３≦ｘ≦3/2＝1.5 よって、 －３、－２、－１、０、１ 2） ｘ²－２ｘ－４＜０ ｘ²－２ｘ－４＝０ ｘ＝１±√５ １－√５＜ｘ＜１＋√５ １＋√５＝3.2... １－√５＝－1.2... よって、 －１、０、１、２、３ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.8 ２次不等式 高校数学Ⅰ 👉ブログ TOP

式による説明と証明 テスト対策 ７月になりました。この時期の中高生は期末テストがあり、対策を行いました。 数学には文字式を使った説明または証明の問題があり、「ＡはＢになることを説明・証明しなさい」という形で出題されます。Ａの内容について文字を使って式を立てて、Ｂの結論部分はお題に合わせて式を変形して表します。 問題 下のカレンダーの数をいろいろに囲むとき、あとの問いに答えなさい。 1）縦に並んだ３つの数を囲むとき、この３つの数の和がいつでも３の倍数になることを文字を使って説明しなさい。 2）縦２つ、横２つの正方形で囲むとき、４つの数の和が４の倍数になることを文字を使って説明しなさい。 1） 真ん中の数をｎとすると、縦に並んだ３つの数は ｎ－７、ｎ、ｎ＋７ これらの和は （ｎ－７）＋ｎ＋（ｎ＋７） ＝３ｎ ｎは自然数だから、３ｎは３の倍数である。 したがって、 縦に並んだ３つの数の和は３の倍数になる。 2） いちばん小さい数をｎとすると、４つの数は ｎ、ｎ＋１、ｎ＋７、ｎ＋８ これらの和は ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋７）＋（ｎ＋８） ＝４ｎ＋16 ＝４（ｎ＋４） ｎは整数だから、４（ｎ＋16）は４の倍数である。 したがって、 正方形で囲まれた４つの数の和は４の倍数になる。 問題 ２つの続いた奇数で、大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差は、８の倍数になる。このことを、文字を使って証明しなさい。 〔証明〕 ２つの続いた奇数を、２ｎ－１、２ｎ＋１とする。 大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差は （２ｎ＋１）²－（２ｎ－１）² ＝４ｎ²＋４ｎ＋１－（４ｎ²－４ｎ＋１） ＝４ｎ²＋４ｎ＋１－４ｎ²＋４ｎ－１ ＝８ｎ ｎは整数だから、８ｎは８の倍数である。 したがって、 ２つの続いた奇数で、大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差は、８の倍数になる。 問題 下の図のような半径ｒmの円形の土地の周囲に、幅ａmの道がある。この道の面積をＳm²、道の真ん中を通る線の長さをℓmとすると、Ｓ＝ａℓとなる。このことを証明しなさい。 〔証明〕 道の面積は Ｓ＝π（ｒ＋ａ）²－πｒ² ＝π（ｒ²＋２ａｒ＋ａ²）－πｒ² ＝πｒ²＋２πａｒ＋πａ²－πｒ² ＝２πａｒ＋πａ²　① 道の真ん中を通る線の長さは ℓ＝２π×｛ｒ＋（ａ/２）｝ ＝２πｒ＋πａ 両辺にａをかけて ａℓ＝２πａｒ＋πａ²　② ①、②より Ｓ＝ａℓ 問題 下の図のように、線分ＡＢ上に点Ｃをとり、ＡＢ、ＡＣ、ＣＢをそれぞれ直径とする円をかく。ＡＣ＝２ａcm、ＣＢ＝２ｂcmのとき、色をつけた面積を求めなさい。 直径ＡＢの円の面積から、直径ＡＣの円と直径ＣＢの円の面積をひく。 直径ＡＢの円 ＡＢ＝２ａ＋２ｂ cmだから 半径は、ａ＋ｂ cm 面積は、π（ａ＋ｂ）² cm² 直径ＡＣの円 ＡＣ＝２ａ cmだから 半径は、ａcm 面積は、πａ² cm² 直径ＣＢの円 ＣＢ＝２ｂcmだから 半径は、ｂcm 面積は、πｂ² cm² よって、 π（ａ＋ｂ）²－πａ²－πｂ² ＝π（ａ²＋２ａｂ＋ｂ²）－πａ²－πｂ² ＝πａ²＋２πａｂ＋πｂ²－πａ²－πｂ² ＝２πａｂ したがって、 ２πａｂ cm² 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.7 式による説明と証明 テスト対策 👉ブログ TOP

２次不等式の応用 ２次不等式では、ａなどの文字定数を含む式を解くときに、「場合分け」が必要になります。また、ｘの定義域が設定されているときは、放物線とｘ軸の位置関係から判断します。 問題 ２次不等式ａｘ²＋ｂｘ＋６＞０の解が－３＜ｘ＜１となるように、定数ａ、ｂの値を定めよ。 解が－３＜ｘ＜１より （ｘ＋３）（ｘ－１）＜０ ｘ²＋２ｘ－３＜０ 両辺×（－２） －２ｘ²－４ｘ＋６＞０ 係数を比較して ａ＝－２、ｂ＝－４ ※別解 ｘ²＋２ｘ－３＝０、 ａｘ²＋ｂｘ＋６＝０とする 解と係数の関係より －ｂ/ａ＝－２/１ ｂ＝２ａ ６/ａ＝－３/１ －３ａ＝６　ａ＝－２ よって、 ｂ＝２×（－２）＝－４ ｘ²＋２ｘ－３＜０、 ａｘ²＋ｂｘ＋６＞０より ａ＜０ したがって、 ａ＝－２、ｂ＝－４ 問題 ２次不等式ｘ²－（ａ＋１）ｘ＋ａ＜０を解け。ただし、ａは定数とする。 １　－ａ　　－ａ 　× １　－１　　－１ 　　　　－（ａ＋１） （ｘ－ａ）（ｘ－１）＜０ ａ＜１のとき、ａ＜ｘ＜１ ａ＞１のとき、１＜ｘ＜ａ ａ＝１のとき、解なし 👉（ｘ－１）（ｘ－１）＜０のとき、すなわち（ｘ－１）²＜０のとき、左辺を２乗して０になる値がない。この場合は、重解型も考慮する。 問題 次の条件を満たすように、定数ａ、ｂ、ｃの値を、それぞれ定めよ。 1）２次不等式ｘ²＋ｂｘ＋ｃ＞０の解がｘ＜－２、１＜ｘ 2）２次不等式ａｘ²＋２ｘ＋ｃ＜０の解が－３＜ｘ＜１ 1） 解がｘ＜－２、１＜ｘだから （ｘ＋２）（ｘ－１）＞０ ｘ²＋ｘ－２＞０ 係数を比較して ｂ＝１、ｃ＝－２ 2） 解が－３＜ｘ＜１だから （ｘ＋３）（ｘ－１）＜０ ｘ²＋２ｘ－３＜０ 係数を比較して ａ＝１、ｃ＝－３ 問題 次の不等式を解け。ただし、ａは定数とする。 1） ｘ²－（ａ－２）ｘ－２ａ＞０ 2） ｘ²＋２ａｘ－３ａ²≦０ 1） ｘ²－（ａ－２）ｘ－２ａ＞０ １　－ａ　－ａ 　× １　　２　　２ 　　　　　－（ａ－２） （ｘ－ａ）（ｘ＋２）＞０ ａ＜－２のとき ｘ＜ａ、ｘ＞－２ ａ＝－２のとき ｘ≠－２のすべての実数 ａ＞－２のとき ｘ＜－２、ｘ＞ａ 2） ｘ²＋２ａｘ－３ａ²≦０ （ｘ＋３ａ）（ｘ－ａ）≦０ －３ａ＜ａ　すなわち ａ＞０のとき －３ａ≦ｘ≦ａ －３ａ＝ａ　すなわち ａ＝０のとき ｘ＝０ －３ａ＞ａ　すなわち ａ＜０のとき ａ≦ｘ≦－３ａ　 問題 ２次方程式ｘ²－２ｍｘ＋３ｍ＝０が実数解をもつとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 判別式をＤとする Ｄ/４＝ｍ²－３ｍ Ｄ≧０より ｍ²－３ｍ≧０ ｍ（ｍ－３）≧０ ｍ≦０、ｍ≧３ 問題 次の条件を満たすように、定数ｍの値の範囲を定めよ。 1）２次関数ｙ＝ｘ²＋ｍｘ－ｍのグラフがｘ軸と共有点をもたない。 2）２次関数ｙ＝ｘ²＋ｍｘ＋１のグラフがｘ軸と異なる２点を共有する。 1） ｙ＝０　すなわち ｘ²＋ｍｘ－ｍ＝０の判別式をＤとする Ｄ＝ｍ²＋４ｍ Ｄ＜０より ｍ²＋４ｍ＜０ ｍ（ｍ＋４）＜０ －４＜ｍ＜０ 2） ｙ＝０　すなわち ｘ²＋ｍｘ＋１＝０の判別式をＤとする Ｄ＝ｍ²－４ Ｄ＞０より ｍ²－４＞０ （ｍ＋２）（ｍ－２）＞０ ｍ＜－２、ｍ＞２ 問題 ２次方程式ｘ²－ｍｘ＋ｍ＋３＝０の実数解の個数を求めよ。 判別式をＤとする Ｄ＝ｍ²－４ｍ－12 Ｄ＞０より ｍ²－４ｍ－12＞０ （ｍ－６）（ｍ＋２）＞０ ｍ＜－２、ｍ＞６ このとき、異なる２つの実数解をもつ Ｄ＝０より ｍ²－４ｍ－12＝０ ｍ＝－２，６ このとき、実数の重解をもつ Ｄ＜０より ｍ²－４ｍ－12＜０ －２＜ｍ＜６ このとき、実数解をもたない よって、 ｍ＜－２、ｍ＞６のとき、２個 ｍ＝－２，６のとき、１個 －２＜ｍ＜６のとき、０個 問題 ２次不等式ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＞０の解がすべての実数であるとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 ｙ＝ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６とする ｙ＞０より グラフはｘ軸との共有点をもたない ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＝０とし、判別式をＤとする。 Ｄ/４＝ｍ²－ｍ－６ Ｄ＜０より ｍ²－ｍ－６＜０ （ｍ－３）（ｍ＋２）＜０ －２＜ｍ＜３ 問題 次の条件を満たすように、定数ｍの値の範囲を定めよ。 1）２次関数ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋３において、ｙの値が常に正である。 2）関数ｙ＝ｍｘ²＋４ｘ＋ｍ－３において、ｙの値が常に負である。 1） ｙ＞０より グラフはｘ軸との共有点をもたない ｘ²＋２ｍｘ＋３＝０とし、判別式をＤとする。 Ｄ/４＝ｍ²－３ Ｄ＜０より ｍ²－３＜０ －√３＜ｍ＜√３ 2） ｍ＝０のとき、 直線ｙ＝４ｘ－３となり、ｙ＜０を満たさないから不適。 ｙ＜０より 放物線は上に凸で、ｘ軸との共有点をもたない。 よって、 ｍ＜０ かつ ｍｘ²＋４ｘ＋ｍ－３＝０は、Ｄ＜０ Ｄ/４＝４－ｍ²＋３ｍ ４－ｍ²＋３ｍ＜０ ｍ²－３ｍ－４＞０ （ｍ－４）（ｍ＋１）＞０ ｍ＜－１、ｍ＞４ ｍ＜０との共通範囲だから ｍ＜－１ 問題 ２つの２次方程式ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＝０・・①、ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＝０・・②がある。次の条件を満たすように、それぞれ定数ｍの値の範囲を定めよ。 1）①、②がともに異なる２つの実数解をもつ。 2）①、②がともに実数解をもたない。 3）①、②の少なくとも一方が実数解をもつ。 1） ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＝０ Ｄ＝ｍ²－４ｍ Ｄ＞０より ｍ²－４ｍ＞０ ｍ（ｍ－４）＞０ ｍ＜０、ｍ＞４　① ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＝０ Ｄ/４＝ｍ²－ｍ－６ Ｄ＞０より ｍ²－ｍ－６＞０ （ｍ－３）（ｍ＋２）＞０ ｍ＜－２、ｍ＞３　② ①、②より ｍ＜－２、ｍ＞４ 2） ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＝０ Ｄ＜０より ｍ²－４ｍ＜０ ０＜ｍ＜４　① ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＝０ Ｄ＜０より ｍ²－ｍ－６＜０ －２＜ｍ＜３　② ①、②より ０＜ｍ＜３ 3） 両方実数解をもたないときの余事象（補集合） 実数解をもたないときは ０＜ｍ＜３ よって、 ｍ≦０、ｍ≧３ 👉ｍ＝０、３を含むことで、実数解をもつことになる。 問題 放物線ｙ＝ｘ²－４ｍｘ＋５ｍ²＋３ｍ－10の頂点の座標を（ｐ，ｑ）とする。この頂点が第３象限にあるとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 頂点は第３象限にあるから ｐ＜０、ｑ＜０ ｙ＝ｘ²－４ｍｘ＋５ｍ²＋３ｍ－10 ＝（ｘ－２ｍ）²－４ｍ²＋５ｍ²＋３ｍ－10 ＝（ｘ－２ｍ）²＋ｍ²＋３ｍ－10 よって、 ｐ＝２ｍ＜０ ｑ＝ｍ²＋３ｍ－10＜０ ２ｍ＜０より ｍ＜０　① ｍ²＋３ｍ－10＜０より （ｍ＋５）（ｍ－２）＜０ －５＜ｍ＜２　② ①、②より －５＜ｍ＜０ 問題 隣り合う２辺の長さの和が16cmの長方形において、面積を48cm²以上60cm²以下にするには、短い方の辺の長さをどのような範囲にとればよいか。 短い方の辺をｘcmとする 長い方の辺は（16－ｘ）cm このことから ｘ＜16－ｘ ２ｘ＜16 ｘ＜８　① 面積を48cm²以上60cm²以下にするから 48≦ｘ（16－ｘ）≦60 48≦ｘ（16－ｘ）　② ｘ（16－ｘ）≦60　③ ②より 48≦16ｘ－ｘ² ｘ²－16ｘ＋48≦０ （ｘ－４）（ｘ－12）≦０ ４≦ｘ≦12　④ ③より 16ｘ－ｘ²≦60 ｘ²－16ｘ＋60≧０ （ｘ－６）（ｘ－10）≧０ ｘ≦６、ｘ≧10　⑤ ①、④、⑤より ４≦ｘ≦６ よって、 ４cm以上６cm以下 問題 ２次方程式ｘ²－２ｍｘ＋１＝０が、０＜ｘ＜３の範囲に異なる２つの実数解をもつような定数ｍの値の範囲を求めよ。 ｘ²－２ｍｘ＋１＝０ Ｄ/４＝ｍ²－１ Ｄ＞０より （ｍ＋１）（ｍ－１）＞０ ｍ＜－１、ｍ＞１　① ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ｍｘ＋１とする ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｍ）²－ｍ²＋１ 下に凸、軸ｘ＝ｍ 軸が定義域の内側にあればよいから ０＜ｍ＜３　② ｆ（０）＞かつｆ（３）＞０だから ｆ（０）＝１＞０より満たしている ｆ（３）＝９－６ｍ＋１ ＝－６ｍ＋10＞０ ｍ＜5/3　③ ①、②、③より １＜ｍ＜5/3 問題 ｘ²＋16ｘ＋63＜０を満たすすべての実数ｘについて、ｘ²＋３ａｘ－10ａ²＞０となるような実数ａのとりうる値の範囲を求めよ。 ｘ²＋16ｘ＋63＜０ （ｘ＋７）（ｘ＋９）＜０ －９＜ｘ＜－７　① ｘ²＋３ａｘ－10ａ²＞０ （ｘ＋５ａ）（ｘ－２ａ）＞０ －５ａ＜２ａ　すなわちａ＞０のとき ｘ＜－５ａ、ｘ＞２ａ ①より －７≦－５ａ　ａ≦7/5　② ａ＞０、②より ０＜ａ≦7/5　③ －５ａ＝２ａ　すなわちａ＝０のとき ｘ²＞０で、ｘ≠０となり－９＜ｘ＜－７を満たす。 よって、ａ＝０を含む　④ －５ａ＞２ａ　すなわちａ＜０のとき ｘ＜２ａ、ｘ＞－５ａ ①より －７≦２ａ　ａ≧－7/2　⑤ ａ＜０、⑤より －7/2≦ａ＜０　➅ ③、④、➅より －7/2≦ａ≦7/5 問題 ２次方程式ｘ²－（８－ａ）ｘ＋12－ａｂ＝０がどんなａの値に対しても実数解をもつような定数ｂの値の範囲を求めよ。 ｘ²－（８－ａ）ｘ＋12－ａｂ＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝64－16ａ＋ａ²－48＋４ａｂ ＝ａ²＋４ａｂ－16ａ＋16 ＝ａ²＋４（ｂ－４）ａ＋16 ＝｛ａ＋２（ｂ－４）｝²－４（ｂ－４）²＋16 Ｄ≧０だから －４（ｂ－４）²＋16≧０ （ｂ－４）²－４≦０ ｂ²－８ｂ＋16－４≦０ ｂ²－８ｂ＋12≦０ （ｂ－２）（ｂ－６）≦０ ２≦ｂ≦６ 👉Ｄの値が０以上になると、実数解が得られる。｛ａ＋（２ｂ－８）｝²は０以上が確定。 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.7 ２次不等式の応用 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連立方程式 テスト対策 ７月に入りました。この時期の中高生は期末テストがあり、テスト対策を行いました。 連立方程式では、加減法や代入法の計算、文章題がテスト範囲でした。どの内容も高校入試ではよく出る問題で、特に文章題では、式のつくり方に慣れが必要になります。 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） 0.3ｘ＋1.4ｙ＝－１ ２ｘ＋７ｙ＝－２ 2） ４ｘ－５ｙ＝４ １　　１ ━ｘ＋━ｙ＝３ ３　　４ 1） 0.3ｘ＋1.4ｙ＝－１　① ２ｘ＋７ｙ＝－２　② ①×10－②×２ 　　３ｘ＋14ｙ＝－10 －）４ｘ＋14ｙ＝－４ 　　－ｘ　　　＝－６ 　　　　　　ｘ＝６ ②に代入 12＋７ｙ＝－２ ７ｙ＝－14　ｙ＝－２ よって、 ｘ＝６、ｙ＝－２ 2） ４ｘ－５ｙ＝４　① １　　１ ━ｘ＋━ｙ＝３　② ３　　４ ①－②×12 　　４ｘ－５ｙ＝４ －）４ｘ＋３ｙ＝36 　　　　－８ｙ＝－32 　　　　　　ｙ＝４ ①に代入 ４ｘ－20＝４ ４ｘ＝24　ｘ＝６ よって、 ｘ＝６、ｙ＝４ 3） ２　　１ ━ｘ＋━ｙ＝０ ９　　６ ２ｘ－３ｙ＝－18 4） ５ｘ＋４ｙ＝－２ 0.2ｘ＋0.7ｙ＝１ 3） ２　　１ ━ｘ＋━ｙ＝０　① ９　　６ ２ｘ－３ｙ＝－18　② ①×18＋② 　　４ｘ＋３ｙ＝０ ＋）２ｘ－３ｙ＝－18 　　６ｘ　　　＝－18 　　　　　　ｘ＝－３ ４ｘ＋３ｙ＝０に代入 －12＋３ｙ＝０ ３ｙ＝12　ｙ＝４ よって、 ｘ＝－３、ｙ＝４ 4） ５ｘ＋４ｙ＝－２　① 0.2ｘ＋0.7ｙ＝１　② ②×10 ２ｘ＋７ｙ＝10　②’ ①×２－②’×５ 　　10ｘ＋８ｙ＝－４ －）10ｘ＋35ｙ＝50 　　　　－27ｙ＝－54 　　　　　　ｙ＝２ ①に代入 ５ｘ＋８＝－２ ５ｘ＝－10　ｘ＝－２ よって、 ｘ＝－２、ｙ＝２ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ３ｘ＋ｙ＝８ ２ｘ－ｙ＝２ 2） ２ｘ－３ｙ＝－27 ７ｘ＋６ｙ＝21 3） ２ｘ－３ｙ＝５ ５ｘ＋７ｙ＝－31 1） ３ｘ＋ｙ＝８　① ２ｘ－ｙ＝２　② ①＋② ５ｘ＝10　ｘ＝２ ②に代入 ４－ｙ＝２　ｙ＝２ よって、 ｘ＝２、ｙ＝２ 2） ２ｘ－３ｙ＝－27　① ７ｘ＋６ｙ＝21　② ①×２＋② 11ｘ＝－33　ｘ＝－３ ①に代入 －６－３ｙ＝－27 －３ｙ＝－21　ｙ＝７ よって、 ｘ＝－３、ｙ＝７ 3） ２ｘ－３ｙ＝５　① ５ｘ＋７ｙ＝－31　② ①×５－②×２ 10ｘ－15ｙ＝25 10ｘ＋14ｙ＝－62 －29ｙ＝87　ｙ＝－３ ①に代入 ２ｘ＋９＝５　ｘ＝－２ よって、 ｘ＝－２、ｙ＝－３ 4） ３ｘ－４ｙ＝０ ８ｘ－５ｙ＝－17 5） ｙ＝ｘ－５ ｘ＋３ｙ＝13 6） ｙ＝６ｘ－５ ｙ＝22－３ｘ 4） ３ｘ－４ｙ＝０　① ８ｘ－５ｙ＝－17　② ①×５－②×４ 15ｘ－20ｙ＝０ 32ｘ－20ｙ＝－68 －17ｘ＝68　ｘ＝－４ ①に代入 －12－４ｙ＝０　ｙ＝－３ よって、 ｘ＝－４、ｙ＝－３ 5） ｙ＝ｘ－５　① ｘ＋３ｙ＝13　② ①を②に代入 ｘ＋３ｘ－15＝13 ４ｘ＝28　ｘ＝７ ①に代入 ｙ＝７－５＝２ よって、 ｘ＝７、ｙ＝２ 6） ｙ＝６ｘ－５　① ｙ＝22－３ｘ　② ①＝② ６ｘ－５＝22－３ｘ ９ｘ＝27　ｘ＝３ ①に代入 ｙ＝18－５＝13 よって、 ｘ＝３、ｙ＝13 7） ｘ＋３ｙ＝７ ２（ｘ＋ｙ）－ｘ＝６ 8） ２ｘ＋７ｙ＝－ｘ－５ｙ＝１ 7） ｘ＋３ｙ＝７　① ２（ｘ＋ｙ）－ｘ＝６　② ②より ２ｘ＋２ｙ－ｘ＝６ ｘ＝６－２ｙ　②’ ①に代入 ６－２ｙ＋３ｙ＝７ ｙ＝１ ②’に代入 ｘ＝６－２＝４ よって、 ｘ＝４、ｙ＝１ 8） ２ｘ＋７ｙ＝－ｘ－５ｙ＝１ ２ｘ＋７ｙ＝－ｘ－５ｙ　より ３ｘ＝－12ｙ ｘ＝－４ｙ　① ２ｘ＋７ｙ＝１に代入　 －８ｙ＋７ｙ＝１ ｙ＝－１ ①に代入　ｘ＝４ よって、 ｘ＝４、ｙ＝－１ 問題 ２つの整数がある。その差は８で、大きい方の数は小さい方の数の４倍より１小さいという。大きい方の数をｘ、小さい方の数をｙとして連立方程式をつくり、大小２つの数を求めなさい。 差は８だから ｘ－ｙ＝８　① 大きい方の数は小さい方の数の４倍より１小さいから ｘ＝ｙ×４－１ ｘ＝４ｙ－１　② ②を①に代入 ４ｙ－１－ｙ＝８ ３ｙ＝９　ｙ＝３ ①に代入 ｘ－３＝８　ｘ＝11 よって、 大きい数　11 小さい数　３ 問題 十の位の数と一の位の数の和が10である２けたの自然数がある。この自然数の十の位の数と一の位の数を入れかえた自然数は、もとの自然数より36大きくなる。十の位の数をｘ、一の位の数をｙとして連立方程式をつくり、もとの自然数を求めなさい。 位の数の和が10だから ｘ＋ｙ＝10　① もとの数は、10ｘ＋ｙ 位を入れかえた数は、10ｙ＋ｘ 位の数を入れかえた数は、もとの数より36大きくなるから 10ｙ＋ｘ＝10ｘ＋ｙ＋36　② ②より －９ｘ＋９ｙ＝36 －ｘ＋ｙ＝４　②’ ①＋②’ 　　　ｘ＋ｙ＝10 ＋）－ｘ＋ｙ＝４ 　　　　２ｙ＝14 　　　　　ｙ＝７ ①に代入 ｘ＋７＝10　ｘ＝３ もとの数を10ｘ＋ｙとしたから 10×３＋７＝37 よって、37 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 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３次方程式 解と係数 ３次方程式では、２次方程式と同じように「解と係数の関係」があります。３つの解の和、積の和、積の基本公式をもとに、式の中にある文字定数の値を求めます。 問題 ３次方程式 ｘ³＋ａｘ²－17ｘ＋ｂ＝０ は－１と－３を解にもつという。 1）定数ａ、ｂの値を求めよ。 2）この方程式の他の解を求めよ。 1） ｘ＝－１を代入 －１＋ａ＋17＋ｂ＝０ ａ＋ｂ＝－16　① ｘ＝－３を代入 －27＋９ａ＋51＋ｂ＝０ ９ａ＋ｂ＝－24　② ①－② －８ａ＝８　ａ＝－１ ①に代入 －１＋ｂ＝－16　ｂ＝－15 よって、 ａ＝－１、ｂ＝－15 2） 方程式にａ＝－１、ｂ＝－15を代入 ｘ³－ｘ²－17ｘ－15＝０ ｘ＝－１を解にもつから、（ｘ＋１）で割り切れる。 組立除法により １　－１　－17　－15　【－１ 　　－１　　２　　15 １　－２　－15　　０ （ｘ＋１）（ｘ²－２ｘ－15）＝０ （ｘ＋１）（ｘ＋３）（ｘ－５）＝０ ｘ＝－１、－３、５ よって、他の解は５ ※別解 ３次方程式の解と係数の関係 ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ＝０ α＋β＋γ＝－ｂ/ａ αβ＋βγ＋γα＝ｃ/ａ αβγ＝－ｄ/ａ ｘ³＋ａｘ²－17ｘ＋ｂ＝０の解を －１、－３、γ とする 和 －１－３＋γ＝－ａ γ＝ａ＋４　① 積の和 ３－３γ－γ＝－17 －４γ＝－20　γ＝５ 👉他の解は５ 積 －１・（－３）・γ＝－ｂ ３γ＝－ｂ　② ①より ５＝ａ＋４　ａ＝－１ ②より ３・５＝－ｂ　ｂ＝－15 よって、 ａ＝－１、ｂ＝－15 他の解は５ 問題 ｘの方程式ｘ³－ａｘ²＋（３ａ－１）ｘ－24＝０の解のうち、１つはｘ＝２であるという。このとき、実数ａの値と他の解を求めよ。 ｘ＝２を代入 ８－４ａ＋６ａ－２－24＝０ ２ａ＝18 ａ＝９ 方程式にａ＝９を代入 ｘ³－９ｘ²＋26ｘ－24＝０ ｘ＝２を解にもつから、（ｘ－２）で割り切れる。 １　－９　　26　－24　【２ 　　　２　－14　　24 １　－７　　12　　０ （ｘ－２）（ｘ²－７ｘ＋12）＝０ （ｘ－２）（ｘ－３）（ｘ－４）＝０ ｘ＝２，３，４ よって、他の解は３，４ したがって、 ａ＝９、他の解３，４ 問題 ａ、ｂは実数とする。ｘの３次方程式ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－４＝０が１＋ｉを解にもつとき、定数ａ、ｂの値と他の解を求めよ。 虚数解をもつから、共役な複素数１－ｉも解にもつ。 👉他の解は１－ｉ 方程式の左辺は ｛ｘ－（１＋ｉ）｝｛ｘ－（１－ｉ）｝ ＝ｘ²－２ｘ＋１－ｉ² ＝ｘ²－２ｘ＋２　で割り切れる 左辺の定数項が－４だから （ｘ²－２ｘ＋２）（ｘ－２）＝０　に因数分解できる 👉他の解は２ 左辺を展開して ｘ³－２ｘ²－２ｘ²＋４ｘ＋２ｘ－４＝０ ｘ³－４ｘ²＋６ｘ－４＝０ ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－４＝０と係数を比較して ａ＝－４、ｂ＝６ したがって、 ａ＝－４、ｂ＝６ 他の解　１－ｉ、２ ※別解 ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－４＝０の１±ｉ以外の解をｃとする ３次方程式の解と係数の関係より 和 （１＋ｉ）＋（１－ｉ）＋ｃ＝－ａ ２＋ｃ＝－ａ　① 積の和 （１＋ｉ）（１－ｉ）＋（１－ｉ）ｃ＋ｃ（１＋ｉ）＝ｂ １－ｉ²＋ｃ－ｃｉ＋ｃ＋ｃｉ＝ｂ １＋１＋２ｃ＝ｂ ２＋２ｃ＝ｂ　② 積 （１＋ｉ）（１－ｉ）ｃ＝４ （１－ｉ²）ｃ＝４ ２ｃ＝４　ｃ＝２ よって、他の解は２ ①より ２＋２＝－ａ　ａ＝－４ ②より ２＋４＝ｂ　ｂ＝６ したがって、 ａ＝－４、ｂ＝６ 他の解　１－ｉ、２ ※もう１つの別解として、ｘ＝１＋ｉを代入して恒等式で求める方法があります。 問題 ａ、ｂは実数で、方程式ｘ³－２ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０はｘ＝２＋ｉを解にもつとする。このとき、ａ、ｂの値と方程式のすべての解を求めよ。 共役な複素数２－ｉも解にもつ 方程式の左辺は ｛ｘ－（２＋ｉ）｝｛ｘ－（２－ｉ）｝ ＝ｘ²－４ｘ＋４－ｉ² ＝ｘ²－４ｘ＋５　で割り切れる ｘ＝２±ｉ以外の解をｃとすると ｘ³－２ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝（ｘ²－４ｘ＋５）（ｘ－ｃ） 右辺 ＝ｘ³－ｃｘ²－４ｘ²＋４ｃｘ＋５ｘ－５ｃ ＝ｘ³－（ｃ＋４）ｘ²＋（４ｃ＋５）ｘ－５ｃ 両辺の係数を比較して ｃ＋４＝２　ｃ＝－２ ４ｃ＋５＝ａ　① －５ｃ＝ｂ　② ①より －８＋５＝ａ　ａ＝－３ ②より ｂ＝10 よって、 ａ＝－３、ｂ＝10 ｘ＝２±ｉ、－２ 問題 ３次方程式ｘ³＋ｘ²＋ｘ＋３＝０の３つの解をα、β、γとするとき、α²＋β²＋γ²、α³＋β³＋γ³の値を求めよ。 α²＋β²＋γ² ＝（α＋β＋γ）²－２（αβ＋βγ＋γα） ３次方程式の解と係数の関係より α＋β＋γ＝－１ αβ＋βγ＋γα＝１だから α²＋β²＋γ² ＝（－１）²－２・１ ＝－１ α³＋β³＋γ³ ＝（α＋β＋γ）｛α²＋β²＋γ²－（αβ＋βγ＋γα）｝＋３αβγ 解と係数の関係より αβγ＝－３ よって、 α³＋β³＋γ³ ＝（－１）（－１－１）＋３・（－３） ＝２－９ ＝－７ ※別解 α³＋β³＋γ³の値 方程式にｘ＝αを代入 α³＋α²＋α＋３＝０ α³＝－（α²＋α＋３）　① ｘ＝βを代入 β³＋β²＋β＋３＝０ β³＝－（β²＋β＋３）　② ｘ＝γを代入 γ³＋γ²＋γ＋３＝０ γ³＝－（γ²＋γ＋３）　③ ①、②、③より α³＋β³＋γ³ ＝－（α²＋α＋３）－（β²＋β＋３）－（γ²＋γ＋３） ＝－（α²＋β²＋γ²）－（α＋β＋γ）－９ α²＋β²＋γ²＝－１ α＋β＋γ＝－１だから α³＋β³＋γ³ ＝－（－１）－（－１）－９ ＝２－９ ＝－７ 問題 ３次方程式ｘ³－２ｘ＋１＝０の３つの解をα、β、γとするとき、次の式の値を求めよ。 1） α＋β＋γ、αβ＋βγ＋γα、αβγ 2） α²＋β²＋γ² 3） α³＋β³＋γ³ 4） （α－２）（β－２）（γ－２） 1） 解と係数の関係より α＋β＋γ＝０ αβ＋βγ＋γα＝－２ αβγ＝－１ 2） α²＋β²＋γ² ＝（α＋β＋γ）²－２（αβ＋βγ＋γα） ＝０²－２・（－２） ＝４ 3） α³＋β³＋γ³ ＝（α＋β＋γ）｛α²＋β²＋γ²－（αβ＋βγ＋γα）｝＋３αβγ ＝０・（４＋２）＋３・（－１） ＝－３ ※別解 方程式にｘ＝α、β、γを代入 α³－２α＋１＝０ β³－２β＋１＝０ γ³－２γ＋１＝０ α³＝２α－１ β³＝２β－１ γ³＝２γ－１だから α³＋β³＋γ³ ＝（２α－１）＋（２β－１）＋（２γ－１） ＝２（α＋β＋γ）－３ ＝２・０－３ ＝－３ ※別解 α＋β＋γ＝０を利用する α＝－（β＋γ） α³＋β³＋γ³ ＝｛－（β＋γ）｝³＋β³＋γ³ ＝－（β³＋３β²γ＋３βγ²＋γ³）＋β³＋γ³ ＝－（３β²γ＋３βγ²） ＝－３βγ（β＋γ） ＝－３βγ・（－α） ＝３αβγ ＝３・（－１） ＝－３ 4） （α－２）（β－２）（γ－２） ＝－（２－α）（２－β）（２－γ） ｘ³－２ｘ＋１＝（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ） ｘ＝２とすると ２³－２・２＋１＝（２－α）（２－β）（２－γ） ５＝（２－α）（２－β）（２－γ） よって、 （α－２）（β－２）（γ－２） ＝－（２－α）（２－β）（２－γ） ＝－５ 問題 ３次方程式ｘ³＋（ａ＋１）ｘ²－ａ＝０が重解をもつとき、定数ａの値を求めよ。 ｘ＝－１を解にもつから（ｘ＋１）で割り切れる １　ａ＋１　　０　－ａ　【－１ 　　　－１　－ａ　　ａ １　　ａ　　－ａ　　０ ｘ³＋（ａ＋１）ｘ²－ａ ＝（ｘ＋１）（ｘ²＋ａｘ－ａ） ｘ＝－１がｘ²＋ａｘ－ａ＝０の解のとき １－ａ－ａ＝０ ａ＝1/2 ｘ²＋ａｘ－ａ＝０が重解をもつとき 判別式をＤとする Ｄ＝ａ²＋４ａ Ｄ＝０より ａ²＋４ａ＝０ ａ（ａ＋４）＝０ ａ＝０，－４ よって、 ａ＝1/2，０，－４ 問題 ３次方程式ｘ³－（ａ＋２）ｘ＋２（ａ－２）＝０が２重解をもつとき、定数ａの値を求めよ。 ｘ＝２を解にもつから（ｘ－２）で割り切れる １　０　－（ａ＋２）　　２（ａ－２）　【２　 　　２　　　　　４　 －２（ａ－２） １　２　－（ａ－２）　　　　　　０ （ｘ－２）（ｘ²＋２ｘ－ａ＋２）＝０ ｘ²＋２ｘ－ａ＋２＝０が重解をもつとき 判別式をＤとする Ｄ/４＝１＋ａ－２ ＝ａ－１ Ｄ＝０より ａ－１＝０ ａ＝１ ｘ²＋２ｘ－ａ＋２＝０が異なる実数解をもち、一方がｘ＝２であるとき ｘ＝２を代入 ４＋４－ａ＋２＝０ ａ＝10 よって、 ａ＝１，10 ※ ｘ²＋２ｘ－８＝０ （ｘ＋４）（ｘ－２）＝０ ｘ＝－４，２ （ｘ－２）²（ｘ＋４）＝０のとき 問題 ｘに関する方程式ｘ³＋ａｘ²＋（ａ＋１）ｘ＋２＝０が異なる３つの実数解をもつとき、実数ａの値の範囲を求めよ。 ｘ＝－１を解にもつから（ｘ＋１）で割り切れる １　　　ａ　　ａ＋１　　２　【－１ 　　　－１　－ａ＋１　－２ １　ａ－１　　　　２　　０ （ｘ＋１）｛ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋２｝＝０ ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋２＝０の解がｘ≠－１で、異なる２つの実数解をもつとき。 ｘ＝－１のとき １－ａ＋１＋２＝０ ａ＝４ よって、ａ≠４のとき すなわち ａ＜４、ａ＞４のとき　① 判別式をＤとする Ｄ＝（ａ－１）²－８ ＝ａ²－２ａ＋１－８ ＝ａ²－２ａ－７ Ｄ＞０より ａ²－２ａ－７＞０ ａ²－２ａ－７＝０とする ａ＝１±２√２だから ａ＜１－２√２、ａ＞１＋２√２　② ①、②より ａ＜１－２√２ １＋２√２＜ａ＜４ ａ＞４ 問題 ｘに関する方程式ｘ³＋（１－ａ²）ｘ－ａ＝０が異なる３つの実数解をもつとき、実数ａの値の範囲を求めよ。 ｘ＝ａを解にもつから（ｘ－ａ）で割り切れる １　０　１－ａ²　－ａ　【ａ 　　ａ　　　ａ²　　ａ １　ａ　　　１　　 ０ （ｘ－ａ）（ｘ²＋ａｘ＋１）＝０ ｘ²＋ａｘ＋１＝０の解がｘ≠ａで、異なる２つの実数解をもつとき。 ｘ＝ａのとき ａ²＋ａ²＋１＝０ ２ａ²＋１＝０ 実数となるａはないからｘ≠ａ ｘ²＋ａｘ＋１＝０の判別式をＤとする Ｄ＝ａ²－４ Ｄ＞０より ａ²－４＞０ （ａ＋２）（ａ－２）＞０ よって、 ａ＜－２、ａ＞２ 問題 多項式Ｐ（ｘ）＝ｘ³－（ａ－１）ｘ²＋（ｂ－５）ｘ＋ａ－２ｂ＋10があり、Ｐ（－１）＝０である。ただし、ａ、ｂは実数の定数とする。 1）ｂの値を求めよ。 2）Ｐ（ｘ）を因数分解せよ。また、方程式Ｐ（ｘ）＝０が虚数解をもつようなａの値の範囲を求めよ。 3）方程式Ｐ（ｘ）＝０が異なる３つの実数解をもつようなａの値の範囲を求めよ。また、このとき、異なる３つの実数解の和をｐ、積をｑとおく。ｐ³＋３ｑ＋５＝０となるａの値を求めよ。 1） Ｐ（－１） ＝－１－ａ＋１－ｂ＋５＋ａ－２ｂ＋10 ＝－３ｂ＋15＝０ －３ｂ＝－15 ｂ＝５ 2） Ｐ（ｘ）にｂ＝５を代入 ｘ³－（ａ－１）ｘ²＋ａ Ｐ（－１）＝０だから（ｘ＋１）で割り切れる １　－ａ＋１　０　　ａ　【－１ 　　　　－１　ａ　－ａ １　　　－ａ　ａ　　０ よって、 Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１）（ｘ²－ａｘ＋ａ） Ｐ（ｘ）＝０のとき、ｘ＝－１が実数解だから、 ｘ²－ａｘ＋ａ＝０が虚数解をもつ。 Ｄ＝ａ²－４ａ Ｄ＜０より ａ（ａ－４）＜０ ０＜ａ＜４ したがって、 （ｘ＋１）（ｘ²－ａｘ＋ａ） ０＜ａ＜４ 3） Ｐ（ｘ）＝０が異なる３つの実数解をもつから ｘ²－ａｘ＋ａ＝０は、ｘ≠－１ ｘ＝－１を代入すると １＋ａ＋ａ≠０ ２ａ≠－１ よって、 ａ≠－1/2　① ｘ²－ａｘ＋ａ＝０が異なる２つの実数解をもつから Ｄ＝ａ²－４ａ Ｄ＞０より ａ（ａ－４）＞０ ａ＜０、ａ＞４　② ①、②より ａ＜－1/2、－1/2＜ａ＜０、ａ＞４ ｘ³－（ａ－１）ｘ²＋ａ＝０より 解と係数の関係から ｐ＝ａ－１ ｑ＝－ａ ｐ³＋３ｑ＋５＝０より （ａ－１）³－３ａ＋５＝０ ａ³－３ａ²＋３ａ－１－３ａ＋５＝０ ａ³－３ａ²＋４＝０ ａ＝２のとき左辺＝０だから、（ａ－２）で割り切れる。 １　－３　　０　　４　【２ 　　　２　－２　－４ １　－１　－２　　０ （ａ－２）（ａ²－ａ－２）＝０ （ａ－２）²（ａ＋１）＝０ ａ＝２，－１ ａ＜０、ａ＞４だから ａ＝－１ したがって、 ａ＜－1/2、－1/2＜ａ＜０、ａ＞４ ａ＝－１ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.6 ３次方程式 解と係数 👉ブログ TOP

高次方程式と虚数解 ３次以上の高次方程式は、実数解または虚数解をもちます。虚数解は必ず２つ出てくる解で、ａ±ｂｉの共役な複素数、または±ｂｉの純虚数になります。これを利用した応用問題があります。 問題 Ｐ（ｘ）＝ｘ⁴－２ｘ³＋３ｘ²－２ｘ＋１とする。 1）ｘ＋（１/ｘ）＝ｔとおくとき、ｔの満たす２次方程式を求めよ。 2）Ｐ（ｘ）＝０の解を求めよ。 1） Ｐ（０）≠０だから、ｘ＝０はＰ（ｘ）＝０の解ではない。 両辺をｘ²で割ると ｘ²－２ｘ＋３－（２/ｘ）＋（１/ｘ²）＝０ ｛ｘ²＋（１/ｘ²）｝－２｛ｘ＋（１/ｘ）｝＋３＝０ ｘ²＋（１/ｘ²） ＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－２・ｘ・（１/ｘ） ＝ｔ²－２　だから （ｔ²－２）－２ｔ＋３＝０ よって、 ｔ²－２ｔ＋１＝０ 2） ｔ²－２ｔ＋１＝０より （ｔ－１）²＝０ ｔ＝１ ｘ＋（１/ｘ）＝１だから ｘ²＋１＝ｘ ｘ²－ｘ＋１＝０ よって、 ｘ＝（１±√－３）/２ 　＝（１±√３ｉ）/２ ※2）別解 ｘ⁴－２ｘ³＋３ｘ²－２ｘ＋１ ＝（ｘ⁴－２ｘ³＋ｘ²）＋２ｘ²－２ｘ＋１ ＝（ｘ²－ｘ）²＋２（ｘ²－ｘ）＋１ ＝Ａ²＋２Ａ＋１ ＝（Ａ＋１）² ＝（ｘ²－ｘ＋１）² Ｐ（ｘ）＝０より （ｘ²－ｘ＋１）²＝０ ｘ²－ｘ＋１＝０ よって、 ｘ＝（１±√３ｉ）/２ 問題 ｘ⁴－８ｘ³＋17ｘ²－８ｘ＋１＝０を解け。 ｘ≠０だから 両辺をｘ²で割ると ｘ²－８ｘ＋17－（８/ｘ）＋（１/ｘ²）＝０ 左辺 ＝｛ｘ²＋（１/ｘ²）｝－８｛ｘ＋（１/ｘ）｝＋17 ｘ²＋（１/ｘ²） ＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－２・ｘ・（１/ｘ） ＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－２ 左辺 ＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－２－８｛ｘ＋（１/ｘ）｝＋17 ＝｛（ｘ＋（１/ｘ）｝²－８｛ｘ＋（１/ｘ）｝＋15 ｘ＋（１/ｘ）＝ｔとおくと ｔ²－８ｔ＋15＝０ （ｔ－３）（ｔ－５）＝０ ｔ＝３，５ ｔ＝３のとき ｘ＋（１/ｘ）＝３ ｘ²－３ｘ＋１＝０ ｘ＝（３±√５）/２ ｔ＝５のとき ｘ＋（１/ｘ）＝５ ｘ²－５ｘ＋１＝０ ｘ＝（５±√21）/２ よって、 ｘ＝（３±√５）/２、（５±√21）/２ 問題 ｘ⁴＋８ｘ³＋20ｘ²＋16ｘ－12＝０を解け。 ｘ⁴＋８ｘ³＋20ｘ²＋16ｘ－12＝０ ｘ⁴＋８ｘ³＋16ｘ²＋４ｘ²＋16ｘ－12＝０ （ｘ²＋４ｘ）²＋４（ｘ²＋４ｘ）－12＝０ Ａ²＋４Ａ－12＝０ （Ａ＋６）（Ａ－２）＝０ （ｘ²＋４ｘ＋６）（ｘ²＋４ｘ－２）＝０ ｘ²＋４ｘ＋６＝０のとき ｘ＝－２±√２ｉ ｘ²＋４ｘ－２＝０のとき ｘ＝－２±√６ よって、 ｘ＝－２±√２ｉ、－２±√６ 問題 ｑ、ｒを実数として、多項式Ｐ（ｘ）＝ｘ³－２ｘ²＋ｑｘ＋２ｒを考える。３次方程式Ｐ（ｘ）＝０の解が－２と２つの自然数α、β（α＜β）であるとき、α、βとｑ、ｒを求めよ。 ３次方程式の解と係数の関係より 和 α＋β－２＝２ α＋β＝４ 積の和 αβ－２β－２α＝ｑ αβ－２（α＋β）＝ｑ 積 －２αβ＝－２ｒ αβ＝ｒ α、βは自然数で、α＋β＝４、α＜βだから α＝１、β＝３ よって、 αβ－２（α＋β）＝ｑ ３－２・４＝ｑ ｑ＝－５ αβ＝ｒ ｒ＝３ したがって、 α＝１、β＝３ ｑ＝－５、ｒ＝３ ※別解 Ｐ（－２）＝０だから －８－８－２ｑ＋２ｒ＝０ －16－２ｑ＋２ｒ＝０ －８－ｑ＋ｒ＝０ ｒ＝ｑ＋８ Ｐ（ｘ） ＝ｘ³－２ｘ²＋ｑｘ＋２（ｑ＋８） Ｐ（－２）＝０だから（ｘ＋２）で割り切れる １　－２　　ｑ　　２（ｑ＋８）　【－２ 　　－２　　８　－２（ｑ＋８） １　－４　ｑ＋８　　　　　０ （ｘ＋２）（ｘ²－４ｘ＋ｑ＋８）＝０ よって、 α、βは、ｘ²－４ｘ＋ｑ＋８＝０の解である。 １次の係数が－４で、α、βは自然数だから 解は、ｘ＝１、３ α＜βより α＝１、β＝３ （ｘ－１）（ｘ－３）＝０ ｘ²－４ｘ＋３＝０より ｑ＋８＝３　ｑ＝－５ ｒ＝ｑ＋８より ｒ＝－５＋８＝３ したがって、 α＝１、β＝３ ｑ＝－５、ｒ＝３ 問題 複素数１＋２ｉを解にもつ実数係数のｘの２次方程式で、ｘ²の係数が１であるものを求めよ。 ｘ＝１＋２ｉより ｘ－１＝２ｉ 両辺を２乗して ｘ²－２ｘ＋１＝－４ ｘ²－２ｘ＋５＝０ ※別解１ 共役な複素数１－２ｉも解にもつから ｛ｘ－（１＋２ｉ）｝｛ｘ－（１－２ｉ）｝＝０ ｘ²－２ｘ＋（１－４ｉ²）＝０ ｘ²－２ｘ＋５＝０ ※別解２ 求める方程式を ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０とする 解と係数の関係より （１＋２ｉ）＋（１－２ｉ）＝－ａ ２＝－ａ　ａ＝－２ （１＋２ｉ）（１－２ｉ）＝ｂ １－４ｉ²＝ｂ ｂ＝５ よって、 ｘ²－２ｘ＋５＝０ ※別解３ 求める方程式を ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０とする ｘ＝１＋２ｉを代入 （１＋２ｉ）²＋ａ（１＋２ｉ）＋ｂ＝０ １＋４ｉ＋４ｉ²＋ａ＋２ａｉ＋ｂ＝０ （ａ＋ｂ－３）＋（２ａ＋４）ｉ＝０ 実部と虚部はともに０だから ａ＋ｂ－３＝０　① ２ａ＋４＝０　② ②より ａ＝－２ ①に代入し －２＋ｂ－３＝０ ｂ＝５ よって、 ｘ²－２ｘ＋５＝０ 問題 ａ、ｂを実数とする。４次方程式ｘ⁴－ｘ³＋２ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０が１＋２ｉを解にもつとき、ａ、ｂの値を求めよ。 ｘ⁴－ｘ³＋２ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０ ｘ²（ｘ²－ｘ＋２）＋ａｘ＋ｂ＝０　① ｘ＝１＋２ｉより ｘ－１＝２ｉ 両辺を２乗して ｘ²－２ｘ＋１＝－４ ｘ²＝２ｘ－５ ①に代入 （２ｘ－５）（２ｘ－５－ｘ＋２）＋ａｘ＋ｂ＝０ （２ｘ－５）（ｘ－３）＋ａｘ＋ｂ＝０ ２ｘ²－11ｘ＋15＋ａｘ＋ｂ＝０ ｘ²＝２ｘ－５を代入 ４ｘ－10－11ｘ＋15＋ａｘ＋ｂ＝０ ａｘ－７ｘ＋ｂ＋５＝０ ｘ＝１＋２ｉを代入 ａ＋２ａｉ－７－14ｉ＋ｂ＋５＝０ （ａ＋ｂ－２）＋（２ａ－14）ｉ＝０ 実部と虚部がともに０だから ａ＋ｂ－２＝０　② ２ａ－14＝０　③ ③より ａ＝７ ②に代入して ７＋ｂ－２＝０ ｂ＝－５ よって、 ａ＝７、ｂ＝－５ 問題 ｐ、ｑは有理数とする。方程式ｘ³－４ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０が１＋√３を解にもつとき 1）ｐ、ｑの値を求めよ。 2）他の２つの解を求めよ。 1） ｘ＝１＋√３より ｘ－１＝√３ 両辺を２乗して ｘ²－２ｘ＋１＝３ ｘ²＝２ｘ＋２　① ｘ³－４ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０より ｘ²（ｘ－４）＋ｐｘ＋ｑ＝０ ①を代入 （２ｘ＋２）（ｘ－４）＋ｐｘ＋ｑ＝０ ２ｘ²－６ｘ－８＋ｐｘ＋ｑ＝０ ①を代入 ４ｘ＋４－６ｘ－８＋ｐｘ＋ｑ＝０ ｐｘ－２ｘ＋ｑ－４＝０ ｘ＝１＋√３を代入 ｐ＋√３ｐ－２－２√３＋ｑ－４＝０ （ｐ＋ｑ－６）＋（ｐ－２）√３＝０ ｐ、ｑは有理数で、√３は無理数だから ｐ＋ｑ－６＝０　② ｐ－２＝０　③ ③より ｐ＝２ ②に代入して ２＋ｑ－６＝０ ｑ＝４ よって、 ｐ＝２、ｑ＝４ 2） ｐ＝２、ｑ＝４より ｘ³－４ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０ ｘ³－４ｘ²＋２ｘ＋４＝０ ３つの解を、１±√３、ａとする 解と係数の関係より 和 （１＋√３）＋（１－√３）＋ａ＝４ ａ＝２ よって、 他の解　１－√３、２ 問題 実数ｘ、ｙ、ｚは連立方程式 ｘ＋ｙ＋ｚ＝－１ ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝７ ｘ³＋ｙ³＋ｚ³＝－１ を満たしている。 1）ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ、ｘｙｚの値を求めよ。 2）この連立方程式の解の中で、ｘ＜ｙ＜ｚを満たすものを求めよ。 1） ｘ＋ｙ＋ｚ＝－１　① ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝７　② ｘ³＋ｙ³＋ｚ³＝－１　③ ②より （ｘ＋ｙ＋ｚ）²－２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝７ ①を代入 （－１）²－２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝７ －２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝６ よって、 ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝－３　④ ③より （ｘ＋ｙ＋ｚ）｛ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）｝＋３ｘｙｚ＝－１ ①、②、④を代入 （－１）・｛７－（－３）｝＋３ｘｙｚ＝－１ －10＋３ｘｙｚ＝－１ ３ｘｙｚ＝９ ｘｙｚ＝３ よって、 ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝－３ ｘｙｚ＝３ 2） ｘ＋ｙ＋ｚ＝－１ ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝－３ ｘｙｚ＝３ ３つの式から ３次方程式の解と係数の関係より ａ³＋ａ²－３ａ－３＝０とする ａ＝－１を解にもつから（ａ＋１）で割り切れる １　　１　－３　－３　【－１ 　　－１　　０　　３ １　　０　－３　　０ （ａ＋１）（ａ²－３）＝０ よって、 ａ＝－１、±√３ したがって、 ｘ＝－√３ ｙ＝－１ ｚ＝√３ ※ ａ³＋ａ²－３ａ－３＝０ ａ³－３ａ＋ａ²－３＝０ ａ（ａ²－３）＋（ａ²－３）＝０ （ａ＋１）（ａ²－３）＝０ 問題 ｘについての３次方程式ｘ³＋（ａ－５）ｘ²＋（ａ＋８）ｘ－６ａ－４＝０を考える。 1）この方程式はどのようなａの値についても、ｘ＝［　ア　］を解にもつ。 2）この方程式が異なる２つの実数解をもつとき、ａ＝［　イ　］、［　ウ　］、［　エ　］である。ただし、［　イ　］＜［　ウ　］＜［　エ　］とする。 1） 左辺＝０となるのはｘ＝２のときだから ア　２ 2） 左辺は（ｘ－２）で割り切れるから １　ａ－５　　ａ＋８　－６ａ－４　【２ 　　　　２　２ａ－６　　６ａ＋４ １　ａ－３　３ａ＋２　　　　　０ （ｘ－２）｛ｘ²＋（ａ－３）ｘ＋３ａ＋２｝＝０ ｘ²＋（ａ－３）ｘ＋３ａ＋２＝０が２以外の重解をもつとき 判別式をＤとする Ｄ＝（ａ－３）²－４（３ａ＋２） ＝ａ²－６ａ＋９－12ａ－８ ＝ａ²－18ａ＋１ Ｄ＝０より ａ²－18ａ＋１＝０ ａ＝９±４√５ ｘ²＋（ａ－３）ｘ＋３ａ＋２＝０が２を解にもつとき ｘ＝２を代入 ４＋２ａ－６＋３ａ＋２＝０ ａ＝０ よって、 イ　０ ウ　９－４√５ エ　９＋４√５ 問題 係数ａ、ｂが整数である３次方程式ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋１＝０が２つの虚数解と１つの負の整数解をもつ。この条件を満たす整数の組（ａ、ｂ）は何組あるか求めよ。 ３つの解をα、β、γとする 解と係数の関係より α＋β＋γ＝－ａ　① αβ＋βγ＋γα＝ｂ　② αβγ＝－１　③ ２つの虚数解を α＝ｐ＋ｑｉ、β＝ｐ－ｑｉとする αβ＝（ｐ＋ｑｉ）（ｐ－ｑｉ） ＝ｐ²－ｑｉ² ＝ｐ²＋ｑ² αβγ＝－１より （ｐ²＋ｑ²）γ＝－１ ｐ²＋ｑ²＞０だから γ＝－１ ｘ＝－１が解だから式に代入する ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋１＝０ －１＋ａ－ｂ＋１＝０ ａ－ｂ＝０ よって、ａ＝ｂ ａ＝ｂだから ｘ³＋ａｘ²＋ａｘ＋１＝０ ｘ＝－１のとき０だから １　　　ａ　　　ａ　　　１　【－１ 　　　－１　－ａ＋１　－１ １　ａ－１　　　１　　　０ （ｘ＋１）｛ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋１｝＝０ ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋１＝０が虚数解だから Ｄ＝（ａ－１）²－４ ＝ａ²－２ａ＋１－４ ＝ａ²－２ａ－３＜０ （ａ－３）（ａ＋１）＜０ －１＜ａ＜３ よって、 ａ＝０，１，２ ａ＝ｂだから （ａ，ｂ）＝（０，０）（１，１）（２，２） したがって、３組 問題 ａ＋ｂ＋ｃ＝－１を満たす実数ａ、ｂ、ｃに対し、Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃとする。 1）Ｐ（ｘ）は、Ｐ（ｘ）＝（ｘ－ア）｛ｘ²＋（イ＋１）ｘ－ウ｝と表される。 2）方程式Ｐ（ｘ）＝０の解が複素数の範囲で［ア］だけであるとき、ａ、ｂ、ｃの値を求めよ。 3）方程式Ｐ（ｘ）＝０が異なる３つの実数解をもち、そのうち２つの解が１よりも小さくなるための条件をａ、ｂ、ｃを用いて表せ。 1） ａ＋ｂ＋ｃ＝－１より ｃ＝－ａ－ｂ－１ ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃに代入 ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－ａ－ｂ－１ ｘ＝１のとき、Ｐ（ｘ）＝０だから （ｘ－１）で割り切れる １　　ａ　　　　ｂ　　　－ａ－ｂ－１　【１ 　　　１　　　ａ＋１　　　ａ＋ｂ＋１ １　ａ＋１　ａ＋ｂ＋１　　　　　　０ （ｘ－１）｛ｘ²＋（ａ＋１）ｘ＋ａ＋ｂ＋１｝＝０ ａ＋ｂ＋ｃ＝－１より ａ＋ｂ＝－ｃ－１だから （ｘ－１）｛ｘ²＋（ａ＋１）ｘ－ｃ｝＝０ よって、 ア　１ イ　ａ ウ　ｃ 2） 解がｘ＝１だけだから （ｘ－１）³＝０ 左辺を展開すると ｘ³－３ｘ²＋３ｘ－１＝０ ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０だから ａ＝－３ ｂ＝３ ｃ＝－１ 3） ｘ²＋（ａ＋１）ｘ－ｃ＝０は、異なる実数解をもつから 判別式Ｄ＞０ Ｄ＝（ａ＋１）²＋４ｃ Ｄ＞０より （ａ＋１）²＋４ｃ＞０ 解と係数の関係より ｘ＜１だから （α－１）＋（β－１）＜０ α＋β－２＜０ α＋β＝－（ａ＋１）だから －（ａ＋１）－２＜０ ａ＋１＋２＞０ ａ＞－３ また、 （α－１）（β－１）＞０ αβ－（α＋β）＋１＞０ αβ＝－ｃだから －ｃ＋ａ＋１＋１＞０ ａ－ｃ＋２＞０ よって、 （ａ＋１）²＋４ｃ＞０ ａ＞－３ ａ－ｃ＋２＞０ 問題 Ｐ（ｘ）＝２ｘ⁴－７ｘ³＋８ｘ²－21ｘ＋18＝０とする。 1）ｘ＋（３/ｘ）＝ｔとおくとき、ｔの満たす２次方程式を求めよ。 2）方程式Ｐ（ｘ）＝０の解を求めよ。 1） Ｐ（０）≠０だから 両辺をｘ²で割る ２ｘ²－７ｘ＋８－（21/ｘ）＋（18/ｘ²）＝０ ２ｘ²＋（18/ｘ²）－７ｘ－（21/ｘ）＋８＝０ ２｛（ｘ²＋（９/ｘ²）｝－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝＋８＝０ ２［｛（ｘ＋（３/ｘ）｝²－２ｘ・（３/ｘ）］－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝＋８＝０ ２［｛（ｘ＋（３/ｘ）｝²－６］－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝＋８＝０ ２｛（ｘ＋（３/ｘ）｝²－12－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝＋８＝０ ２｛（ｘ＋（３/ｘ）｝²－７｛ｘ＋（３/ｘ）｝－４＝０ ｘ＋（３/ｘ）＝ｔより ２ｔ²－７ｔ－４＝０ 2） ２ｔ²－７ｔ－４＝０ ２　　１　　１ 　× １　－４　－８ 　　　　　－７ （２ｔ＋１）（ｔ－４）＝０ ｔ＝－1/2、４ ｔ＝－1/2のとき ｘ＋（３/ｘ）＝ｔより ｘ＋（３/ｘ）＝－1/2 ｘ²＋３＝（－1/2）ｘ ２ｘ²＋ｘ＋６＝０ ｘ＝（－１±√47ｉ）/４ ｔ＝４のとき ｘ＋（３/ｘ）＝ｔより ｘ＋（３/ｘ）＝４ ｘ²＋３＝４ｘ ｘ²－４ｘ＋３＝０ （ｘ－１）（ｘ－３）＝０ ｘ＝１，３ よって、 ｘ＝（－１±√47ｉ）/４、１、３ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.5 高次方程式と虚数解 👉ブログ TOP

虚数係数の２次方程式 ２次方程式の係数が虚数単位のｉになっているときは、式を展開してａ＋ｂｉ＝０のように「実部＋虚部＝０」に変形して、実部ａ＝０、虚部ｂ＝０の恒等式として解く方法があります。 虚数単位 問題 ｘの２次方程式（ｉ＋１）ｘ²＋（ｋ＋ｉ）ｘ＋ｋｉ＋１＝０が実数解をもつとき、実数ｋの値を求めよ。ただし、ｉ²＝－１とする。 左辺 ＝ｉｘ²＋ｘ²＋ｋｘ＋ｉｘ＋ｋｉ＋１ ＝（ｘ²＋ｋｘ＋１）＋（ｘ²＋ｘ＋ｋ）ｉ よって、 （ｘ²＋ｋｘ＋１）＋（ｘ²＋ｘ＋ｋ）ｉ＝０ 実部と虚部はともに０だから ｘ²＋ｋｘ＋１＝０　① ｘ²＋ｘ＋ｋ＝０　② ①より ｘ²＝－ｋｘ－１ ②より ｘ²＝－ｘ－ｋ よって、 －ｋｘ－１＝－ｘ－ｋ ｘ－ｋｘ＋ｋ－１＝０ －（ｋ－１）ｘ＋（ｋ－１）＝０ （ｋ－１）ｘ－（ｋ－１）＝０ （ｋ－１）（ｘ－１）＝０ ｋ＝１、ｘ＝１ ｋ＝１のとき、①、②より ｘ²＋ｘ＋１＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝１－４＝－３＜０で実数解をもたない ｘ＝１のとき、①、②より ｋ＝－２ このとき、①より ｘ²－２ｘ＋１＝０ Ｄ/４＝１－１＝０で実数の重解をもつ ②より ｘ²＋ｘ－２＝０ Ｄ＝１＋８＝９＞０で異なる２つの実数解をもつ よって、 ｋ＝－２ 問題 ｋを実数の定数、ｉ＝√－１を虚数単位とする。ｘの２次方程式（１＋ｉ）ｘ²＋（ｋ＋ｉ）ｘ＋３－３ｋｉ＝０が純虚数解をもつとき、ｋの値を求めよ。 純虚数解をｘ＝ｂｉ、ｂ≠０の実数とする ｘ＝ｂｉを代入 （１＋ｉ）ｂ²ｉ²＋（ｋ＋ｉ）ｂｉ＋３－３ｋｉ＝０ －ｂ²－ｂ²ｉ＋ｋｂｉ－ｂ＋３－３ｋｉ＝０ （－ｂ²－ｂ＋３）＋（ｋｂ－３ｋ－ｂ²）ｉ＝０ 実部と虚部はともに０だから －ｂ²－ｂ＋３＝０　① ｋｂ－３ｋ－ｂ²＝０　② ①より ｂ²＝－ｂ＋３ ②より ｂ²＝ｋｂ－３ｋ よって、 －ｂ＋３＝ｋｂ－３ｋ －ｋｂ－ｂ＋３ｋ＋３＝０ －（ｋ＋１）ｂ＋３（ｋ＋１）＝０ （ｋ＋１）ｂ－３（ｋ＋１）＝０ （ｋ＋１）（ｂ－３）＝０ ｋ＝－１、ｂ＝３ ｋ＝－１のとき、②より ｂ²＋ｂ－３＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝１＋12＝13＞０ ｂは実数であるから適する ｂ＝３のとき、①より －９－３＋３＝－９≠０で不適 したがって、 ｋ＝－１ 問題 ｉを虚数単位とする。ａ、ｂを実数とし、αを実数でない複素数とする。αが２次方程式ｘ²－２ａｘ＋ｂ＋１＝０の解であり、α＋１が２次方程式ｘ²－ｂｘ＋５ａ＋３＝０の解であるという。このとき、ａ、ｂ、αの値を求めよ。 ｘ²－２ａｘ＋ｂ＋１＝０の解が ｘ＝αだから α²－２ａα＋ｂ＋１＝０　① ｘ²－ｂｘ＋５ａ＋３＝０の解が ｘ＝α＋１だから （α＋１）²－ｂ（α＋１）＋５ａ＋３＝０　② ②より α²＋２α＋１－ｂα－ｂ＋５ａ＋３＝０ α²＋（２－ｂ）α＋５ａ－ｂ＋４＝０　②’ ②’－①より α²＋（２－ｂ）α＋５ａ－ｂ＋４－（α²－２ａα＋ｂ＋１）＝０ α²＋（２－ｂ）α＋５ａ－ｂ＋４－α²＋２ａα－ｂ－１＝０ （２－ｂ＋２ａ）α＋（５ａ－２ｂ＋３）＝０ αは実数でないから ２－ｂ＋２ａ＝０　③ ５ａ－２ｂ＋３＝０　④ ③より ２ａ－ｂ＝－２　③’ ④より ５ａ－２ｂ＝－３　④’ ③’×２－④’ 　　４ａ－２ｂ＝－４ －）５ａ－２ｂ＝－３ 　　－ａ　　　＝－１ 　　　　　　ａ＝１ ③’に代入 ２－ｂ＝－２　ｂ＝４ ａ＝１、ｂ＝４を①に代入 α²－２α＋５＝０ α＝１±√－４＝１±２ｉ よって、 ａ＝１、ｂ＝４ α＝１±２ｉ 解と係数 問題 ２次方程式ｘ²－（ｋ－１）ｘ＋ｋ＝０の２つの解の比が２：３となるとき、定数ｋの値を求めよ。 ２つの解を２α、３αとする 解と係数の関係より 和 ２α＋３α＝ｋ－１　① 積 ２α・３α＝ｋ　② ①より ｋ＝５α＋１ ②より ｋ＝６α² よって、 ５α＋１＝６α² ６α²－５α－１＝０ ６　　１　　１ 　× １　－１　－６ 　　　　　－５ （６α＋１）（α－１）＝０ α＝－1/6、１ α＝－1/6のとき ｋ＝６・（－1/6）²＝1/6 α＝１のとき ｋ＝６・１²＝６ よって、 ｋ＝1/6、６ 問題 ｘの２次方程式ｘ²－２ｋｘ＋ｋ＝０（ｋは定数）が異なる２つの解α、α²をもつとき、αの値を求めよ。 解と係数の関係より α＋α²＝２ｋ α・α²＝α³＝ｋ よって、 α＋α²＝２α³ ２α³－α²－α＝０ α（２α²－α－１）＝０ α≠０だから ２α²－α－１＝０ ２　　１　　１ 　× １　－１　－２ 　　　　　－１ （２α＋１）（α－１）＝０ α＝－1/2、１ α＝１のとき、α²＝１となるから不適 よって、 α＝－1/2 問題 ２次方程式ｘ²－ｍｘ＋ｐ＝０の２つの解をα、βとし、２次方程式ｘ²－ｍｘ＋ｑ＝０の２つの解をγ、δとする。 1）（γ－α）（γ－β）をｐ、ｑを用いて表せ。 2）ｐ、ｑがｘの２次方程式ｘ²－（２ｎ＋１）ｘ＋ｎ²＋ｎ－１＝０の解であるとき、（γ－α）（γ－β）（δ－α）（δ－β）の値を求めよ。 1） ｘ²－ｍｘ＋ｐ＝０の解がα、βだから ｘ²－ｍｘ＋ｐ＝（ｘ－α）（ｘ－β） 両辺にγを代入 γ²－ｍγ＋ｐ＝（γ－α）（γ－β）　① γは、ｘ²－ｍｘ＋ｑ＝０の解だから γ²－ｍγ＋ｑ＝０ γ²－ｍγ＝－ｑ ①に代入 －ｑ＋ｐ＝（γ－α）（γ－β） よって、 （γ－α）（γ－β）＝ｐ－ｑ 2） δもｘ²－ｍｘ＋ｑ＝０の解だから 1）と同様に （δ－α）（δ－β）＝ｐ－ｑ よって、 （γ－α）（γ－β）（δ－α）（δ－β） ＝（ｐ－ｑ）² ＝ｐ²＋ｑ²－２ｐｑ ＝（ｐ＋ｑ）²－４ｐｑ　② ｘ²－（２ｎ＋１）ｘ＋ｎ²＋ｎ－１＝０より 解と係数の関係から ｐ＋ｑ＝２ｎ＋１ ｐｑ＝ｎ²＋ｎ－１ ②に代入 （２ｎ＋１）²－４（ｎ²＋ｎ－１） ＝４ｎ²＋４ｎ＋１－４ｎ²－４ｎ＋４ ＝５ よって、求める値は５ 問題 ｘの２次方程式（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２ｘ＋１＝０の解をα、βとする。このとき、（ｘ－α）（ｘ－β）＋２ｘ－１＝０の解を求めよ。 （ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２ｘ＋１＝（ｘ－α）（ｘ－β） （ｘ－α）（ｘ－β）＋２ｘ－１＝０に代入 （ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２ｘ＋１＋２ｘ－１＝０ （ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝０ よって、 ｘ＝ａ、ｂ 問題 ２次方程式ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０の２つの異なる実数解をα、βとするとき、２数α＋１、β＋１が２次方程式ｘ²－３ｐ²ｘ－２ｐｑ＝０の解になっているという。このとき、実数の定数ｐ、ｑの値を求めよ。 ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０より 解と係数の関係から α＋β＝－ｐ　① αβ＝ｑ　② ｘ²－３ｐ²ｘ－２ｐｑ＝０より （α＋１）＋（β＋１）＝３ｐ²　③ （α＋１）（β＋１）＝－２ｐｑ　④ ③より α＋β＋２＝３ｐ² ①を代入して －ｐ＋２＝３ｐ² ３ｐ²＋ｐ－２＝０ ３　－２　－２ 　× １　　１　　３ 　　　　　＋１ （３ｐ－２）（ｐ＋１）＝０ ｐ＝2/3、－１ ④より αβ＋（α＋β）＋１＝－２ｐｑ ①、②を代入して ｑ－ｐ＋１＝－２ｐｑ　⑤ ｐ＝2/3のとき ｑ－（2/3）＋１＝（－4/3）ｑ （7/3）ｑ＝－1/3 ｑ＝－1/7 ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０に代入して ｘ²＋（2/3）ｘ－（1/7）＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝4/9＋（4/7）＝64/63 Ｄ＞０で２つの異なる実数解をもつから適する ｐ＝－１のとき ｑ＋１＋１＝２ｑ ｑ＝２ ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０に代入して ｘ²－ｘ＋２＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝１－８＝－７ Ｄ＜０で実数解をもたないから不適 よって、 ｐ＝2/3、ｑ＝－1/7 問題 ２次方程式ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０は、異なる２つの解α、βをもつとする。２次方程式ｘ²＋ｑｘ＋ｐ＝０が２つの解α（β－２）、β（α－２）をもつとき、実数の定数ｐ、ｑの値を求めよ。 ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０より 解と係数の関係から α＋β＝－ｐ αβ＝ｑ ｘ²＋ｑｘ＋ｐ＝０より 解と係数の関係から α（β－２）＋β（α－２）＝－ｑ αβ－２α＋αβ－２β＝－ｑ ２αβ－２（α＋β）＝－ｑ α＋β＝－ｐ、αβ＝ｑを代入 ２ｑ－２（－ｐ）＝－ｑ ２ｐ＝－３ｑ ｐ＝（－3/2）ｑ また、 α（β－２）・β（α－２）＝ｐ αβ（β－２）（α－２）＝ｐ αβ｛（αβ－２（α＋β）＋４｝＝ｐ ｑ（ｑ＋２ｐ＋４）＝ｐ ｐ＝（－3/2）ｑを代入 ｑ（ｑ－３ｑ＋４）＝（－3/2）ｑ －２ｑ²＋４ｑ＝（－3/2）ｑ －４ｑ²＋８ｑ＋３ｑ＝０ ４ｑ²－11ｑ＝０ ｑ（４ｑ－11）＝０ ｑ＝０，11/4 ｑ＝０のとき、 ｐ＝（－3/2）ｑより、ｐ＝０ このとき、方程式はｘ²＝０となり不適 ｑ＝11/4のとき、 ｐ＝－33/8 よって、 ｐ＝－33/8、ｑ＝11/4 問題 ｘ²－３ｘ＋７＝０の２つの解α、βに対して、α²＋β²、α⁴＋β⁴の値を求めよ。また、（α²＋３α＋７）（β²－β＋７）の値を求めよ。 ｘ²－３ｘ＋７＝０より 解と係数の関係から α＋β＝３ αβ＝７ α²＋β² ＝（α＋β）²－２αβ ＝３²－２・７ ＝－５ α⁴＋β⁴ ＝（α²）²＋（β²）² ＝（α²＋β²）²－２（αβ）² ＝（－５）²－２・７² ＝25－98 ＝－73 ｘ²－３ｘ＋７＝０の解がｘ＝α、βだから α²－３α＋７＝０ α²＝３α－７ β²－３β＋７＝０ β²＝３β－７ （α²＋３α＋７）（β²－β＋７）に代入すると （３α－７＋３α＋７）（３β－７－β＋７） ＝６α・２β ＝12αβ αβ＝７だから 12・７＝84 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.5 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ルートの計算 テスト対策② ７月になりました。当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 中３数学から高校数学にかけて、ルートを使った計算があります。中学数学ではその基本を学習します。ルートの中を簡単にすることや有理化のほか、素因数分解を使わない方法など、計算のしかたにはいろいろな手順があります。 問題 次の計算をしなさい。 1） ７√５＋５√３－２√５－３√３ 2） ２√７－６√５＋３√５＋２√７ 3） ２√６－√３－８√６ 4） ３√７－３－２√７＋２ 1） ７√５＋５√３－２√５－３√３ ＝（７－２）√５＋（５－３）√３ ＝５√５＋２√３ 2） ２√７－６√５＋３√５＋２√７ ＝（２＋２）√７＋（－６＋３）√５ ＝４√７－３√５ 3） ２√６－√３－８√６ ＝（２－８）√６－√３ ＝－６√６－√３ 4） ３√７－３－２√７＋２ ＝（３－２）√７－３＋２ ＝√７－１ 問題 次の計算をしなさい。 1）√12＋√75 2）√18＋√50 3）√108－√48 4）５√12－３√27 5）√48＋√18－√27 6）３√５－√20＋√45 1） √12＋√75 ＝√４×√３＋√25×√３ ＝２√３＋５√３ ＝７√３ 2） √18＋√50 ＝√９×√２＋√25×√２ ＝３√２＋５√２ ＝８√２ 3） √108－√48 ＝√36×√３－√16×√３ ＝６√３－４√３ ＝２√３ 4） ５√12－３√27 ＝５×２√３－３×３√３ ＝10√３－９√３ ＝√３ 5） √48＋√18－√27 ＝４√３＋３√２－３√３ ＝√３＋３√２ 6） ３√５－√20＋√45 ＝３√５－２√５＋３√５ ＝４√５ 問題 次の計算をしなさい。 1） 　　　　10 ３√５－━━ 　　　 √５ 2） 　　　 １ √45＋━━ 　　 √５ 3） 　　　　５ ２√60－√━ 　　　　３ 4） 　　　　　 12 √３＋√27－━━ 　　　　　 √３ 1） 　　　　10 ３√５－━━ 　　　　√５ 　　　　　10　 √５ ＝３√５－━━×━━ 　　　　　√５　√５ ＝３√５－２√５ ＝√５ 2） 　　　１ √45＋━━ 　　 √５ 　　　　　１　 √５ ＝３√５＋━━×━━ 　　 　　√５　 √５ 　　　　 √５ ＝３√５＋━━ 　　　　　５ 　 16√５ ＝━━━ 　 ５ 3） 　　　 ５ ２√60－√━ 　　 　 ３ 　　　　　√５　√３ ＝４√15－━━×━━ 　　　　　√３　√３ 　　　　 √15 ＝４√15－━━ 　　　　　３ 　 11√15 ＝━━━ 　　３ 4） 　　　　　 12 √３＋√27－━━ 　　　　　 √３ ＝√３＋３√３－４√３ ＝０ 問題 次の計算をしなさい。 1） ４√３＋２√３ 2） ３√２－７√２ 3） ５√６－２√５＋√６＋６√５ 4） ９√３－４√７－８√３－√７ 5） √24＋√54 6） √48－√75 1） ４√３＋２√３ ＝６√３ 2） ３√２－７√２ ＝－４√２ 3） ５√６－２√５＋√６＋６√５ ＝６√６＋４√５ 4） ９√３－４√７－８√３－√７ ＝√３－５√７ 5） √24＋√54 ＝２√６＋３√６ ＝５√６ 6） √48－√75 ＝４√３－５√３ ＝－√３ 問題 √（45ｎ）が整数になるような自然数ｎのうち、もっとも小さい数を求めなさい。 √（45ｎ）＝√（３²×５×ｎ） √（３²×５²）＝15となるから ｎ＝５ 問題 √（10－ｎ）の値が自然数となるような自然数ｎをすべて求めなさい。 値が自然数になるから （10－ｎ）は、１以上９以下の平方数 よって、 10－ｎ＝１ 10－ｎ＝４ 10－ｎ＝９ したがって、 ｎ＝１，６，９ 👉√（10－10）＝０　０は自然数ではない 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.4 ルートの計算 テスト対策② 👉ブログ TOP

２次方程式の虚数解 ２次方程式には、実数解と虚数解があります。判別式Ｄの値が０以上で実数解、０未満で虚数解になります。虚数解は「実部±虚部ｉ」の共役な複素数、または「±虚数ｉ」の純虚数になります。 問題 次の２次方程式を解け。 1）ｘ²＝－４ 2）４ｘ²＋９＝０ 3）（２ｘ－３）²＝－５ 1） ｘ²＝－４ ｘ＝±２ｉ 2） ４ｘ²＋９＝０ ４ｘ²＝－９ ｘ²＝－9/4 ｘ＝±3/2ｉ 3） （２ｘ－３）²＝－５ ２ｘ－３＝±√５ｉ ２ｘ＝３±√５ｉ 　　３±√５ｉ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 問題 次の２次方程式を解け。 1）ｘ²＋ｘ＋５＝０ 2）ｘ²－３ｘ＋９＝０ 3）ｘ²－３ｘ－１＝０ 4）２ｘ²＋４ｘ＋３＝０ 5）－３ｘ²＋２ｘ＋２＝０ 6）ｘ²－√５ｘ＋２＝０ 1） ｘ²＋ｘ＋５＝０ 　　－１±√（1－20） ｘ＝━━━━━━━━ 　　　　　２ 　　－１±√19ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　　２ 2） ｘ²－３ｘ＋９＝０ 　　３±√（９－36） ｘ＝━━━━━━━ 　　　　 ２ 　　３±３√３ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　　２ 3） ｘ²－３ｘ－１＝０ 　　３±√（９＋４） ｘ＝━━━━━━━ 　　　　 ２ 　　３±√13 ｘ＝━━━━ 　　 ２ 4） ２ｘ²＋４ｘ＋３＝０ 　　－２±√（４－６） ｘ＝━━━━━━━━ 　　　　 ２ 　　－２±√２ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　 ２ 5） －３ｘ²＋２ｘ＋２＝０ ３ｘ²－２ｘ－２＝０ 　　１±√（１＋６） ｘ＝━━━━━━━ 　　　　 ３ 　　１±√７ ｘ＝━━━ 　　　３ 6） ｘ²－√５ｘ＋２＝０ 　　√５±√（５－８） ｘ＝━━━━━━━ 　　　　 ２ 　　√５±√３ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　 ２ 問題 次の２次方程式を解け。 1） （ｘ－１）ｘ＋（ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０ 2） ｘ²＝（２ｘ＋１）（ｘ＋２） 3） （1/6）ｘ²－（1/3）ｘ＋（1/4）＝０ 4） 0.1ｘ²＋0.3ｘ＋0.9＝０ 5） （ｘ²＋４）/２＝ｘ＋１ 6） （ｘ²－２）/２＝－（２ｘ＋５）/３ 1） （ｘ－１）ｘ＋（ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０ ｘ²－ｘ＋ｘ²＋３ｘ＋２＝０ ２ｘ²＋２ｘ＋２＝０ ｘ²＋ｘ＋１＝０ 　　－１±√（１－４） ｘ＝━━━━━━━━ 　　　　　２ 　　－１±√３ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　　２ 2） ｘ²＝（２ｘ＋１）（ｘ＋２） ｘ²＝２ｘ²＋５ｘ＋２ ｘ²＋５ｘ＋２＝０ 　　－５±√（25－８） ｘ＝━━━━━━━━ 　　　　　２ 　　－５±√17 ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 3） （1/6）ｘ²－（1/3）ｘ＋（1/4）＝０ ２ｘ²－４ｘ＋３＝０ 　　２±√（４－６） ｘ＝━━━━━━━ 　　　　　２ 　　２±√２ｉ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 4） 0.1ｘ²＋0.3ｘ＋0.9＝０ ｘ²＋３ｘ＋９＝０ 　　－３±√（９－36） ｘ＝━━━━━━━ 　　　　　２ 　　－３±３√３ｉ ｘ＝━━━━━━ 　　　　 ２ 5） （ｘ²＋４）/２＝ｘ＋１ ｘ²＋４＝２ｘ＋２ ｘ²－２ｘ＋２＝０ ｘ＝１±√１－２ 　＝１±ｉ 6） （ｘ²－２）/２＝－（２ｘ＋５）/３ ３ｘ²－６＝－４ｘ－10 ３ｘ²＋４ｘ＋４＝０ 　　－２±√（４－12） ｘ＝━━━━━━━━ 　　　　　 ３ 　　－２±２√２ｉ ｘ＝━━━━━━ 　　　　 ３ 問題 次の２次方程式の解の種類を判別せよ。 1）ｘ²－５ｘ＋５＝０ 2）２ｘ²＋３ｘ＋４＝０ 3）９ｘ²－４ｘ＋１＝０ 4）－３ｘ²－４ｘ＋１＝０ 5）５ｘ²－３ｘ－１＝０ 6）ｘ²＋２√５ｘ＋５＝０ 1） ｘ²－５ｘ＋５＝０ Ｄ＝25－20＝５ Ｄ＞０だから 異なる２つの実数解 2） ２ｘ²＋３ｘ＋４＝０ Ｄ＝９－32＝－23 Ｄ＜０だから 異なる２つの虚数解 3） ９ｘ²－４ｘ＋１＝０ Ｄ/４＝４－９＝－５ Ｄ＜０だから 異なる２つの虚数解 4） －３ｘ²－４ｘ＋１＝０ Ｄ/４＝４＋３＝７ Ｄ＞０だから 異なる２つの実数解 5） ５ｘ²－３ｘ－１＝０ Ｄ＝９＋20＝29 Ｄ＞０だから 異なる２つの実数解 6） ｘ²＋２√５ｘ＋５＝０ Ｄ/４＝５－５＝０ Ｄ＝０だから 実数の重解 問題 ｍは定数とする。次の２次方程式の解の種類を判別せよ。 1）２ｘ²＋５ｘ＋ｍ＝０ 2）ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋２＝０ 1） ２ｘ²＋５ｘ＋ｍ＝０ Ｄ＝25－８ｍ Ｄ＞０のとき 25－８ｍ＞０ ｍ＜25/8のとき、異なる２つの実数解 Ｄ＝０のとき ｍ＝25/8のとき、実数の重解 Ｄ＜０のとき 25－８ｍ＜０ ｍ＞25/8のとき、異なる２つの虚数解 2） ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋２＝０ Ｄ/４＝ｍ²－ｍ－２ Ｄ/４＞０のとき ｍ²－ｍ－２＞０ （ｍ－２）（ｍ＋１）＞０ ｍ＜－１、ｍ＞２のとき、異なる２つの実数解 Ｄ/４＝０のとき ｍ＝２，－１のとき、実数の重解 Ｄ/４＜０のとき －１＜ｍ＜２のとき、異なる２つの虚数解 問題 次の連立方程式を解け。 1） ｘｙ＝６ ｘ＋ｙ＋ｘｙ＝11 2） ｘ＋ｙ＝２ ｘ²＋ｙ²＝10 1） ｘｙ＝６　① ｘ＋ｙ＋ｘｙ＝11　② ①を②に代入 ｘ＋ｙ＋６＝11 ｘ＋ｙ＝５ 和が５、積が６だから 解と係数の関係より ｔの２次方程式 ｔ²－（ｘ＋ｙ）ｔ＋ｘｙ＝０　とする ｔ²－５ｔ＋６＝０ （ｔ－２）（ｔ－３）＝０ ｔ＝２，３ ｘとｙ２つの解は、２と３だから ｘ＝２、ｙ＝３ ｘ＝３、ｙ＝２ 2） ｘ＋ｙ＝２　① ｘ²＋ｙ²＝10　② ②より （ｘ＋ｙ）²－２ｘｙ＝10 ①を代入 ２²－２ｘｙ＝10 －２ｘｙ＝６ ｘｙ＝－３ 和が２、積が－３だから 解と係数の関係より ｔの２次方程式 ｔ²－（ｘ＋ｙ）ｔ＋ｘｙ＝０　とする ｔ²－２ｔ－３＝０ （ｔ－３）（ｔ＋１）＝０ ｔ＝３，－１ ｘとｙ２つの解は、３と－１だから ｘ＝３、ｙ＝－１ ｘ＝－１、ｙ＝３ ※別解 1） ｘｙ＝６　① ｘ＋ｙ＋ｘｙ＝11　② ①を②に代入 ｘ＋ｙ＋６＝11 ｙ＝５－ｘ ①に代入 ｘ（５－ｘ）＝６ －ｘ²＋５ｘ－６＝０ ｘ²－５ｘ＋６＝０ （ｘ－２）（ｘ－３）＝０ ｘ＝２，３ ｘ＝２のとき、①よりｙ＝３ ｘ＝３のとき、①よりｙ＝２ よって、 ｘ＝２、ｙ＝３ ｘ＝３、ｙ＝２ 2） ｘ＋ｙ＝２　① ｘ²＋ｙ²＝10　② ①より ｙ＝２－ｘ ｘ²＋（２－ｘ）²＝10 ｘ²＋４－４ｘ＋ｘ²－10＝０ ２ｘ²－４ｘ－６＝０ ｘ²－２ｘ－３＝０ （ｘ－３）（ｘ＋１）＝０ ｘ＝３，－１ ｘ＝３のとき、①よりｙ＝－１ ｘ＝－１のとき、①よりｙ＝３ よって、 ｘ＝３、ｙ＝－１ ｘ＝－１、ｙ＝３ 問題 解の公式を用いて、次の２次式を因数分解せよ。 1） ｘ²－ｘｙ－２ｙ²＋ｘ＋ｙ 2） ２ｘ²－５ｘｙ＋２ｙ²＋ｘ＋ｙ－１ 1） ｘ²－ｘｙ－２ｙ²＋ｘ＋ｙ ＝ｘ²－（ｙ－１）ｘ－（２ｙ²－ｙ） ｘ²－（ｙ－１）ｘ－（２ｙ²－ｙ）＝０とする 分母　２ 分子 （ｙ－１）±√｛（ｙ－１）²＋４（２ｙ²－ｙ）｝ ＝（ｙ－１）±√（ｙ²－２ｙ＋１＋８ｙ²－４ｙ） ＝（ｙ－１）±√（９ｙ²－６ｙ＋１） ＝（ｙ－１）±√（３ｙ－１）² ＝（ｙ－１）±（３ｙ－１） 　　 （ｙ－１）＋（３ｙ－１） ＝４ｙ－２ 分母の２で割って、ｘ＝２ｙ－１ （ｙ－１）－（３ｙ－１） ＝－２ｙ 分母の２で割って、ｘ＝－ｙ ｘ＝２ｙ－１より ｘ－２ｙ＋１＝０ ｘ＝－ｙより ｘ＋ｙ＝０ よって、 （ｘ＋ｙ）（ｘ－２ｙ＋１） 2） ２ｘ²－５ｘｙ＋２ｙ²＋ｘ＋ｙ－１ ＝２ｘ²－（５ｙ－１）ｘ＋２ｙ²＋ｙ－１ ２ｘ²－（５ｙ－１）ｘ＋２ｙ²＋ｙ－１＝０とする 分母４ 分子 （５ｙ－１）±√｛（５ｙ－１）²－４・２（２ｙ²＋ｙ－１）｝ ＝（５ｙ－１）±√（25ｙ²－10ｙ＋１－16ｙ²－８ｙ＋８） ＝（５ｙ－１）±√（９ｙ²－18ｙ＋９） ＝（５ｙ－１）±√９（ｙ²－２ｙ＋１） ＝（５ｙ－１）±√３²（ｙ－１）² ＝（５ｙ－１）±３（ｙ－１） （５ｙ－１）＋３（ｙ－１） ＝８ｙ－４ 分母の４で割って、ｘ＝２ｙ－１ （５ｙ－１）－３（ｙ－１） ＝２ｙ＋２ 分母の４で割って、 ｘ＝（1/2）ｙ＋（1/2） ｘ＝２ｙ－１より ｘ－２ｙ＋１＝０ ｘ＝（1/2）ｙ＋（1/2） ｘ－（1/2）ｙ－（1/2）＝０ よって、 　　　　　　　　　　　 ｙ　１ ２（ｘ－２ｙ＋１）（ｘ－━－━） 　　　　　　　　　　　 ２　２ ＝（ｘ－２ｙ＋１）（２ｘ－ｙ－１） ３次方程式 問題 次の３次方程式を解け。 1）ｘ³－27＝０ 2）ｘ³＋８＝０ 3）27ｘ³－８＝０ 1） ｘ³－27＝０ ｘ³－３³＝０ （ｘ－３）（ｘ²＋３ｘ＋９）＝０ 解の公式より 　　－３±√－27 ｘ＝━━━━━ 　　　　２ 　　－３±３√３ｉ ｘ＝━━━━━━ 　　　　２ ｘ＝３ 2） ｘ³＋８＝０ ｘ³＋２³＝０ （ｘ＋２）（ｘ²－２ｘ＋４）＝０ 解の公式より ｘ＝１±√－３ よって、 ｘ＝１±√３ｉ，－２ 3） 27ｘ³－８＝０ （３ｘ）³－２³＝０ （３ｘ－２）（９ｘ²＋６ｘ＋４）＝０ 解の公式より 　　－３±√－27 ｘ＝━━━━━ 　　　　９ 　　－３±３√３ｉ ｘ＝━━━━━━ 　　　　９ 　　－１±√３ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　　３ ｘ＝2/3 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.4 ２次方程式の虚数解 👉ブログ TOP

ルートの計算 テスト対策 ７月になりました。当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 中３数学から高校数学にかけて、ルートを使った計算があります。中学数学ではその基本を学習します。ルートの中を簡単にすることや有理化のほか、素因数分解を使わない方法など、計算のしかたにはいろいろな手順があります。 問題 次の数を根号を使わずに表しなさい。 1）√４ 2）√900 3）－√（－12）² 1） √４＝√２²＝２ 2） √900＝√30²＝30 3） －√（－12）²＝－12 問題 次の数を求めなさい。 1）（√５）² 2）（－√10）² 3）－（√４）² 4）－（－√36）² 1） （√５）²＝５ 2） （－√10）²＝10 3） －（√４）²＝－４ 4） －（－√36）²＝－36 問題 次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。 1）√18、√20 2）－√７、－√10 3）－２、－√３、－√５ 1） √18＜√20 2） －√７＞－√10 3） －２、－√３、－√５ －２＝－√４だから －√５＜－２＜－√３ 問題 次の計算をしなさい。 1）（－√７）×√５ 2）（－√27）×（－√３） 3）√24/√８ 4）（－√192）÷√12 1） （－√７）×√５ ＝－√35 2） （－√27）×（－√３） ＝３√３×√３ ＝３×３ ＝９ 3） √24/√８ ＝√３ 4） （－√192）÷√12 ＝－√16 ＝－４ 問題 次の数を√ａの形に表しなさい。 1）２√10 2）３√５ 3）15√２ 1） ２√10 ＝√（２²×10） ＝√40 2） ３√５ ＝√（３²×５） ＝√45 3） 15√２ ＝√（15²×２） ＝√450 問題 次の数をａ√ｂの形に表しなさい。 1）√75 2）√180 3）√567 1） √75 ＝√25×√３ ＝５√３ 2） √180 ＝√36×√５ ＝６√５ 3） √567 ３つの位の和は18👉９の倍数 ＝√81×√７ ＝９√７ 問題 次の数を変形しなさい。 1） ７ √━ 36 2） 　５ √━━ 121 3）√0.06 4）√0.25 1） ７ √━ 36 　 √７ ＝━━ 　 ６ 2） ５ √━━ 121 　 √５ ＝━━ 　 11 3） √0.06 　 √６ ＝━━ 　√100 　 √６ ＝━━ 　 10 4） √0.25 　 √25 ＝━━ 　√100 　 ５ １ ＝━━＝━ 　 10　 ２ 問題 √６＝2.449、√60＝7.746として、次の値を求めなさい。 1）√600 2）√0.006 3）√150 4）√2.4 1） √600 ＝√６×√100 ＝2.449×10 ＝24.49 2） √0.006 ＝√６÷√1000 ＝√60÷√10000 ＝7.746÷100 ＝0.07746 3） √150 ＝√６×√25 ＝2.449×５ ＝12.245 4） √2.4 ＝√24÷√10 ＝√240÷√100 ＝√60×√４÷√100 ＝7.746×２÷10 ＝1.5492 問題 次の数の分母を有理化しなさい。 1） ７ ━━ √６ 2） ７ ━━ √７ 3） √５ ━━━ ３√３ 4） ４√２ ━━━ √24 1） ７　 √６ ━━×━━ √６　 √６ 　 ７√６ ＝━━━ 　　６ 2） ７　 √７ ━━×━━ √７　 √７ 　 ７√７ ＝━━━ 　　７ ＝√７ 3） √５　 √３ ━━━×━━ ３√３　 √３ √15 ＝━━ 　 ９ 4） ４√２ ━━━ √24 　 ４ ＝━━ 　 √12 　　４　　√３ ＝━━━×━━ 　２√３　 √３ 　 ２√３ ＝━━━ 　　３ 問題 次の計算をしなさい。 1）√12×√45 2）３√５×２√10 3）√80×√５ 4）√48×√30 5）（－√24）×√75 1） √12×√45 ＝２√３×３√５ ＝６√15 2） ３√５×２√10 ＝３√５×２√５×√２ ＝30√２ 3） √80×√５ ＝４√５×√５ ＝20 4） √48×√30 ＝４√３×√３×√10 ＝12√10 5） （－√24）×√75 ＝－２√６×５√３ ＝－２√２×√３×５√３ ＝－30√２ 問題 次の計算をしなさい。 1）√28÷√３ 2）（－√24）÷（－√40） 3） √45　 √10 ━━ ÷ ━━ ２　　４ 1） √28÷√３ 　 ２√７　 √３ ＝━━━×━━ 　 √３　 √３ 　 ２√21 ＝━━━ 　　３ 2） （－√24）÷（－√40） 　√24 ＝━━ 　√40 　 √３　 √５ ＝━━×━━ 　 √５　 √５ 　 √15 ＝━━ 　 ５ 3） √45　 √10 ━━ ÷ ━━ ２　　４ 　３√５　 ４ ＝━━━ × ━━ 　 ２　 √10 　 ３　 ２ ＝━━×━━ 　 １　 √２ 　 ６　 √２ ＝━━×━━ 　 √２　 √２ ＝３√２ 問題 次の計算をしなさい。 1）√12×√10 2）√８×√18 3）√14×√21 4）（－√６）×√30 5）３√３×２√６ 6）√45×√85 7）√80×√15 8）√18×（－√54） 1） √12×√10 ＝２√３×√10 ＝２√30 2） √８×√18 ＝２√２×３√２ ＝12 3） √14×√21 ＝√２×√７×√７×√３ ＝７√６ 4） （－√６）×√30 ＝－√６×√６×√５ ＝－６√５ 5） ３√３×２√６ ＝６√18 ＝６×３√２ ＝18√２ 6） √45×√85 ＝３√５×√５×√17 ＝15√17 7） √80×√15 ＝４√５×√５×√３ ＝20√３ 8） √18×（－√54） ＝３√２×（－３√６） ＝－９√12 ＝－９×２√３ ＝－18√３ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.3 ルートの計算 テスト対策 👉ブログ TOP