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２次方程式 高校数学Ⅰ ２次方程式の解き方には、因数分解、平方完成、解の公式があります。方程式に実数解があるかどうかは、解の公式を応用した判別式Ｄで確かめます。解の公式や判別式では、偶数公式も利用すると計算手順を簡単にできます。 問題 次の２次方程式を解け。 1）ｘ（ｘ－９）＝０ 2）ｘ²－５ｘ＋４＝０ 3）ｘ²－４ｘ＝０ 4）２ｘ²－ｘ－１＝０ 5）４ｘ²＋７ｘ－２＝０ 6）８ｘ²＋２ｘ－３＝０ 1） ｘ（ｘ－９）＝０ ｘ＝０，９ 2） ｘ²－５ｘ＋４＝０ （ｘ－１）（ｘ－４）＝０ ｘ＝１，４ 3） ｘ²－４ｘ＝０ ｘ（ｘ－４）＝０ ｘ＝０，４ 4） ２ｘ²－ｘ－１＝０ ２　　１　　１ 　× １　－１　－２ 　　　　　－１ （２ｘ＋１）（ｘ－１）＝０ ｘ＝－1/2，１ 5） ４ｘ²＋７ｘ－２＝０ ４　－１　－１ 　× １　　２　　８ 　　　　　＋７ （４ｘ－１）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝1/4，－２ 6） ８ｘ²＋２ｘ－３＝０ ４　　３　　６ 　× ２　－１　－４ 　　　　　＋２ （４ｘ＋３）（２ｘ－１）＝０ ｘ＝－3/4，1/2 問題 次の２次方程式を解け。 1）16ｘ²＝25 2）４ｘ²－１＝０ 3）（２ｘ＋５）²－７＝０ 1） 16ｘ²＝25 （４ｘ）²＝５² ４ｘ＝±５ ｘ＝±5/4 2） ４ｘ²－１＝０ （２ｘ＋１）（２ｘ－１）＝０ ｘ＝±1/2 3） （２ｘ＋５）²－７＝０ （２ｘ＋５）²＝７ ２ｘ＋５＝±√７ ２ｘ＝－５±√７ 　　－５±√７ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 問題 次の２次方程式を解け。 1）ｘ²＋５ｘ＋５＝０ 2）２ｘ²－５ｘ－１＝０ 3）ｘ²＋２ｘ－４＝０ 4）３ｘ²＋６ｘ＋２＝０ 5）９ｘ²＋12ｘ＋４＝０ 6）ｘ²＋２√２ｘ－３＝０ 1） ｘ²＋５ｘ＋５＝０ 　　－５±√（25－20） ｘ＝━━━━━━━━ 　　　　　２ 　　－５±√５ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 2） ２ｘ²－５ｘ－１＝０ 　　５±√（25＋８） ｘ＝━━━━━━━ 　　　　 ４ 　　５±√33 ｘ＝━━━━ 　　　 ４ 3） ｘ²＋２ｘ－４＝０ ｘ＝－１±√（１＋４） ｘ＝－１±√５ 4） ３ｘ²＋６ｘ＋２＝０ 　　－３±√（９－６） ｘ＝━━━━━━━━ 　　　　 ３ 　　－３±√３ ｘ＝━━━━ 　　　 ３ 5） ９ｘ²＋12ｘ＋４＝０ （３ｘ＋２）²＝０ ｘ＝－2/3 6） ｘ²＋２√２ｘ－３＝０ ｘ＝－√２±√（２＋３） ｘ＝－√２±√５ 問題 次の２次方程式を解け。 1） ２ｘ²－３ｘ＝ｘ²－２ 2） （ｘ＋４）（ｘ＋５）＝３（ｘ＋１）（ｘ＋２）－４ 3） １　　 １　　 ３ ━ｘ²＋━ｘ－━＝０ ６　　 ４　　 ４ 4） （ｘ－２）²＋２（ｘ－２）－３＝０ 5） （ｘ－１）²＋３（ｘ－１）－１＝０ 1） ２ｘ²－３ｘ＝ｘ²－２ ｘ²－３ｘ＋２＝０ （ｘ－１）（ｘ－２）＝０ ｘ＝１，２ 2） （ｘ＋４）（ｘ＋５）＝３（ｘ＋１）（ｘ＋２）－４ ｘ²＋９ｘ＋20＝３ｘ²＋９ｘ＋６－４ ２ｘ²＝18 ｘ²＝９ ｘ＝±３ 3） １　　 １　　 ３ ━ｘ²＋━ｘ－━＝０ ６　　 ４　　 ４ ２ｘ²＋３ｘ－９＝０ ２　－３　－３ 　×　　　 １　　３　　６ 　　　　　＋３ （２ｘ－３）（ｘ＋３）＝０ ｘ＝3/2，－３ 4） （ｘ－２）²＋２（ｘ－２）－３＝０ ｘ－２＝Ａ Ａ²＋２Ａ－３＝０ （Ａ＋３）（Ａ－１）＝０ （ｘ－２＋３）（ｘ－２－１）＝０ （ｘ＋１）（ｘ－３）＝０ ｘ＝－１，３ 5） （ｘ－１）²＋３（ｘ－１）－１＝０ ｘ－１＝Ａ Ａ²＋３Ａ－１＝０ 　　－３±√13 Ａ＝━━━━ 　　　 ２ 　　　　－３±√13 ｘ－１＝━━━━ 　　　 　　２ 　　－１±√13 ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 問題 次の２次方程式の実数解の個数を求めよ。 1）ｘ²＋４ｘ＋１＝０ 2）ｘ²＋２ｘ－１＝０ 3）６ｘ²－７ｘ＋３＝０ 4）９ｘ²＋24ｘ＋16＝０ 5）２ｘ²－３ｘ＋２＝０ 6） ３ ━ｘ²－√３ｘ＋１＝０ ４ 1） ｘ²＋４ｘ＋１＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝４－１＝３ Ｄ＞０より、２個 2） ｘ²＋２ｘ－１＝０ Ｄ/４＝１＋１＝２ Ｄ＞０より、２個 3） ６ｘ²－７ｘ＋３＝０ Ｄ＝49－72＝－23 Ｄ＜０より、０個 4） ９ｘ²＋24ｘ＋16＝０ （３ｘ＋４）²＝０ 重解となるから、１個 5） ２ｘ²－３ｘ＋２＝０ Ｄ＝９－16＝－７ Ｄ＜０より、０個 6） ３ ━ｘ²－√３ｘ＋１＝０ ４ ３ｘ²－４√３ｘ＋４＝０ Ｄ/４＝12－12＝０ Ｄ＝０より、１個 ※ ３ｘ²－４√３ｘ＋４＝０ （√３ｘ）²－√３ｘ・２・２＋（－２）²＝０ （√３ｘ－２）²＝０ 問題 次の２次方程式の解がそれぞれ［　］内の条件を満たすとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 1） ｘ²＋４ｘ＋ｍ＝０ ［異なる２つの実数解をもつ］ 2） ３ｘ²－ｘ＋ｍ＝０ ［実数解をもたない］ 3） ２ｘ²＋ｘ－ｍ＋１＝０ ［実数解をもつ］ 1） ｘ²＋４ｘ＋ｍ＝０ ［異なる２つの実数解をもつ］ Ｄ/４＝４－ｍ Ｄ＞０より ４－ｍ＞０ ｍ＜４ 2） ３ｘ²－ｘ＋ｍ＝０ ［実数解をもたない］ Ｄ＝１－12ｍ Ｄ＜０より １－12ｍ＜０ ｍ＞1/12 3） ２ｘ²＋ｘ－ｍ＋１＝０ ［実数解をもつ］ Ｄ＝１＋８ｍ－４ 　＝８ｍ－３ Ｄ≧０より ８ｍ－３≧０ ｍ≧3/8 問題 次の２次方程式が重解をもつとき、定数ｍの値を求めよ。また、そのときの重解を求めよ。 1） ｘ²＋２ｘ＋ｍ－３＝０ 2） ｘ²＋４ｍｘ＋25＝０ 3） ４ｘ²＋（ｍ＋２）ｘ＋ｍ－１＝０ 1） ｘ²＋２ｘ＋ｍ－３＝０ Ｄ/４＝１－ｍ＋３ ＝４－ｍ Ｄ＝０より ４－ｍ＝０　ｍ＝４ ｍ＝４のとき ｘ²＋２ｘ＋１＝０ （ｘ＋１）²＝０ ｘ＝－１ よって、 ｍ＝４、重解ｘ＝－１ 2） ｘ²＋４ｍｘ＋25＝０ Ｄ/４＝４ｍ²－25 Ｄ＝０より ４ｍ²－25＝０ （２ｍ＋５）（２ｍ－５）＝０ ｍ＝±5/2 ｍ＝5/2のとき ｘ²＋10ｘ＋25＝０ （ｘ＋５）²＝０ ｘ＝－５ ｍ＝－5/2のとき ｘ²－10ｘ＋25＝０ （ｘ－５）²＝０ ｘ＝５ よって、 ｍ＝5/2のとき、重解ｘ＝－５ ｍ＝－5/2のとき、重解ｘ＝５ 3） ４ｘ²＋（ｍ＋２）ｘ＋ｍ－１＝０ Ｄ＝（ｍ＋２）²－16（ｍ－１） ＝ｍ²＋４ｍ＋４－16ｍ＋16 ＝ｍ²－12ｍ＋20 Ｄ＝０より ｍ²－12ｍ＋20＝０ （ｍ－２）（ｍ－10）＝０ ｍ＝２，10 ｍ＝２のとき ４ｘ²＋４ｘ＋１＝０ （２ｘ＋１）²＝０ ｘ＝－1/2 ｍ＝10のとき ４ｘ²＋12ｘ＋９＝０ （２ｘ＋３）²＝０ ｘ＝－3/2 よって、 ｍ＝２のとき、重解ｘ＝－1/2 ｍ＝10のとき、重解ｘ＝－3/2 問題 次の２次方程式がそれぞれ［　］内の解をもつとき、定数ｍの値を求めよ。また、そのときの他の解も求めよ。 1） ｘ²＋ｍｘ－ｍ＋３＝０ ［ｘ＝５］ 2） ３ｘ²－２ｍｘ－ｍ²＝０ ［ｘ＝１］ 3） ｘ²－３（ｍ＋１）ｘ＋ｍ²－２＝０ ［ｘ＝－１］ 1） ｘ²＋ｍｘ－ｍ＋３＝０ ［ｘ＝５］ ｘ＝５を代入 25＋５ｍ－ｍ＋３＝０ ４ｍ＝－28 ｍ＝－７ このとき、 ｘ²－７ｘ＋10＝０ （ｘ－２）（ｘ－５）＝０ ｘ＝２，５ よって、 ｍ＝－７、他の解ｘ＝２ 2） ３ｘ²－２ｍｘ－ｍ²＝０ ［ｘ＝１］ ｘ＝１を代入 ３－２ｍ－ｍ²＝０ ｍ²＋２ｍ－３＝０ （ｍ＋３）（ｍ－１）＝０ ｍ＝－３，１ ｍ＝－３のとき ３ｘ²＋６ｘ－９＝０ ｘ²＋２ｘ－３＝０ （ｘ＋３）（ｘ－１）＝０ ｘ＝－３，１ ｍ＝１のとき ３ｘ²－２ｘ－１＝０ ３　　１　　１ 　× １　－１　－３ 　　　　　－２ （３ｘ＋１）（ｘ－１）＝０ ｘ＝－1/3，１ よって、 ｍ＝－３のとき、他の解ｘ＝－３ ｍ＝１のとき、他の解ｘ＝－1/3 3） ｘ²－３（ｍ＋１）ｘ＋ｍ²－２＝０ ［ｘ＝－１］ ｘ＝－１を代入 １＋３ｍ＋３＋ｍ²－２＝０ ｍ²＋３ｍ＋２＝０ （ｍ＋１）（ｍ＋２）＝０ ｍ＝－１，－２ ｍ＝－１のとき ｘ²－１＝０　ｘ＝±１ ｍ＝－２のとき ｘ²＋３ｘ＋２＝０ （ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝－１，－２ よって、 ｍ＝－１のとき、他の解ｘ＝１ ｍ＝－２のとき、他の解ｘ＝－２ 問題 ２次方程式ｘ²＋ａｘ＋ａ－ｂ＝０の解が－２と３であるとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。 ｘ＝－２を代入 ４－２ａ＋ａ－ｂ＝０ －ａ－ｂ＝－４ ａ＋ｂ＝４　① ｘ＝３を代入 ９＋３ａ＋ａ－ｂ＝０ ４ａ－ｂ＝－９　② ①＋②より ５ａ＝－５ ａ＝－１ ①に代入 －１＋ｂ＝４ ｂ＝５ よって、 ａ＝－１、ｂ＝５ ※解と係数の関係（高校数学Ⅱ） ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０ 解の和　－ｂ/ａ 解の積　ｃ/ａ ｘ²＋ａｘ＋ａ－ｂ＝０ ２つの解が－２と３ 和　－ａ/１＝－２＋３ －ａ＝１ ａ＝－１ 積　（ａ－ｂ）/１＝－２・３ ａ－ｂ＝－６ －１－ｂ＝－６ ｂ＝５ 問題 ２次方程式ｘ²－２ｘ－１＝０の２つの解のうちの大きい方をａとするとき、２ａ²－３ａ＋１の値を求めよ。 ｘ²－２ｘ－１＝０ ｘ＝１±√２ よって、 ａ＝１＋√２ ｘ²－２ｘ－１＝０に ｘ＝ａを代入 ａ²－２ａ－１＝０ ａ²＝２ａ＋１ これを２ａ²－３ａ＋１に代入 ２（２ａ＋１）－３ａ＋１ ＝４ａ＋２－３ａ＋１ ＝ａ＋３ ＝１＋√２＋３ ＝４＋√２ ※別解 ｘ²－２ｘ－１＝０ ｘ＝１±√２ よって、 ａ＝１＋√２ ２ａ²－３ａ＋１ ２　－１　－１ 　× １　－１　－２ 　　　　　－３ （２ａ－１）（ａ－１） ＝（２＋２√２－１）（１＋√２－１） ＝√２（２√２＋１） ＝４＋√２ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.4.6 ２次方程式 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平方根 テスト対策 １学期も後半に入り、中高生はテスト対策を進めています。 平方根は「２乗する前の数」で、１つの数に対して「正負の２つ」あり、例えば４の平方根は±２になります。５の平方根のように整数で表せない数には、ルートをつけて±√５と表します。 問題 次の条件にあてはまる自然数ａの値を求めなさい。 【条件】 ・ａは奇数である ・ａの正のほうの平方根は４以上５以下である ・ａを５でわったときの余りは４である ａの正のほうの平方根は√ａ よって、 ４≦√ａ≦５ それぞれを２乗して 16≦ａ≦25 このうち奇数は、17,19,21,23,25 19÷５＝３あまり４だから ａ＝19 問題 次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。 1）－６，－√40 2）－0.5，－√0.5 3）２，√３，√５ 4）－７，－√47，－√51 1） －６＝－√36 よって、 －√40＜－６ 2） －0.5＝－√0.25 よって、 －√0.5＜－0.5 3） ２＝√４ よって、 √３＜２＜√５ 4） －７＝－√49 よって、 －√51＜－７＜－√47 問題 ５＜√ｎ＜６をみたす自然数ｎの個数を求めなさい。 ５＝√25、６＝√36だから √25＜√ｎ＜√36 26以上35以下の自然数だから 求める個数は （35－26）＋１＝10個 問題 次の数は有理数、無理数のどちらか答えなさい。 1）√144 2）π 3）√0.7 4）－√0.09 5）√（1/16） 6）－√23 1） √144 ＝√12² ＝12　有理数 2） π＝3.141516... 無理数 3） √0.7　無理数 4） －√0.09 ＝－√0.3² ＝－0.3　有理数 5） √（1/16） ＝√（1/4）² ＝1/4　有理数 6） －√23　無理数 問題 次の分数を小数で表すと、有限小数、無限小数のどちらになるか答えなさい。 1）3/8 2）5/6 1） 3/8 ＝３÷８ ＝0.375　有限小数 2） 5/6 ＝５÷６ ＝0.8333...　無限小数 問題 14/111を小数で表すと循環小数になる。小数第20位の数を求めなさい。 14÷111 ＝0.126126... 小数の位から「126」をくり返す 20÷３＝６あまり２ 小数18位までに、「126」が６セットあるから 小数20位は、２ ※循環小数の表し方 0.126126... 　　 ・　・ ＝０.１２６ 👉くり返す数列の初めと終わりに点をつける 0.8333... 　　　 ・ ＝０.８３ 👉同じ数が続く場合は初めに点をつける 問題 次の計算をしなさい。 1）√６×√７ 2）（－√２）×√３ 3）√27×√３ 4）√24/√６ 5）√35÷（－√７） 1） √６×√７ ＝√42 2） （－√２）×√３ ＝－√６ 3） √27×√３ ＝３√３×√３ ＝３×３ ＝９ 4） √24/√６ ＝２√６/√６ ＝２ 5） √35÷（－√７） ＝－√５ 問題 次の数を√ａの形に表しなさい。 1）２√６ 2）３√５ 外を２乗して中にかける 1） ２√６ ＝√（２²×６） ＝√24 2） ３√５ ＝√（３²×５） ＝√45 問題 次の数をａ√ｂの形に表しなさい。 1）√20 2）√75 ２乗の数を外に出す 1） √20 ＝√（２²×５） ＝２√５ 2） √75 ＝√５²×３ ＝５√３ 問題 次の数を√ａ/ｂの形に表しなさい。 1）√（5/4） 2）√0.06 1） √（5/4） ＝√５/√４ ＝√５/２ 2） √0.06 ＝√６/√100 ＝√６/10 問題 次の計算をしなさい。 1）√７×√11 2）（－√32）×√２ 3）√84/√12 4）√56÷（－√２）÷√14 1） √７×√11 ＝√77 2） （－√32）×√２ ＝－４√２×√２ ＝－４×２ ＝－８ 3） √84/√12 ＝√７ 4） √56÷（－√２）÷√14 ＝－√28÷√14 ＝－√２ 問題 次の数を√ａの形に表しなさい。 1）４√２ 2）７√３ 1） ４√２ ＝√（16×２） ＝√32 2） ７√３ ＝√（49×３） ＝√147 問題 次の数をａ√ｂの形に表しなさい。 1）√125 2）√176 1） √125 ＝√（５²×５） ＝５√５ 2） √176 ＝√（４²×11） ＝４√11 問題 次の数を√ａ/ｂやａ/ｂの形に表しなさい。 1）√（5/81） 2）√0.49 1） √（5/81） ＝√５/√81 ＝√５/９ 2） √0.49 ＝√49/√100 ＝７/10 問題 ａ、ｂ、ｃは正の整数で、１≦ｂ≦９、√ａｂ＝ｃ√ａが成り立つとき、考えられるｃの値をすべて求めなさい。 √ａｂ＝ｃ√ａ より √ａｂ＝√ａｃ² 両辺を２乗して ａｂ＝ａｃ² ａは正の整数（ａ＞０）だから　※ ｂ＝ｃ² １≦ｂ≦９だから １＝１² ４＝２² ９＝３² よって、 ｃ＝１，２，３ ※文字係数は「≠０」のときに割れる ａｂ＝ａｃ² ａが０の場合は、０で割れないので、下の式は成り立たない。 ｂ　ｃ² ━＝━ ０　０ 問題 √６＝2.449、√60＝7.746として、次の値を求めなさい。 1）√600 2）√6000 3）√0.06 4）√24 1） √600 ＝√６×√100 ＝√６×10 ＝2.449×10 ＝24.49 2） √6000 ＝√60×√100 ＝7.746×10 ＝77.46 3） √0.06 ＝√６×√0.01 ＝√６×0.1 ＝2.449×0.1 ＝0.2449 4） √24 ＝√６×√４ ＝√６×２ ＝2.449×２ ＝4.898 問題 次の数の分母を有理化しなさい。 1）１/√６ 2）√５/√２ 3）７/２√７ 4）４/√12 5）３/√５ 6）√３/√８ 有理化👉「×１」をする 1） １/√６ ＝（１/√６）×（√６/√６） ＝√６/６ 2） √５/√２ ＝（√５/√２）×（√２/√２） ＝√10/２ 3） ７/２√７ ＝（７/２√７）×（√７/√７） ＝７√７/14 ＝√７/２ 4） ４/√12 ＝（４/２√３）×（√３/√３） ＝４√３/６ ＝２√３/３ 5） ３/√５ ＝（３/√５）×（√５/√５） ＝３√５/５ 6） √３/√８ ＝（√３/２√２）×（√２/√２） ＝√６/４ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.26 平方根 テスト対策 👉ブログ TOP

絶対値を含む不等式 絶対値を含む不等式では、絶対値記号の中が「正か０」または「負」になる場合に分けて考えることから始めます。この場合分けではｘの範囲の「共通部分」を考え、最終的に解を求めるときにはｘの範囲の「和集合」を考えます。 問題 次の不等式を解け。 1） ２｜ｘ＋４｜＜ｘ＋10 2） ３｜ｘ＋１｜≧ｘ＋５ 1） ２｜ｘ＋４｜＜ｘ＋10 ｘ＋４≧０ すなわち　ｘ≧－４のとき ２（ｘ＋４）＜ｘ＋10 ２ｘ＋８＜ｘ＋10 ｘ＜２ よって、 －４≦ｘ＜２　① ｘ＋４＜０ すなわち　ｘ＜－４のとき －２（ｘ＋４）＜ｘ＋10 －２ｘ－８＜ｘ＋10 －３ｘ＜18 ｘ＞－６ よって、 －６＜ｘ＜－４　② ①、②より －６＜ｘ＜２ 2） ３｜ｘ＋１｜≧ｘ＋５ ｘ＋１≧０ すなわち　ｘ≧－１のとき ３（ｘ＋１）≧ｘ＋５ ３ｘ＋３≧ｘ＋５ ２ｘ≧２ ｘ≧１ よって、 ｘ≧１　① ｘ＋１＜０ すなわち　ｘ＜－１のとき －３（ｘ＋１）≧ｘ＋５ －３ｘ－３≧ｘ＋５ －４ｘ≧８ ｘ≦－２ よって、 ｘ≦－２　② ①、②より ｘ≦－２、ｘ≧１ 問題 次の不等式を解け。 1） ｜２ｘ｜＋｜ｘ－５｜≧８ 2） ｜ｘ＋２｜＋｜２ｘ－３｜＜10 1） ｜２ｘ｜＋｜ｘ－５｜≧８ ２ｘ≧０、ｘ－５≧０ ｘ≧０、ｘ≧５ すなわち、ｘ≧５のとき ２ｘ＋ｘ－５≧８ ３ｘ≧13 ｘ≧13/3 よって、 ｘ≧５　① ２ｘ≧０、ｘ－５＜０ ｘ≧０、ｘ＜５ すなわち、０≦ｘ＜５のとき ２ｘ－（ｘ－５）≧８ ２ｘ－ｘ＋５≧８ ｘ≧３ よって、 ３≦ｘ＜５　② ２ｘ＜０、ｘ－５＜０ ｘ＜０、ｘ＜５ すなわち　ｘ＜０のとき －２ｘ－（ｘ－５）≧８ －２ｘ－ｘ＋５≧８ －３ｘ≧３ ｘ≦－１ よって、 ｘ≦－１　③ ①、②、③より ｘ≦－１、ｘ≧３ 2） ｜ｘ＋２｜＋｜２ｘ－３｜＜10 ｘ＋２≧０、２ｘ－３≧０ ｘ≧－２、ｘ≧3/2 すなわち、ｘ≧3/2のとき ｘ＋２＋２ｘ－３＜10 ３ｘ＜11 ｘ＜11/3 よって、 3/2≦ｘ＜11/3　① ｘ＋２≧０、２ｘ－３＜０ ｘ≧－２、ｘ＜3/2 すなわち －２≦ｘ＜3/2のとき ｘ＋２－（２ｘ－３）＜10 ｘ＋２－２ｘ＋３＜10 －ｘ＜５ ｘ＞－５ よって、 －２≦ｘ＜3/2　② ｘ＋２＜０、２ｘ－３＜０ ｘ＜－２、ｘ＜3/2 すなわち、ｘ＜－２のとき －（ｘ＋２）－（２ｘ－３）＜10 －ｘ－２－２ｘ＋３＜10 －３ｘ＜９ ｘ＞－３ よって、 －３＜ｘ＜－２　③ ①、②、③より －３＜ｘ＜11/3 問題 連立不等式 ｘ＜６　① ２ｘ＋３≧ｘ＋ａ　② の解について、次の条件を満たす定数ａの値の範囲を求めよ。 1）解をもつ。 2）解に整数がちょうど２個含まれる。 1） ②より ２ｘ＋３≧ｘ＋ａ ｘ≧ａ－３　②’ ①、②’より ａ－３≦ｘ＜６ （ａ－３）が６よりも小さいときだから ａ－３＜６ ａ＜９ 2） ｘ＜６より ｘ＝４，５が含まれるときだから ３＜ａ－３≦４　※ よって、 ６＜ａ≦７ ※ ａ－３＝３のとき ３≦ｘ＜６ ｘ＝３，４，５の３つで不適 ａ－３＝４のとき ４≦ｘ＜６ ｘ＝４，５の２つ 問題 連立不等式 ３ｘ－７≦５ｘ－３　① ２ｘ－６＜３ａ－ｘ　② の解について、次の条件を満たす定数ａの値の範囲を求めよ。 1）解をもつ。 2）解に整数がちょうど３個含まれる。 1） ①より ３ｘ－７≦５ｘ－３ －２ｘ≦４ ｘ≧－２ ②より ２ｘ－６＜３ａ－ｘ ３ｘ＜３ａ＋６ ｘ＜ａ＋２ ｘ≧－２だから －２＜ａ＋２ ａ＞－４ 2） ｘ≧－２、ｘ＜ａ＋２より －２≦ｘ＜ａ＋２ 解は ｘ＝－２，－１，０ ０＜ａ＋２≦１だから －２＜ａ≦－１ ａ＋２≦０のとき 👉ｘ＝０を含まず、整数が２個以下になる。 ａ＋２＞１のとき 👉ｘ＝１を含み、整数が４個以上になる。 ａ＋２＝１のとき 👉ｘ＜１となり、整数がちょうど３個になる。 問題 連立不等式 ｘ＞３ａ＋１　① ２ｘ－１＞６（ｘ－２）　② の解について、次の条件を満たす定数ａの値の範囲を求めよ。 1）解が存在しない。 2）解に２が含まれる。 3）解に含まれる整数が３つだけとなる。 1） ②より ２ｘ－１＞６（ｘ－２） ２ｘ－１＞６ｘ－12 －４ｘ＞－11 ｘ＜11/4 ①より ３ａ＋１＜ｘ＜11/4 ３ａ＋１≧11/4となるから ３ａ≧7/4 ａ≧7/12 2） ｘ＝２は、ｘ＜11/4 ②に含まれる ①にも含まれるから ３ａ＋１＜２ ３ａ＜１ ａ＜1/3 3） ｘ＜11/4 より 満たす整数はｘ＝０，１，２ よって、 －１≦３ａ＋１＜０ －２≦３ａ＜－１ －2/3≦ａ＜－1/3 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.26 絶対値を含む不等式 👉ブログ TOP

文字式の計算 テスト対策 １学期も後半に入り、中高生は期末テスト対策を進めています。数学の文字式では、分配法則や除法（割り算）の計算と、文章題からの式の作り方がポイントになります。 問題 次の計算をしなさい。 1） （２ｘ²－６ｘ）－（３ｘ²－ｘ＋１） 2） （12ｘ－８ｙ）÷（－４） 3） ５（ｘ＋２ｙ）－３（２ｘ－３ｙ） 4） （－２ａ）²×３ａ 5） 　　　　１ ２ｘ²ｙ÷━ｘｙ 　　　　２ 6） 18ｘ²ｙ÷（－２ｙ）÷３ｘ 1） （２ｘ²－６ｘ）－（３ｘ²－ｘ＋１） ＝２ｘ²－６ｘ－３ｘ²＋ｘ－１ ＝－ｘ²－５ｘ－１ 2） （12ｘ－８ｙ）÷（－４） ＝－３ｘ＋２ｙ 3） ５（ｘ＋２ｙ）－３（２ｘ－３ｙ） ＝５ｘ＋10ｙ－６ｘ＋９ｙ ＝－ｘ＋19ｙ 4） （－２ａ）²×３ａ ＝４ａ²×３ａ ＝12ａ³ 5） 　　　　１ ２ｘ²ｙ÷━ｘｙ 　　　　２ 　　　　　 ２ ＝２ｘ²ｙ×━━ 　　　　　ｘｙ ＝４ｘ 6） 18ｘ²ｙ÷（－２ｙ）÷３ｘ ＝－９ｘ²÷３ｘ ＝－３ｘ 問題 ｘ＝1/5、ｙ＝７のとき、 ｘ＋ｙ　ｘ－ｙ ━━━＋━━━ 　３　　　２ の値を求めなさい。 ２（ｘ＋ｙ）＋３（ｘ－ｙ） ━━━━━━━━━━━━━ 　　　　　　６ 　２ｘ＋２ｙ＋３ｘ－３ｙ ＝━━━━━━━━━━━ 　　　　　　６ 　５ｘ－ｙ ＝━━━━ 　　 ６ 　　　　　　　 １ ＝（５ｘ－ｙ）× ━ 　　　　　　　 ６ 　　　　１　　　 １ ＝（５× ━－７）×━ 　　　　５　　　 ６ 　　　 １ ＝－６×━ 　　　 ６ ＝－１ 問題 等式２ａ－ｂ＝３をｂについて解きなさい。 ２ａ－ｂ＝３ －ｂ＝３－２ａ 両辺×（－１） ｂ＝－３＋２ａ 問題 奇数と奇数の差は偶数になることを説明しなさい。 〔説明〕 ｍ、ｎを整数とすると、２つの奇数は、 ２ｍ＋１、２ｎ＋１と表せる。 この２数の差は （２ｍ＋１）－（２ｎ＋１） ＝２ｍ＋２ｎ ＝２（ｍ＋ｎ） ｍ＋ｎは整数だから、２（ｍ＋ｎ）は偶数である。 問題 底面の半径がｒcm、高さがｈcmの円柱Ｐと、底面の半径はＰの底面の半径の２倍で、高さはＰの1/2の円柱Ｑがある。円柱Ｑの体積は円柱Ｐの体積の何倍ですか。 Ｐの体積 底面積×高さ ＝πｒ²×ｈ ＝πｒ²ｈ（cm²） Ｑの半径　２ｒ Ｑの高さ　（1/2）ｈ 円柱Ｑの体積 π×（２ｒ）²×（1/2）ｈ ＝２πｒ²ｈ（cm²） Ｑの体積÷Ｐの体積 ２πｒ²ｈ÷πｒ²ｈ＝２ よって、２倍 問題 横の長さが縦の長さの３倍である長方形の紙がある。この紙８枚を、下の図のように重なりなく並べたとき、紙で囲まれた内側の四角形の面積が２番目に大きいのはどれですか。 長さを縦ａ、横３ａとする ア 縦　６ａ－ａ＝５ａ 横　６ａ－ａ＝５ａ 面積　（５ａ）²＝25ａ² イ 縦　３ａ－ａ＝２ａ 横　９ａ－ａ＝８ａ 面積　２ａ×８ａ＝16ａ² ウ 縦　３ａ 横　９ａ－ａ×２＝７ａ 面積　３ａ×７ａ＝21ａ² エ 縦　６ａ－ａ×２＝４ａ 横　３ａ×２＝６ａ 面積　４ａ×６ａ＝24ａ² よって、エ 問題 一の位の数字が０でない３けたの自然数がある。この自然数から、百の位の数字と一の位の数字を入れかえた数をひくと、答えは99の倍数になる。このことを、はじめに考えた数の百の位をａ、十の位をｂ、一の位をｃとして説明しなさい。 〔説明〕 はじめの数は、100ａ＋10ｂ＋ｃ 百の位と一の位の数を入れかえた数は、100ｃ＋10ｂ＋ｃと表せる。 はじめの数から入れかえた数をひくと （100ａ＋10ｂ＋ｃ）－（100ｃ＋10ｂ＋ａ） ＝99ａ－99ｃ ＝99（ａ－ｃ） ａ－ｃは整数だから、99（ａ－ｃ）は99の倍数である。 したがって、 ３けたの自然数から、その百の位の数字と一の位の数字を入れかえた数をひくと、答えは99の倍数になる。 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.25 文字式の計算 テスト対策 👉ブログ TOP

高次方程式 練習問題 ３次式や４次式の高次方程式では、組立除法による因数分解を利用して解を求めます。２次式に分解されたときには、解の公式などを利用して実数解や虚数解を求めます。 問題 次の４次方程式を解け。 1）ｘ⁴－５ｘ²＋４＝０ 2）ｘ⁴－16＝０ 3）ｘ⁴＋ｘ²－30＝０ 1） ｘ⁴－５ｘ²＋４＝０ ｘ²＝Ａ Ａ²－５Ａ＋４＝０ （Ａ－１）（Ａ－４）＝０ （ｘ²－１）（ｘ²－４）＝０ ｘ＝±１，±２ 2） ｘ⁴－16＝０ ｘ²＝Ａ Ａ²－16＝０ （Ａ＋４）（Ａ－４）＝０ （ｘ²＋４）（ｘ²－４）＝０ ｘ²＋４＝０ ｘ²＝－４ ｘ＝±２ｉ ｘ²－４＝０ ｘ²＝４ ｘ＝±２ よって、 ｘ＝±２ｉ，±２ 3） ｘ⁴＋ｘ²－30＝０ ｘ²＝Ａ Ａ²＋Ａ－30＝０ （Ａ＋６）（Ａ－５）＝０ （ｘ²＋６）（ｘ²－５）＝０ ｘ²＋６＝０ ｘ＝±√６ｉ ｘ²－５＝０ ｘ＝±√５ よって、 ｘ＝±√６ｉ，±√５ 問題 次の３次方程式を解け。 1） ｘ³－６ｘ²＋11ｘ－６＝０ 2） ｘ³＋７ｘ²－６＝０ 3） ｘ³－２ｘ²＋ｘ＋４＝０ 4） ３ｘ³＋ｘ²－８ｘ＋４＝０ 1） ｘ³－６ｘ²＋11ｘ－６＝０ （ｘ－１）で割り切れる 👉ｘ＝１のとき、左辺＝０ １　－６　　11　－６　【１ 　　　１　－５　　６ １　－５　　６　　０ （ｘ－１）（ｘ²－５ｘ＋６）＝０ （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝０ ｘ＝１，２，３ 2） ｘ³＋７ｘ²－６＝０ （ｘ＋１）で割り切れる １　　７　　０　－６　【－１ 　　－１　－６　　６ １　　６　－６　　０ （ｘ＋１）（ｘ²＋６ｘ－６）＝０ 解の公式より ｘ＝－３±√15，－１ 3） ｘ³－２ｘ²＋ｘ＋４＝０ （ｘ＋１）で割り切れる １　－２　１　　４　【－１ 　　－１　３　－４ １　－３　４　　０ （ｘ＋１）（ｘ²－３ｘ＋４）＝０ 解の公式より 　　３±√－７ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 　　３±√７ｉ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ ｘ＝－１ 4） ３ｘ³＋ｘ²－８ｘ＋４＝０ （ｘ－１）で割り切れる ３　１　－８　　４　【１ 　　３　　４　－４ ３　４　－４　　０ （ｘ－１）（３ｘ²＋４ｘ－４）＝０ ３　－２　　－２ 　× １　　２　　　６ 　　　　　　＋４ （ｘ－１）（３ｘ－２）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝１，2/3，－２ 問題 次の方程式を解け。 1） ｘ⁴＋４ｘ³＋２ｘ²－５ｘ－２＝０ 2） （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝４・３・２ 3） ２ｘ³－９ｘ²＋２＝０ 4） （ｘ²－４ｘ）²－（ｘ²－４ｘ）－６＝０ 5） （ｘ²＋２ｘ－３）（ｘ²＋２ｘ＋４）＝８ 6） ｘ⁴＋４＝０ 1） ｘ⁴＋４ｘ³＋２ｘ²－５ｘ－２＝０ （ｘ－１）で割り切れる １　４　２　－５　－２　【１ 　　１　５　　７　　２ １　５　７　　２　　０ （ｘ－１）（ｘ³＋５ｘ²＋７ｘ＋２）＝０ （ｘ＋２）で割り切れる １　　５　　７　　２　【－２ 　　－２　－６　－２ １　　３　　１　　０ （ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ²＋３ｘ＋１）＝０ 解の公式より 　　－３±√５ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ ｘ＝１，－２ 2） （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝４・３・２ ｘ－１＝４、ｘ－２＝３、ｘ－３＝２ ｘ＝５ （ｘ－５）で割り切れる （ｘ²－３ｘ＋２）（ｘ－３）－24＝０ ｘ³－３ｘ²－３ｘ²＋９ｘ＋２ｘ－６－24＝０ ｘ³－６ｘ²＋11ｘ－30＝０ １　－６　　11　－30　【５ 　　　５　－５　　30 １　－１　　６　　０ （ｘ－５）（ｘ²－ｘ＋６）＝０ 解の公式より 　　 １±√－23 ｘ＝━━━━━ 　　　　２ 　　 １±√23ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　　２ ｘ＝５ 3） ２ｘ³－９ｘ²＋２＝０ ｛ｘ－（1/2）｝で割り切れる ２　－９　　０　　２　【1/2 　　　１　－４　－２ ２　－８　－４　　０ ｛ｘ－（1/2）｝（２ｘ²－８ｘ－４）＝０ ｛ｘ－（1/2）｝（ｘ²－４ｘ－２）＝０ 解の公式より ｘ＝２±√６，1/2 4） （ｘ²－４ｘ）²－（ｘ²－４ｘ）－６＝０ ｘ²－４ｘ＝Ａ Ａ²－Ａ－６＝０ （Ａ－３）（Ａ＋２）＝０ （ｘ²－４ｘ－３）（ｘ²－４ｘ＋２）＝０ 解の公式より ｘ＝２±√７，２±√２ 5） （ｘ²＋２ｘ－３）（ｘ²＋２ｘ＋４）＝８ ｘ²＋２ｘ＝Ａ （Ａ－３）（Ａ＋４）－８＝０ Ａ²＋Ａ－12－８＝０ Ａ²＋Ａ－20＝０ （Ａ＋５）（Ａ－４）＝０ （ｘ²＋２ｘ＋５）（ｘ²＋２ｘ－４）＝０ 解の公式より ｘ＝－１±√－４ 　＝－１±２ｉ ｘ＝－１±√５ 6） ｘ⁴＋４＝０ ｘ²＝Ａ Ａ²＋２²＝０ （Ａ＋２）²－４Ａ＝０ （ｘ²＋２）²－４ｘ²＝０ （ｘ²＋２）²－（２ｘ）²＝０ （ｘ²＋２＋２ｘ）（ｘ²＋２－２ｘ）＝０ （ｘ²＋２ｘ＋２）（ｘ²－２ｘ＋２）＝０ 解の公式より ｘ＝－１±√－１ 　＝－１±ｉ ｘ＝１±√－１ 　＝１±ｉ 問題 ４次方程式ｘ⁴－ａｘ³－ｘ²＋16ｘ＋ｂ＝０が１と３を解にもつとき、次の問いに答えよ。 1）定数ａ、ｂの値を求めよ。 2）他の解を求めよ。 1） ｘ＝１を代入 １－ａ－１＋16＋ｂ＝０ －ａ＋ｂ＝－16　① ｘ＝３を代入 81－27ａ－９＋48＋ｂ＝０ －27ａ＋ｂ＝－120　② ①－②より 26ａ＝104 ａ＝４ ①に代入 －４＋ｂ＝－16 ｂ＝－12 よって、 ａ＝４、ｂ＝－12 2） 方程式にａ＝４、ｂ＝－12を代入 ｘ⁴－４ｘ³－ｘ²＋16ｘ－12＝０ （ｘ－１）で割り切れる １　－４　－１　　16　－12　【１ 　　　１　－３　－４　　12 １　－３　－４　　12　　０ （ｘ－１）（ｘ³－３ｘ²－４ｘ＋12）＝０ （ｘ－２）で割り切れる １　－３　－４　　12　【２ 　　　２　－２　－12 １　－１　－６　　０ （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ²－ｘ－６）＝０ （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝１，３，±２ よって、±２ ※別解 ｘ⁴－４ｘ³－ｘ²＋16ｘ－12＝０ ｘ⁴－ｘ²－12－４ｘ³＋16ｘ＝０ （ｘ²－４）（ｘ²＋３）－４ｘ（ｘ²－４）＝０ （ｘ²－４）（ｘ²－４ｘ＋３）＝０ （ｘ²－４）（ｘ－１）（ｘ－３）＝０ ｘ＝±２，１，３ 問題 ａ、ｂは実数とする。３次方程式ｘ³－５ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０が３＋２ｉを解にもつとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。また、他の解を求めよ。 ３－２ｉも解にもつから ２次方程式の解と係数の関係より （３＋２ｉ）＋（３－２ｉ） ＝６ （３＋２ｉ）（３－２ｉ） ＝９－４ｉ² ＝13 よって、方程式を因数分解すると （ｘ²－６ｘ＋13）が得られる ｘ³－５ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝（ｘ²－６ｘ＋13）（ｘ＋ｃ）とおく 右辺 ＝ｘ³＋ｃｘ²－６ｘ²－６ｃｘ＋13ｘ＋13ｃ ＝ｘ³＋（ｃ－６）ｘ²＋（13－６ｃ）ｘ＋13ｃ 係数を比較して ｃ－６＝－５　① 13－６ｃ＝ａ　② 13ｃ＝ｂ　③ ①より　ｃ＝１ ｃ＝１を②に代入　ａ＝７ ｃ＝１を③に代入　ｂ＝13 よって、 ａ＝７、ｂ＝13 ｘ＋ｃ＝０　より ｘ＋１＝０ ｘ＝－１ 他の解は、－１，３－２ｉ 問題 ３次方程式ｘ³＋ｘ²＋（ｍ－２）ｘ－ｍ＝０が２重解をもつとき、定数ｍの値を求めよ。 （ｘ－１）で割り切れる １　１　ｍ－２　－ｍ　【１ 　　１　　　２　　ｍ １　２　　　ｍ　　０ （ｘ－１）（ｘ²＋２ｘ＋ｍ）＝０ ｘ²＋２ｘ＋ｍ＝０の解が、ｘ≠１のとき 👉（ｘ－１）＝０の解と重複しないとき ｘ²＋２ｘ＋ｍ＝０の判別式をＤとする Ｄ＝１－ｍ 重解はＤ＝０のときだから １－ｍ＝０ ｍ＝１ ｘ²＋２ｘ＋ｍ＝０の解が、ｘ＝１のとき 👉（ｘ－１）＝０の解と重複するとき ｘ＝１を代入 １＋２＋ｍ＝０ ｍ＝－３ よって、ｍ＝１，－３ 問題 ３次方程式ｘ³＋２ｘ²＋（ｍ－１）ｘ－ｍ－２＝０の解がすべて実数であるとき、実数の定数ｍの値の範囲を求めよ。 （ｘ－１）で割り切れる １　２　ｍ－１　－ｍ－２　【１ 　　１　　　３　　ｍ＋２ １　３　ｍ＋２　　　　０ （ｘ－１）（ｘ²＋３ｘ＋ｍ＋２）＝０ ｘ²＋３ｘ＋ｍ＋２＝０の判別式をＤとする Ｄ＝９－４（ｍ＋２） 　＝１－４ｍ ｘ－１＝０はｘ＝１で実数解 他は重解を含む２つの実数解だから Ｄ≧０ １－４ｍ≧０ －４ｍ≧－１ ｍ≦1/4 問題 ｘ³－３ｘ²＋２ｘ＋４＝０の３つの解をα、β、γとするとき、次の式の値を求めよ。 1）α²＋β²＋γ² 2）α³＋β³＋γ³ 3） （１－α）（１－β）（１－γ） 4） （α＋β）（β＋γ）（γ＋α） 1） α²＋β²＋γ² ３次方程式の解と係数の関係から α＋β＋γ ＝－（－3/1）＝３ αβ＋βγ＋γα ＝（2/1）＝２ αβγ ＝－（4/1）＝－４ α²＋β²＋γ² ＝（α＋β＋γ）²－２（αβ＋βγ＋γα） ＝３²－２・２ ＝５ 2） α³＋β³＋γ³ ＝（α＋β＋γ）（α²＋β²＋γ²－αβ－βγ－γα）＋３αβγ ＝３（５－２）＋３・（－４） ＝－３ 3） （１－α）（１－β）（１－γ） 展開すると ＝１－（α＋β＋γ）＋（αβ＋βγ＋γα）－αβγ ＝１－３＋２－（－４） ＝４ ※別解 解がα、β、γだから ｘ³－３ｘ²＋２ｘ＋４ ＝（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ） （１－α）（１－β）（１－γ）だから ｘ＝１を左辺に代入 １－３＋２＋４＝４ 4） （α＋β）（β＋γ）（γ＋α） α＋β＋γ＝３　だから α＋β＝３－γ β＋γ＝３－α γ＋α＝３－β （α＋β）（β＋γ）（γ＋α） ＝（３－γ）（３－α）（３－β） 解がα、β、γだから ｘ³－３ｘ²＋２ｘ＋４ ＝（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ） （３－γ）（３－α）（３－β）だから ｘ＝３を左辺に代入 27－27＋６＋４＝10 問題 ３次方程式ｘ³＋（５ａ＋２）ｘ²＋（10ａ＋１）ｘ＋２＝０が異なる３つの実数解をもつとき、実数ａの値の範囲を求めよ。 （ｘ＋２）で割り切れる １　５ａ＋２　10ａ＋１　　２　【－２ 　　　　－２　　－10ａ　－２ １　　　５ａ　　　　１　　０ （ｘ＋２）（ｘ²＋５ａｘ＋１）＝０ ｘ²＋５ａｘ＋１＝０の判別式をＤとする Ｄ＝25ａ²－４ 異なる２つの実数解をもつから Ｄ＞０より 25ａ²－４＞０ （５ａ＋２）（５ａ－２）＞０ ａ＜－2/5、ａ＞2/5　① ｘ＋２＝０より　ｘ＝－２ 異なる３つの実数解をもつから ｘ²＋５ａｘ＋１＝０の解は、ｘ＝－２以外 代入すると ４－10ａ＋１＝０ ａ＝1/2 ①の範囲からａ＝1/2を除外すると ａ＜－2/5、2/5＜ａ＜1/2、ａ＞1/2 問題 次の等式を満たす実数ｘの値を求めよ。 （３＋２ｉ）ｘ²＋（８＋５ｉ）ｘ－３（１＋ｉ）＝０ ３ｘ²＋２ｉｘ²＋８ｘ＋５ｉｘ－３－３ｉ＝０ （３ｘ²＋８ｘ－３）＋（２ｘ²＋５ｘ－３）ｉ＝０ 両辺の係数を比較して ３ｘ²＋８ｘ－３＝０　① ２ｘ²＋５ｘ－３＝０　② 👉実部と虚部の係数がともに０ ①より ３　－１　　－１ 　× １　　３　　　９ 　　　　　　＋８ （３ｘ－１）（ｘ＋３）＝０ ｘ＝1/3、－３　① ②より ２　－１　　－１ 　× １　　３　　　６ 　　　　　　＋５ （２ｘ－１）（ｘ＋３）＝０ ｘ＝1/2、－３　② ①、②を同時に満たす解だから ｘ＝－３ 問題 ２次方程式ｘ²－ｐｘ＋２ｐ＝０の解は虚数で、解の３乗は実数であるとき、実数ｐの値を求めよ。 判別式をＤとする Ｄ＝ｐ²－８ｐ Ｄ＜０だから ｐ²－８ｐ＜０ ｐ（ｐ－８）＜０ ０＜ｐ＜８ ２次方程式の解をα、βとする 解と係数の関係から α＋β＝ｐ、αβ＝２ｐ α³は実数だから α³＝β³（α≠β） α³－β³＝０ （α－β）（α²＋αβ＋β²）＝０ α－β≠０だから α²＋αβ＋β²＝０ （α＋β）²－αβ＝０ ｐ²－２ｐ＝０ ｐ（ｐ－２）＝０ ０＜ｐ＜８より ｐ＝２ 問題 ｘ²＋ｘｙ－６ｙ²－ｘ＋７ｙ＋ｋがｘ、ｙの１次式の積に因数分解できるように、定数ｋの値を求めよ。また、このとき、与えられた式を因数分解せよ。 ｘ²＋ｘｙ－６ｙ²－ｘ＋７ｙ＋ｋ ＝ｘ²＋（ｙ－１）ｘ－（６ｙ²－７ｙ－ｋ） 👉この式が、ｘ²＋△ｘ＋□²になる ｘ²＋（ｙ－１）ｘ－（６ｙ²－７ｙ－ｋ）＝０の判別式をＤとする Ｄ＝（ｙ－１）²＋４（６ｙ²－７ｙ－ｋ） 　＝ｙ²－２ｙ＋１＋24ｙ²－28ｙ－４ｋ 　＝25ｙ²－30ｙ＋１－４ｋ これが平方数になればよい 👉解の公式のルートの中が２乗の形 25ｙ²－30ｙ＋１－４ｋ＝０の判別式をＤ₂とする Ｄ₂＝15²－25（１－４ｋ） 　＝225－25＋100ｋ 　＝200＋100ｋ 重解をもてばよいから Ｄ₂＝０より 200＋100ｋ＝０ ｋ＝－２ ｋ＝－２を代入 ｘ²＋（ｙ－１）ｘ－（６ｙ²－７ｙ＋２） ３　－２　　－４ 　× ２　－１　　－３ 　　　　　　－７ ＝ｘ²＋（ｙ－１）ｘ－（３ｙ－２）（２ｙ－１） １　　（３ｙ－２）　　３ｙ－２ 　× １　－（２ｙ－１）　－２ｙ＋１ 　　　　　　　　　　　ｙ－１ ＝（ｘ＋３ｙ－２）（ｘ－２ｙ＋１） 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.25 高次方程式 練習問題 👉ブログ TOP

グラフ上の図形と座標 定期テストや高校入試では、グラフ上にできた図形の面積を利用して座標を求める出題があります。求めたい座標を文字に置きかえて、方程式を立てて解きます。文字に置きかえる作業は慣れが必要で、最も差がつきやすい問題です。 問題 図１で、①は関数ｙ＝ａ/ｘ（ｘ＜０）のグラフであり、点Ａは①上の点で座標が（－３，４）である。点Ｂは①上の点でｘ座標が－２である。点Ｃはｙ軸上の点でｙ座標が４である。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）ａの値を求めなさい。 2）点Ｂのｙ座標を求めなさい。 3）直線ＢＣの式を求めなさい。 1） ｙ＝ａ/ｘは、（－３，４）を通る。 比例定数ａは、ｘとｙの値の積だから ａ＝－３×４＝－12 よって、－12 2） 点Ｂは、ｙ＝－12/ｘ上にあり、 ｘ＝－２だから ｙ＝－12/－２＝６ よって、６ 3） 切片の点Ｃは（０，４）だから 直線の式を、ｙ＝ｂｘ＋４とおく 直線は、点Ｂ（－２，６）を通るから ６＝－２ｂ＋４ ２ｂ＝－２　ｂ＝－１ よって、ｙ＝－ｘ＋４ 4）図２は、図１のｙ軸上の点Ｃよりも上側に点Ｐをとったものである。曲線ＡＢ、線分ＢＣ、線分ＣＯ、線分ＯＡで囲まれた図形の面積と、曲線ＡＢ、線分ＢＰ、線分ＰＣ、線分ＣＡで囲まれた図形の面積が等しくなるとき、点Ｐのｙ座標を求めなさい。 4） ２つの図形が重なるのは 曲線ＡＢ、線分ＢＣ、線分ＣＡで囲まれた部分 よって、 △ＡＯＣ＝△ＢＰＣのとき △ＡＯＣ 底辺ＣＯ＝４－０＝４ 高さＡＣ＝０－（－３）＝３ よって、面積は （1/2）×４×３＝６　① △ＢＰＣ Ｐのｙ座標をｔとする 底辺ＰＣ＝ｔ－４ 高さは、ＢとＰＣの距離だから ０－（－２）＝２ よって、面積は （1/2）×（ｔ－４）×２ ＝ｔ－４　② ①＝②より ｔ－４＝６ ｔ＝10 したがって、 求めるｙ座標は、10 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.24 グラフ上の図形と座標 👉ブログ TOP

剰余の定理 テスト対策 １学期も後半に入り、中高生は期末テスト対策を進めています。 高校数Ⅱで学習する剰余の定理は、割る式が「０」になると、余りを求めることができるというしくみで、割られる式は、（割る式）×（商）＋（余り）で表します。 問題 次の条件を満たすように、定数ａ、ｂの値をそれぞれ定めよ。 1）多項式Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ａｘ＋６はｘ＋３で割り切れる。 2）多項式Ｐ（ｘ）＝４ｘ³＋ａｘ²－５ｘ＋３を２ｘ＋１で割ると４余る。 3）多項式Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－９はｘ＋３で割り切れ、ｘ－２で割ると－５余る。 1） Ｐ（－３）＝０より －27－３ａ＋６＝０ －３ａ＝21 ａ＝－７ 2） Ｐ（－1/2）＝４より （－1/2）＋（1/4）ａ＋（5/2）＋３＝４ （1/4）ａ＝－１ ａ＝－４ 3） Ｐ（－３）＝０より －27＋９ａ－３ｂ－９＝０ ９ａ－３ｂ＝36 ３ａ－ｂ＝12　① Ｐ（２）＝－５より ８＋４ａ＋２ｂ－９＝－５ ４ａ＋２ｂ＝－４ ２ａ＋ｂ＝－２　② ①＋②より ５ａ＝10　ａ＝２ ②に代入して ４＋ｂ＝－２　ｂ＝－６ よって、 ａ＝２、ｂ＝－６ 問題 1）２ｘ³＋３ａｘ²－ａ²＋６がｘ＋１で割り切れるように、定数ａの値を定めよ。 2）２ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－３はｘ－３で割り切れ、２ｘ－１で割ると余りが５であるという。このとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。 1） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³＋３ａｘ²－ａ²＋６ Ｐ（－１）＝０より －２＋３ａ－ａ²＋６＝０ ａ²－３ａ－４＝０ （ａ－４）（ａ＋１）＝０ ａ＝４，－１ 2） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－３ Ｐ（３）＝０より 54＋９ａ＋３ｂ－３＝０ ９ａ＋３ｂ＝－51 ３ａ＋ｂ＝－17　① Ｐ（1/2）＝５より （1/4）＋（1/4）ａ＋（1/2）ｂ－３＝５ ａ＋２ｂ＝31　② ①×２－② 　　６ａ＋２ｂ＝－34 －）　 ａ＋２ｂ＝31 　　５ａ　　　＝－65 　　　　　　ａ＝－13 ②に代入 －13＋２ｂ＝31 ２ｂ＝44　ｂ＝22 よって、 ａ＝－13、ｂ＝22 問題 1）多項式Ｐ（ｘ）をｘ－１で割ると余りは５、ｘ－２で割ると余りは７となる。このとき、Ｐ（ｘ）をｘ²－３ｘ＋２で割った余りを求めよ。 2）多項式Ｐ（ｘ）をｘ²－１で割ると４ｘ－３余り、ｘ²－４で割ると３ｘ＋５余る。このとき、Ｐ（ｘ）をｘ²＋３ｘ＋２で割った余りを求めよ。 1） Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－３ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（１）＝５より ａ＋ｂ＝５　① Ｐ（２）＝７より ２ａ＋ｂ＝７　② ①－② －ａ＝－２　ａ＝２ ①に代入して ２＋ｂ＝５　ｂ＝３ よって、 ２ｘ＋３ ※別解 求める余りを ａ（ｘ－１）＋５とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋７ Ｐ（２）＝７より ａ（２－１）＋５＝７ ａ＝２ よって、 ２（ｘ－１）＋５ ＝２ｘ＋３ 2） Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋３ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－１）Ｒ（ｘ）＋４ｘ－３ Ｐ（－１）＝－７ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－４）Ｓ（ｘ）＋３ｘ＋５ Ｐ（－２）＝－１ Ｐ（－１）＝－７より －ａ＋ｂ＝－７　① Ｐ（－２）＝－１より －２ａ＋ｂ＝－１　② ①－② ａ＝－６ ①に代入して ６＋ｂ＝－７　ｂ＝－13 よって、 －６ｘ－13 問題 1）多項式Ｐ（ｘ）をｘ＋２で割った余りが３、ｘ－３で割った余りが－１のとき、Ｐ（ｘ）をｘ²－ｘ－６で割った余りを求めよ。 2）多項式Ｐ（ｘ）をｘ²＋５ｘ＋４で割ると２ｘ＋４余り、ｘ²＋ｘ－２で割ると－ｘ＋２余るという。このとき、Ｐ（ｘ）をｘ²＋６ｘ＋８で割った余りを求めよ。 1） 求める余りを ａ（ｘ＋２）＋３とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）Ｑ（ｘ）－１ Ｐ（３）＝－１より ５ａ＋３＝－１　ａ＝－4/5 よって、 （－4/5）（ｘ＋２）＋３ ＝（－4/5）ｘ－（8/5）＋（15/5） ＝（－4/5）ｘ＋（7/5） ※別解 Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－ｘ－６）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ＝（ｘ－３）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（－２）＝３より －２ａ＋ｂ＝３　① Ｐ（３）＝－１より ３ａ＋ｂ＝－１　② ①－② －５ａ＝４　ａ＝－4/5 ②に代入して －12/5＋ｂ＝－１　ｂ＝7/5 よって、 （－4/5）ｘ＋（7/5） 2） Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋６ｘ＋８）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ＝（ｘ＋２）（ｘ＋４）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋５ｘ＋４）Ｒ（ｘ）＋２ｘ＋４ ＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）Ｒ（ｘ）＋２ｘ＋４ Ｐ（－４）＝－４ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋ｘ－２）Ｓ（ｘ）－ｘ＋２ ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）Ｓ（ｘ）－ｘ＋２ Ｐ（－２）＝４ Ｐ（－４）＝－４より －４ａ＋ｂ＝－４　① Ｐ（－２）＝４より －２ａ＋ｂ＝４　② ①－② －２ａ＝－８　ａ＝４ ②に代入して －８＋ｂ＝４　ｂ＝12 よって、 ４ｘ＋12 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ＋１で割ると余りが－２、ｘ²－３ｘ＋２で割ると余りが－３ｘ＋７であるという。このとき、Ｐ（ｘ）を（ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ－２）で割った余りを求めよ。 求める余りを ａ（ｘ²－３ｘ＋２）－３ｘ＋７とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１）Ｑ（ｘ）－２ Ｐ（－１）＝－２より ６ａ＋３＋７＝－２ ６ａ＝－12　ａ＝－２ よって、 －２（ｘ²－３ｘ＋２）－３ｘ＋７ ＝－２ｘ²＋６ｘ－４－３ｘ＋７ ＝－２ｘ²＋３ｘ＋３ ※別解 Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ 👉３次式で割るから余りを２次式とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１）Ｒ（ｘ）－２ Ｐ（－１）＝－２ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－３ｘ＋２）Ｓ（ｘ）－３ｘ＋７ ＝（ｘ－１）（ｘ－２）Ｓ（ｘ）－３ｘ＋７ Ｐ（１）＝４ Ｐ（２）＝１ Ｐ（－１）＝－２より ａ－ｂ＋ｃ＝－２　① Ｐ（１）＝４より ａ＋ｂ＋ｃ＝４　② Ｐ（２）＝１より ４ａ＋２ｂ＋ｃ＝１　③ ①－② －２ｂ＝－６　ｂ＝３ ②－③ －３ａ－ｂ＝３ ｂ＝３を代入 －３ａ－３＝３ －３ａ＝６　ａ＝－２ ②より －２＋３＋ｃ＝４　ｃ＝３ よって、 －２ｘ²＋３ｘ＋３ 問題 多項式Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋２）で割った余りが７ｘ、ｘ－３で割った余りが１であるとき、Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ－３）で割った余りを求めよ。 求める余りを ａ（ｘ－１）（ｘ＋２）＋７ｘとする Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋１ Ｐ（３）＝１より ａ（３－１）（３＋２）＋７・３＝１ 10ａ＝－20　ａ＝－２ よって、 －２（ｘ－１）（ｘ＋２）＋７ｘ ＝－２（ｘ²＋ｘ－２）＋７ｘ ＝－２ｘ²－２ｘ＋４＋７ｘ ＝－２ｘ²＋５ｘ＋４ ※別解 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２）Ｒ（ｘ）＋７ｘ Ｐ（１）＝７ Ｐ（－２）＝－14 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）Ｓ（ｘ）＋１ Ｐ（３）＝１ Ｐ（１）＝７より ａ＋ｂ＋ｃ＝７　① Ｐ（－２）＝－14より ４ａ－２ｂ＋ｃ＝－14　② Ｐ（３）＝１より ９ａ＋３ｂ＋ｃ＝１　③ ①－② －３ａ＋３ｂ＝21 －ａ＋ｂ＝７　④ ①－③ －８ａ－２ｂ＝６ －４ａ－ｂ＝３　⑤ ④＋⑤ －５ａ＝10　ａ＝－２ ④に代入して ２＋ｂ＝７　ｂ＝５ ①より －２＋５＋ｃ＝７　ｃ＝４ よって、 －２ｘ²＋５ｘ＋４ 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ－３、（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ－３）で割ったときの余りをそれぞれａ、Ｒ（ｘ）とする。Ｒ（ｘ）のｘ²の係数が２であり、更にＰ（ｘ）を（ｘ＋２）（ｘ－１）で割ったときの余りが４ｘ－５であるとき、ａの値を求めよ。 Ｒ（ｘ）＝２（ｘ＋２）（ｘ－１）＋４ｘ－５ Ｒ（３）＝Ｐ（３）＝ａだから ２・５・２＋４・３－５＝ａ ａ＝20＋12－５＝27 ※別解 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋ａ Ｐ（３）＝ａ Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ－３）Ｓ（ｘ）＋２ｘ²＋ｂｘ＋ｃ Ｐ（３）＝ａより 18＋３ｂ＋ｃ＝ａ　① Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋２）（ｘ－１）Ｔ（ｘ）＋４ｘ－５ Ｐ（－２）＝－13より ８－２ｂ＋ｃ＝－13　② Ｐ（１）＝－１より ２＋ｂ＋ｃ＝－１　③ ②、③より 　 －２ｂ＋ｃ＝－21 －） 　ｂ＋ｃ＝－３ 　　　 －３ｂ＝－18 　　　　　 ｂ＝６ ６＋ｃ＝－３　ｃ＝－９ ①より 18＋18－９＝ａ ａ＝27 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ－１で割ると－１余り、ｘ＋１で割ると３余る。 1）Ｐ（ｘ）をｘ²－１で割ったときの余りを求めよ。 2）Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）²で割ったときの余りが定数であるとき、Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）²（ｘ＋１）で割ったときの余りを求めよ。 1） Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（１）＝－１、Ｐ（－１）＝３より ａ＋ｂ＝－１　① －ａ＋ｂ＝３　② ①－②より ２ａ＝－４　ａ＝－２ ②に代入して ２＋ｂ＝３　ｂ＝１ よって、 －２ｘ＋１ 2） 求める余りを ｃ（ｘ－１）²＋ｄとする Ｐ（１）＝－１より ｄ＝－１ Ｐ（－１）＝３より ４ｃ＋ｄ＝３ ４ｃ－１＝３　ｃ＝１ よって、 （ｘ－１）²－１ ＝ｘ²－２ｘ＋１－１ ＝ｘ²－２ｘ 問題 ｘ²＋１で割ると３ｘ＋２余り、ｘ²＋ｘ＋１で割ると２ｘ＋３余るようなｘの多項式のうちで、次数が最小のものを求めよ。 Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋１）Ｑ（ｘ）＋３ｘ＋２ Ｑ（ｘ）＝（ａｘ＋ｂ）とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋１）（ａｘ＋ｂ）＋３ｘ＋２ ＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｂｘ＋ｂ＋３ｘ＋２ ＝ａｘ³＋ｂｘ²＋（ａ＋３）ｘ＋ｂ＋２　① Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋ｘ＋１）Ｒ（ｘ）＋２ｘ＋３ ①より、最高次の係数はａだから Ｒ（ｘ）＝（ａｘ＋ｃ）とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋ｘ＋１）（ａｘ＋ｃ）＋２ｘ＋３ ＝ａｘ³＋ｃｘ²＋ａｘ²＋ｃｘ＋ａｘ＋ｃ＋２ｘ＋３ ＝ａｘ³＋（ａ＋ｃ）ｘ²＋（ａ＋ｃ＋２）ｘ＋ｃ＋３　② ①、②より係数を比較して ａ＋ｃ＝ｂ　③ ａ＋３＝ａ＋ｃ＋２　④ ｂ＋２＝ｃ＋３　⑤ ④より ｃ＝１ ⑤に代入 ｂ＋２＝１＋３　ｂ＝２ ③より ａ＋１＝２　ａ＝１ よって、①より ｘ³＋２ｘ²＋４ｘ＋４ ※条件を満たす多項式が２次式以下であるとすると ｐ（ｘ²＋１）＋３ｘ＋２＝ｐ（ｘ²＋ｘ＋１）＋２ｘ＋３ ｐｘ²＋３ｘ＋ｐ＋２＝ｐｘ²＋（ｐ＋２）ｘ＋ｐ＋３ 係数を比較して ３＝ｐ＋２　ｐ＝１ しかし、定数項のｐ＋２＝ｐ＋３は成り立たない。 よって、最小の次数は３次となる。 問題 多項式Ｐ（ｘ）があり、Ｐ（ｘ）はｘ－１で割り切れ、ｘ＋２で割った余りが９である。ただし、Ｐ（ｘ）のすべての項の係数は実数である。 1）Ｐ（１）、Ｐ（－２）の値をそれぞれ求めよ。 2）Ｐ（ｘ）をｘ²＋ｘ－２で割った余りを求めよ。 3）Ｐ（ｘ）は３次の項の係数が１である３次式であり、方程式Ｐ（ｘ）＝０が異なる実数解をちょうど２個もつ。Ｐ（ｘ）を求めよ。 1） Ｐ（１）＝０ Ｐ（－２）＝９ 2） Ｐ（ｘ） ＝（ｘ²＋ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（１）＝０より ａ＋ｂ＝０　① Ｐ（－２）＝９より －２ａ＋ｂ＝９　② ①－② ３ａ＝－９　ａ＝－３ ①に代入して －３＋ｂ＝０　ｂ＝３ よって、 －３ｘ＋３ 3） Ｐ（ｘ） ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）Ｑ（ｘ）－３ｘ＋３ ３次の項の係数が１だから Ｑ（ｘ）＝ｘ＋ｃとする Ｐ（ｘ） ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ＋ｃ）－３ｘ＋３ ＝（ｘ²＋ｘ－２）（ｘ＋ｃ）－３ｘ＋３ ＝ｘ³＋ｃｘ²＋ｘ²＋ｃｘ－２ｘ－２ｃ－３ｘ＋３ ＝ｘ³＋（ｃ＋１）ｘ²＋（ｃ－５）ｘ－２ｃ＋３＝０ Ｐ（１）＝０だから １　ｃ＋１　　ｃ－５　－２ｃ＋３　【１ 　　　　１　　ｃ＋２　　２ｃ－３ １　ｃ＋２　２ｃ－３　　　　　０ （ｘ－１）｛ｘ²＋（ｃ＋２）ｘ＋２ｃ－３｝＝０ ｘ²＋（ｃ＋２）ｘ＋２ｃ－３＝０の解が１のとき、異なる実数解をちょうど２個もつ。 １＋ｃ＋２＋２ｃ－３＝０ ｃ＝０ よって、 Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋（ｃ＋１）ｘ²＋（ｃ－５）ｘ－２ｃ＋３ ＝ｘ³＋ｘ²－５ｘ＋３ また、 ｘ²＋（ｃ＋２）ｘ＋２ｃ－３＝０がｘ≠１の重解をもつとき Ｄ＝（ｃ＋２）²－４（２ｃ－３） ＝ｃ²＋４ｃ＋４－８ｃ＋12 ＝ｃ²－４ｃ＋16 ＝（ｃ－２）²＋12＞０ Ｄ＝０とならないから不適 したがって、 ｘ³＋ｘ²－５ｘ＋３ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.21 剰余の定理 テスト対策 👉ブログ TOP

連立方程式 文章問題 １学期も後半に入り、中学生は各学年で「方程式」の学習に進んでいます。方程式には、文章から式を立てて数を求める学習があり、長い文章から必要な情報を取り出して整理する力が必要になります。 問題 ２けたの自然数がある。この数は、各位の数の和の６倍よりも１大きい数である。また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数は、もとの数より18小さい。もとの自然数を求めなさい。 十の位の数をｘ、一の位の数をｙとする。 この数は、各位の数の和の６倍よりも１大きい この数（２けたの自然数）　10ｘ＋ｙ 各位の数の和　ｘ＋ｙ 👉10ｘ＋ｙ＝６（ｘ＋ｙ）＋１　① 十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数は、もとの数より18小さい 位を入れかえた数　10ｙ＋ｘ もとの数（２けたの自然数）　10ｘ＋ｙ 👉10ｙ＋ｘ＝（10ｘ＋ｙ）－18　② ①より 10ｘ＋ｙ＝６ｘ＋６ｙ＋１ ４ｘ－５ｙ＝１　①’ ②より －９ｘ＋９ｙ＝－18 両辺÷９ －ｘ＋ｙ＝－２　②’ ①’＋②’×４ 　　　４ｘ－５ｙ＝１ ＋）－４ｘ＋４ｙ＝－８ 　　　　　　－ｙ＝－７ 　　　　　　　ｙ＝７ ②’に代入 －ｘ＋７＝－２　ｘ＝９ もとの自然数を10ｘ＋ｙとしたから 10×９＋７＝97 問題 ある町で全住宅の太陽光発電システムの設置状況について調査をしたところ、設置している住宅戸数は設置していない住宅戸数より2160戸少なかった。また設置している住宅戸数は全住宅戸数の５％であった。設置している住宅戸数を求めなさい。 設置している戸数をｘ、 設置していない戸数をｙとする。 ｘはｙより2160少ないから ｘ＝ｙ－2160　① ｘは（ｘ＋ｙ）の５％だから ｘ＝（ｘ＋ｙ）×（5/100）　② ②×100 100ｘ＝５ｘ＋５ｙ ５ｙ＝95ｘ ｙ＝19ｘ ①に代入 ｘ＝19ｘ－2160 －18ｘ＝－2160 ｘ＝120 よって、120戸 問題 ２種類の重さのおもり●、■がある。下の図１、２のように、おもりを左右の皿にのせると、てんびんはつり合う。図３のように、右の皿に■のおもりを６個のせたとき、左の皿に●のおもりを何個のせれば、てんびんはつり合いますか。 ●をｘｇ、■をｙｇとする 図１より ３ｙ＝４ｘ＋１　① 図２より ｘ＋３ｙ＝11　② ①を②に代入 ｘ＋（４ｘ＋１）＝11 ５ｘ＝10　ｘ＝２ ①より ３ｙ＝８＋１ ３ｙ＝９　ｙ＝３ 図３より ■１個が３ｇだから ６個分で18ｇ ●１個が２ｇだから 18÷２＝９ よって、９個 計算問題 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ４ｘ＋５ｙ＝11 ３ｘ＋４ｙ＝９ 2） ｘ＋２ｙ＝９ ｙ＝ｘ－３ 3） ３（ｘ－ｙ）＋５ｙ＝５ ５ｘ－２ｙ＝19 4） 0.5ｘ＋1.2ｙ＝21 ｘ　ｙ ━＋━＝５ ３　５ 1） ４ｘ＋５ｙ＝11　① ３ｘ＋４ｙ＝９　② ①×３－②×４ 　　12ｘ＋15ｙ＝33 －）12ｘ＋16ｙ＝36 　　　　　－ｙ＝－３ 　　　　　　ｙ＝３ ②に代入 ３ｘ＋12＝９ ３ｘ＝－３　ｘ＝－１ よって、 ｘ＝－１、ｙ＝３ 2） ｘ＋２ｙ＝９　① ｙ＝ｘ－３　② ②を①に代入 ｘ＋２（ｘ－３）＝９ ｘ＋２ｘ－６＝９ ３ｘ＝15　ｘ＝５ ②に代入 ｙ＝５－３＝２ よって、 ｘ＝５、ｙ＝２ 3） ３（ｘ－ｙ）＋５ｙ＝５　① ５ｘ－２ｙ＝19　② ①より ３ｘ－３ｙ＋５ｙ＝５ ３ｘ＋２ｙ＝５　①’ ①’＋② 　　３ｘ＋２ｙ＝５ ＋）５ｘ－２ｙ＝19 　　８ｘ　　　＝24 　　　　　　ｘ＝３ ①’に代入 ９＋２ｙ＝５ ２ｙ＝－４　ｙ＝－２ よって、 ｘ＝３、ｙ＝－２ 4） 0.5ｘ＋1.2ｙ＝21　① ｘ　ｙ ━＋━＝５　② ３　５ ①×10 ５ｘ＋12ｙ＝210 ５ｘ＝210－12ｙ①’ ②×15 ５ｘ＋３ｙ＝75 ５ｘ＝75－３ｙ　②’ ①’＝②’ 210－12ｙ＝75－３ｙ －９ｙ＝－135 ｙ＝15 ②’に代入 ５ｘ＝75－45 ５ｘ＝30　ｘ＝６ よって、 ｘ＝６、ｙ＝15 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.23 連立方程式 文章問題 👉ブログ TOP

因数定理 テスト対策 １学期も後半に入り、中高生は期末テスト対策を進めています。 高校数Ⅱの因数定理は、前の単元で学習する「剰余の定理」の余りが０になるケースを利用したもので、高次式の因数分解や方程式を解くときに利用します。 問題 次の式を因数分解せよ。 1） ｘ³－ｘ²－10ｘ－８ 2） ２ｘ⁴－３ｘ³－ｘ²－３ｘ＋２ 3） ｘ³－ｘ²－４ 4） ２ｘ³－５ｘ²－ｘ＋６ 5） ｘ⁴－４ｘ＋３ 6） ｘ⁴－２ｘ³－ｘ²－４ｘ－６ 7） 12ｘ³－５ｘ²＋１ 1） ｘ³－ｘ²－10ｘ－８ ｘ＝－２のとき０ （ｘ＋２）で割り切れる １　－１　－10　－８　【－２ 　　－２　　６　　８ １　－３　－４　　０ （ｘ＋２）（ｘ²－３ｘ－４） ＝（ｘ＋２）（ｘ－４）（ｘ＋１） 2） ２ｘ⁴－３ｘ³－ｘ²－３ｘ＋２ ｘ＝２のとき０ （ｘ－２）で割り切れる ２　－３　－１　－３　　２　【２ 　　　４　　２　　２　－２ ２　　１　　１　－１　　０ （ｘ－２）（２ｘ³＋ｘ²＋ｘ－１） ２ｘ³＋ｘ²＋ｘ－１ ｘ＝1/2のとき０ ｛ｘ－（1/2）｝で割り切れる ２　１　１　－１　【1/2 　　１　１　　１ ２　２　２　　０ （ｘ－２）｛ｘ－（1/2）｝（２ｘ²＋２ｘ＋２） ＝（ｘ－２）（２ｘ－１）（ｘ²＋ｘ＋１） 3） ｘ³－ｘ²－４ ｘ＝２のとき０ （ｘ－２）で割り切れる １　－１　０　－４　【２ 　　　２　２　　４ １　　１　２　　０ （ｘ－２）（ｘ²＋ｘ＋２） 4） ２ｘ³－５ｘ²－ｘ＋６ ｘ＝－１のとき０ （ｘ＋１）で割り切れる ２　－５　－１　　６　【－１ 　　－２　　７　－６ ２　－７　　６　　０ （ｘ＋１）（２ｘ²－７ｘ＋６） ２ｘ²－７ｘ＋６ ２　－３　－３ 　× １　－２　－４ 　　　　　－７ （ｘ＋１）（２ｘ－３）（ｘ－２） 5） ｘ⁴－４ｘ＋３ ｘ＝１のとき０ （ｘ－１）で割り切れる １　０　０　－４　　３　【１ 　　１　１　　１　－３ １　１　１　－３　　０ （ｘ－１）（ｘ³＋ｘ²＋ｘ－３） ｘ³＋ｘ²＋ｘ－３ ｘ＝１のとき０ （ｘ－１）で割り切れる １　１　１　－３　【１ 　　１　２　　３　 １　２　３　　０ （ｘ－１）²（ｘ²＋２ｘ＋３） 6） ｘ⁴－２ｘ³－ｘ²－４ｘ－６ ｘ＝－１のとき０ （ｘ＋１）で割り切れる １　－２　－１　－４　－６　【－１ 　　－１　　３　－２　　６ １　－３　　２　－６　　０ 　 （ｘ＋１）（ｘ³－３ｘ²＋２ｘ－６） ｘ³－３ｘ²＋２ｘ－６ ｘ＝３のとき０ （ｘ－３）で割り切れる １　－３　２　－６　【３ 　　　３　０　　６ １　　０　２　　０ （ｘ＋１）（ｘ－３）（ｘ²＋２） 7） 12ｘ³－５ｘ²＋１ ｘ＝－1/3のとき０ ｛ｘ＋（1/3）｝で割り切れる 12　－５　０　　１　【－1/3 　　－４　３　－１ 12　－９　３　　０ ｛ｘ＋（1/3）｝（12ｘ²－９ｘ＋３） ＝（３ｘ＋１）（４ｘ²－３ｘ＋１） 問題 ｘ＝１＋√２ｉのとき、次の式の値を求めよ。 Ｐ（ｘ）＝ｘ⁴－４ｘ³＋２ｘ²＋６ｘ－７ ｘ＝１＋√２ｉより ｘ－１＝√２ｉ 両辺を２乗 ｘ²－２ｘ＋１＝－２ ｘ²＝２ｘ－３ Ｐ（ｘ）に代入 （２ｘ－３）²－４ｘ（２ｘ－３）＋２（２ｘ－３）＋６ｘ－７ ＝４ｘ²－12ｘ＋９－８ｘ²＋12ｘ＋４ｘ－６＋６ｘ－７ ＝－４ｘ²＋10ｘ－４ ｘ²＝２ｘ－３を代入 －４（２ｘ－３）＋10ｘ－４ ＝－８ｘ＋12＋10ｘ－４ ＝２ｘ＋８ ｘ＝１＋√２ｉを代入 ２（１＋√２ｉ）＋８ ＝10＋２√２ｉ 問題 ｘ＝（１－√３ｉ）/２のとき、ｘ⁵＋ｘ⁴－２ｘ³＋ｘ²－３ｘ＋１の値を求めよ。 ｘ＝（１－√３ｉ）/２より ２ｘ＝１－√３ｉ ２ｘ－１＝－√３ｉ 両辺を２乗すると ４ｘ²－４ｘ＋１＝－３ ４ｘ²－４ｘ＋４＝０ ｘ²－ｘ＋１＝０ 両辺に（ｘ＋１）をかける 👉「ａ³＋ｂ³」型ができる （ｘ＋１）（ｘ²－ｘ＋１）＝０ ｘ³＋１³＝０ ｘ³＝－１ よって、 ｘ⁵＝ｘ³・ｘ²＝－ｘ² ｘ⁴＝ｘ³・ｘ＝－ｘ ５次式に代入して －ｘ²－ｘ＋２＋ｘ²－３ｘ＋１ ＝－４ｘ＋３ ｘ＝（１－√３ｉ）/２を代入して ＝－２＋２√３ｉ＋３ ＝１＋２√３ｉ ※別解 ｘ²－ｘ＋１で５次式を割ると ｘ³＋２ｘ²－ｘ－２ ｘ⁵＋ｘ⁴－２ｘ³＋ｘ²－３ｘ＋１ ｘ⁵－ｘ⁴　＋ｘ³　　　　　　 　 ２ｘ⁴－３ｘ³ 　 ２ｘ⁴－２ｘ³＋２ｘ² 　　　　 －ｘ³－ｘ² 　　　　　－ｘ³＋ｘ²－ｘ 　　　　　　　－２ｘ²－２ｘ＋１ 　　　　　　　－２ｘ²＋２ｘ－２ 　　　　　　　　　　－４ｘ＋３ ｘ⁵＋ｘ⁴－２ｘ³＋ｘ²－３ｘ＋１ ＝（ｘ²－ｘ＋１）（ｘ³＋２ｘ²－ｘ－２）－４ｘ＋３ ｘ²－ｘ＋１＝０より ＝－４ｘ＋３ ｘ＝（１－√３ｉ）/２を代入して ＝－２＋２√３ｉ＋３ ＝１＋２√３ｉ 問題 ｘの多項式Ｐ（ｘ）＝ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ａｂｘ²－（ａ＋３ｂ－４）ｘ－（３ａ－２）がｘ²－１で割り切れるような定数ａ、ｂの値の組を求めよ。また、求めたａ、ｂの値の組に対し、Ｐ（ｘ）を実数の範囲で因数分解せよ。 ｘ²－１ ＝（ｘ＋１）（ｘ－１） よって、 Ｐ（１）＝０、Ｐ（－１）＝０ Ｐ（１） ＝ａ＋ｂ＋ａｂ－ａ－３ｂ＋４－３ａ＋２ ＝ａｂ－３ａ－２ｂ＋６＝０ ａ　－２　－２ｂ 　× ｂ　－３　－３ａ 　　　　　－３ａ－２ｂ （ａ－２）（ｂ－３）＝０ ａ＝２、ｂ＝３　① Ｐ（－１） ＝ａ－ｂ＋ａｂ＋ａ＋３ｂ－４－３ａ＋２ ＝ａｂ－ａ＋２ｂ－２＝０ ａ　　２　２ｂ 　× ｂ　－１　－ａ 　　　　　－ａ＋２ｂ （ａ＋２）（ｂ－１）＝０ ａ＝－２、ｂ＝１　② ①、②を同時に満たすのは ａ＝２、ｂ＝１ ａ＝－２、ｂ＝３ ａ＝２、ｂ＝１のとき ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ａｂｘ²－（ａ＋３ｂ－４）ｘ－（３ａ－２） ＝２ｘ⁴＋ｘ³＋２ｘ²－ｘ－４ Ｐ（１）＝０だから ２　１　２　－１　－４　【１ 　　２　３　　５　　４ ２　３　５　　４　　０ （ｘ－１）（２ｘ³＋３ｘ²＋５ｘ＋４） Ｐ（－１）＝０だから ２　３　　５　　４　【－１ 　－２　－１　－４ ２　１　　４　　０ （ｘ－１）（ｘ＋１）（２ｘ²＋ｘ＋４） ２ｘ²＋ｘ＋４＝０の判別式をＤとする Ｄ＝１－32＝－31 Ｄ＜０だから因数分解できない よって、 ａ＝２、ｂ＝１のとき （ｘ－１）（ｘ＋１）（２ｘ²＋ｘ＋４） ａ＝－２、ｂ＝３のとき ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ａｂｘ²－（ａ＋３ｂ－４）ｘ－（３ａ－２） ＝－２ｘ⁴＋３ｘ³－６ｘ²－３ｘ＋８ Ｐ（１）＝０だから －２　　３　－６　－３　　８　【１ 　　　－２　　１　－５　－８ －２　　１　－５　－８　　０ （ｘ－１）（－２ｘ³＋ｘ²－５ｘ－８） Ｐ（－１）＝０だから －２　１　－５　－８　【－１ 　　　２　－３　　８ －２　３　－８　　０ （ｘ－１）（ｘ＋１）（－２ｘ²＋３ｘ－８） ＝－（ｘ－１）（ｘ＋１）（２ｘ²－３ｘ＋８） ２ｘ²－３ｘ＋８＝０の判別式をＤとする Ｄ＝９－64＝－55 Ｄ＜０だから因数分解できない よって、 ａ＝－２、ｂ＝３のとき －（ｘ－１）（ｘ＋１）（２ｘ²－３ｘ＋８） 問題 次の方程式を解け。 1）ｘ³＝27 2）ｘ⁴－ｘ²－６＝０ 3）ｘ⁴＋ｘ²＋４＝０ 4）ｘ⁴＝16 5）ｘ⁴－ｘ²－12＝０ 6）ｘ⁴－３ｘ²＋９＝０ 1） ｘ³＝27 ｘ³－27＝０ ｘ³－３³＝０ （ｘ－３）（ｘ²＋３ｘ＋９）＝０ ｘ²＋３ｘ＋９＝０より ｘ＝（－３±√－27）/２ 　＝（－３±３√３ｉ）/２ よって、 ｘ＝３，（－３±３√３ｉ）/２ 2） ｘ⁴－ｘ²－６＝０ （ｘ²）²－ｘ²－６＝０ （ｘ²－３）（ｘ²＋２）＝０ ｘ²－３＝０より ｘ＝±√３ ｘ²＋２＝０より ｘ＝±√２ｉ よって、 ｘ＝±√３、±√２ｉ 3） ｘ⁴＋ｘ²＋４＝０ ｘ⁴＋４＋ｘ²＝０ （ｘ²＋２）²－４ｘ²＋ｘ²＝０ （ｘ²＋２）²－３ｘ²＝０ （ｘ²＋２＋√３ｘ）（ｘ²＋２－√３ｘ）＝０ ｘ²＋√３ｘ＋２＝０より ｘ＝（－√３±√－５）/２ 　＝（－√３±√５ｉ）/２ ｘ²－√３ｘ＋２＝０より ｘ＝（√３±√－５）/２ 　＝（√３±√５ｉ）/２ よって、 ｘ＝（－√３±√５ｉ）/２ ｘ＝（√３±√５ｉ）/２ 4） ｘ⁴＝16 ｘ⁴－16＝０ （ｘ²）²－４²＝０ （ｘ²＋４）（ｘ²－４）＝０ ｘ＝±２ｉ、±２ 5） ｘ⁴－ｘ²－12＝０ （ｘ²）²－ｘ²－12＝０ （ｘ²－４）（ｘ²＋３）＝０ ｘ＝±２、±√３ｉ 6） ｘ⁴－３ｘ²＋９＝０ ｘ⁴＋９－３ｘ²＝０ （ｘ²＋３）²－６ｘ²－３ｘ²＝０ （ｘ²＋３）²－９ｘ²＝０ （ｘ²＋３＋３ｘ）（ｘ²＋３－３ｘ）＝０ ｘ²＋３ｘ＋３＝０より ｘ＝（－３±√３ｉ）/２ ｘ²－３ｘ＋３＝０より ｘ＝（３±√３ｉ）/２ よって、 ｘ＝（－３±√３ｉ）/２ ｘ＝（３±√３ｉ）/２ 問題 次の方程式を解け。 1） ｘ³＋３ｘ²＋４ｘ＋４＝０ 2） ２ｘ⁴＋５ｘ³＋５ｘ²－２＝０ 3） ３ｘ³＋４ｘ²－６ｘ－７＝０ 4） ｘ⁴＋６ｘ³－24ｘ－16＝０ 1） ｘ³＋３ｘ²＋４ｘ＋４＝０ ｘ＝－２のとき０ （ｘ＋２）で割り切れる １　　３　　４　　４　【－２ 　　－２　－２　－４ １　　１　　２　　０ （ｘ＋２）（ｘ²＋ｘ＋２）＝０ ｘ²＋ｘ＋２＝０より ｘ＝（－１±√７ｉ）/２ よって、 ｘ＝－２，（－１±√７ｉ）/２ 2） ２ｘ⁴＋５ｘ³＋５ｘ²－２＝０ ｘ＝－１のとき０ （ｘ＋１）で割り切れる ２　　５　　５　　０　－２　【－１ 　　－２　－３　－２　　２　　 ２　　３　　２　－２　　０ （ｘ＋１）（２ｘ³＋３ｘ²＋２ｘ－２）＝０ ２ｘ³＋３ｘ²＋２ｘ－２ ｘ＝1/2のとき０ ｛ｘ－（1/2）｝で割り切れる ２　３　２　－２　【1/2 　　１　２　　２ ２　４　４　　０ （ｘ＋１）｛ｘ－（1/2）｝（２ｘ²＋４ｘ＋４）＝０ （ｘ＋１）（２ｘ－１）（ｘ²＋２ｘ＋２）＝０ ｘ²＋２ｘ＋２＝０より ｘ＝－１±ｉ よって、 ｘ＝－１，1/2，－１±ｉ 3） ３ｘ³＋４ｘ²－６ｘ－７＝０ ｘ＝－１のとき０ （ｘ＋１）で割り切れる ３　　４　－６　－７　【－１ 　　－３　－１　　７ ３　　１　－７　　０ （ｘ＋１）（３ｘ²＋ｘ－７）＝０ ３ｘ²＋ｘ－７＝０より ｘ＝（－１±√85）/６ よって、 ｘ＝－１，（－１±√85）/６ 4） ｘ⁴＋６ｘ³－24ｘ－16＝０ ｘ＝－２のとき０ （ｘ＋２）で割り切れる １　　６　　０　－24　－16　【－２ 　　－２　－８　　16　　16 １　　４　－８　－８　　０ （ｘ＋２）（ｘ³＋４ｘ²－８ｘ－８）＝０ ｘ³＋４ｘ²－８ｘ－８ ｘ＝２のとき０ （ｘ－２）で割り切れる １　４　－８　－８　【２ 　　２　　12　　８ １　６　　４　　０ （ｘ＋２）（ｘ－２）（ｘ²＋６ｘ＋４）＝０ ｘ²＋６ｘ＋４＝０より ｘ＝－３±√５ よって、 ｘ＝±２，－３±√５ 問題 1）等式ｘ⁴－31ｘ²＋20ｘ＋５＝（ｘ²＋ａ）²－（ｂｘ－２）²がｘについての恒等式となるように、定数ａ、ｂの値を定めよ。 2）方程式ｘ⁴－31ｘ²＋20ｘ＋５＝０を解け。 1） 右辺 ＝ｘ⁴＋２ａｘ²＋ａ²－（ｂ²ｘ²－４ｂｘ＋４） ＝ｘ⁴＋２ａｘ²＋ａ²－ｂ²ｘ²＋４ｂｘ－４ ＝ｘ⁴＋（２ａ－ｂ²）ｘ²＋４ｂｘ＋ａ²－４ 係数を比較して ２ａ－ｂ²＝－31　① ４ｂ＝20　② ａ²－４＝５　③ ②より ｂ＝５ ③より ａ²＝９　ａ＝±３ ａ＝３のとき、①より ６－ｂ²＝－31 ｂ²＝37 ｂ＝±√37となり、ｂ＝５に合わない ａ＝－３のとき、①より －６－ｂ²＝－31 ｂ²＝25 ｂ＝±５となり、ｂ＝５に合う よって、 ａ＝－３、ｂ＝５ 2） （ｘ²＋ａ）²－（ｂｘ－２）²＝０だから （ｘ²－３）²－（５ｘ－２）²＝０ （ｘ²－３＋５ｘ－２）（ｘ²－３－５ｘ＋２）＝０ （ｘ²＋５ｘ－５）（ｘ²－５ｘ－１）＝０ ｘ²＋５ｘ－５＝０より ｘ＝（－５±３√５）/２ ｘ²－５ｘ－１＝０より ｘ＝（５±√29）/２ よって、 ｘ＝（－５±３√５）/２ ｘ＝（５±√29）/２ 問題 １辺が５cmの正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取った残りでふたのない直方体を作ったら、その容器が８cm³になった。切り取った正方形の１辺の長さを求めよ。 切り取る正方形の１辺をｘcmとする 底面積 １辺が（５－２ｘ）だから （５－２ｘ）²　cm² 高さ 切り取る正方形の１辺と同じ長さだからｘcm よって、 （５－２ｘ）²・ｘ＝８ （25－20ｘ＋４ｘ²）ｘ＝８ ４ｘ³－20ｘ²＋25ｘ－８＝０ ０＜ｘ＜2.5だから 因数は１，２，1/2，1/4 ｘ＝1/2のとき０ ｛ｘ－（1/2）｝で割り切れる ４　－20　　25　－８　【1/2 　　　２　－９　　８ ４　－18　　16　　０ ｛ｘ－（1/2）｝（４ｘ²－18ｘ＋16）＝０ （２ｘ－１）（２ｘ²－９ｘ＋８）＝０ ２ｘ²－９ｘ＋８＝０より ｘ＝（９±√17）/４ よって、 ｘ＝1/2，（９±√17）/４ ０＜ｘ＜2.5より （９＋√17）/４ は不適 したがって、 1/2（cm）、（９－√17）/４（cm） 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.23 因数定理 テスト対策 👉ブログ TOP

Σ 数列の和 等差数列や等比数列の和は、Σ（シグマ）を使って計算します。Σの上は項数、下は列の最初の番号、右横は足し合わせる数を表します。足し合わせる数が ｋ、ｋ²、ｋ³ のときの公式があります。 問題 次の式を、和の記号Σを用いて書け。 1） １³＋２³＋３³＋・・＋ｎ³ 2） 　　　　　　　　　 n-1 １＋３＋９＋・・＋３ 3） ３＋６＋９＋12＋15 4） １＋２＋４＋８＋・・（第ｎ項まで） 1） １³＋２³＋３³＋・・＋ｎ³ １番から始まる 👉 Σ 　 k=1 　　　　　　 　n ｎ番で終わる👉 Σ ｎ²を足し合わせる👉 Σ ｋ³ n Σ ｋ³ k=1 2） 　　　　　　　　　 n-1 １＋３＋９＋・・＋３ ＝３⁰＋３¹＋３²＋・・ ３⁰　１番目 ３¹　２番目 ３²　３番目 　n-1 ３　　ｎ番目 １番から始まる 👉 Σ 　 k=1 　　　　　　　 n ｎ番で終わる👉 Σ 　n-1 ３ を足し合わせる 　　　 k-1 👉 Σ ３ n k-1 Σ ３ k=1 3） ３＋６＋９＋12＋15 ＝３・１＋３・２＋３・３＋３・４＋３・５ １番から始まる ５番で終わる ３・ｎを足し合わせる 5 Σ ３ｋ k=1 4） １＋２＋４＋８＋・・（第ｎ項まで） ＝２⁰＋２¹＋２²＋２³＋・・２の（ｎ－１）乗 １番から始まる ｎ番で終わる ２の（ｎ－１）乗を足し合わせる n k-1 Σ ２ k=1 問題 次の和を求めよ。 1） n k Σ ４ k=1 2） n k-1 Σ ２ k=1 3） n-1 k Σ ６ k=1 1） n k Σ ４ k=1 　　　　　　　　　　 ４¹＋４²＋４³＋・・＋４のｎ乗 等比数列 初項ａ＝４ 公比ｒ＝４（４倍ずつ） 項数　ｎ 　　　n ４（４ －１） ━━━━━━ 　 ４－１ 　４　　n ＝━（４ －１） 　３ 2） n k-1 Σ ２ k=1 ２⁰＋２¹＋２²＋・・＋２の（ｎ－１）乗 初項ａ＝２⁰＝１ 公比ｒ＝２ 項数　ｎ 　　　　n 　１（２ －１） ＝━━━━━━ 　　 ２－１ 　　n ＝２ －１ 3） n-1 k Σ ６ k=1 ６¹＋６²＋６³＋・・＋６の（ｎ－１）乗 初項ａ＝６ 公比ｒ＝６ 項数　ｎ－１ 　　　　n-1 　６（６　－１） ＝━━━━━━━ 　　　６－１ 　６　　n-1 ＝━（６　－１） 　５ 問題 次の和を求めよ。 1） 40 Σ ｋ k=1 2） 25 Σ ｋ² k=1 3） 19 Σ ｋ³ k=1 4） 21 Σ ｋ² k=7 1） 40 Σ ｋ k=1 ＝（1/2）ｎ（ｎ＋１） ＝（1/2）・40・41 ＝820 2） 25 Σ ｋ² k=1 ＝（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（1/6）・25・26・51 ＝25・13・17 ＝25（15－２）（15＋２） ＝25（225－４） ＝25（25・９－４） ＝625・９－100 ＝5525 3） 19 Σ ｋ³ k=1 ＝｛（1/2）ｎ（ｎ＋１）｝² ＝｛（1/2）・19・20｝² ＝｛19・10｝² ＝19²・10² ＝361・100 ＝36100 4） 21 Σ ｋ² k=7 1〜21番目の和から1〜6番目の和をひく 21　　 6 Σ ｋ²－ Σ ｋ² k=1 k=1 ＝（1/6）・21・22・43－（1/6）・6・7・13 ＝７・11・43－７・13 ＝７（10＋1）・43－７・13 ＝７（430＋43－13） ＝７・460 ＝3220 問題 次の和を求めよ。 1） n Σ（５ｋ＋４） k=1 2） n Σ（４ｋ³－１） k=1 3） n-1 Σ ｋ（ｋ＋３） k=1 4） ３²＋６²＋９²＋・・＋（３ｎ）² 5） １²・２＋２²・３＋３²・４＋・・＋ｎ²（ｎ＋１） 1） n Σ（５ｋ＋４） k=1 　n n ５ Σ ｋ＋ Σ ４ 　k=1 k=1 ＝５・（1/2）ｎ（ｎ＋１）＋４ｎ ＝（1/2）ｎ（５ｎ＋５）＋（1/2）ｎ・８ ＝（1/2）ｎ（５ｎ＋13） 2） n Σ（４ｋ³－１） k=1 　n　　　 n ４ Σ ｋ³－ Σ １ 　k=1 k=1 ＝４｛（1/2）ｎ（ｎ＋１）｝²－ｎ ＝４｛（1/4）ｎ²（ｎ＋１）²｝－ｎ ＝ｎ²（ｎ＋１）²－ｎ ＝ｎ²（ｎ²＋２ｎ＋１）－ｎ ＝ｎ（ｎ³＋２ｎ²＋ｎ－１） 3） n-1 Σ ｋ（ｋ＋３） k=1 n-1 n-1 Σ ｋ²＋３ Σ ｋ k=1 k=1 ＝（1/6）（ｎ－１）ｎ（２ｎ－１）＋３・（1/2）（ｎ－１）ｎ ＝（1/6）ｎ（ｎ－１）（２ｎ－１）＋（9/6）ｎ（ｎ－１） ＝（1/6）ｎ（ｎ－１）｛（２ｎ－１）＋９｝ ＝（1/6）ｎ（ｎ－１）（２ｎ＋８） ＝２・（1/6）ｎ（ｎ－１）（ｎ＋４） ＝（1/3）ｎ（ｎ－１）（ｎ＋４） 4） ３²＋６²＋９²＋・・＋（３ｎ）² n Σ（３ｋ）² k=1 　n ＝ Σ ９ｋ² 　k=1 　　n ＝９ Σ ｋ² 　　k=1 ＝９・（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（3/2）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） 5） １²・２＋２²・３＋３²・４＋・・＋ｎ²（ｎ＋１） n Σ ｋ²（ｋ＋１） k=1 　n　　　 n ＝ Σ ｋ³＋ Σ ｋ² 　k=1 k-1 ＝｛（1/2）ｎ（ｎ＋１）｝²＋（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（1/4）ｎ²（ｎ＋１）²＋（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（3/12）ｎ²（ｎ＋１）²＋（2/12）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（1/12）ｎ（ｎ＋１）｛３ｎ（ｎ＋１）＋２（２ｎ＋１）｝ ＝（1/12）ｎ（ｎ＋１）（３ｎ²＋３ｎ＋４ｎ＋２） ＝（1/12）ｎ（ｎ＋１）（３ｎ²＋７ｎ＋２） ３ｎ²＋７ｎ＋２ ３　１　　１ 　× １　２　　６ 　　　　＋７ ＝（1/12）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（３ｎ＋１） 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.22 Σ 数列の和 👉ブログ TOP

中３受験生 募集のお知らせ 受験生の『成績アップ』と『志望校合格』を全力応援します！！ 当塾では、『５科目対応の完全個別指導』を行っております。テスト対策と受験対策に強い完全個別指導で、多数の生徒さんを成績アップと志望校合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします！！ 募集対象 2027年度の高校受験において、以下の高校を志望する中学３年生の方を募集いたします。 八戸高校　八戸東高校　八戸北高校　国立八戸高専　 私立高校の進学系学科（学業奨学生、学業特待生） 受講時数 １回・90分　週１～２回 毎回、１対１の完全個別指導 毎週決まった時間帯での受講となります 対応科目 数学　英語　国語　社会　理科 １か月受講料 定額　14,800円（税込） １枠・月４回分 入塾費、セット教材費なし 体験学習 ご入塾をご検討の方に「体験学習」を実施しております。 お申し込みは、当塾ホームページ、お電話にて承ります。 👉体験学習のご案内 　 ※ＨＰの案内ページに移動します 当塾の特長 「完全個別」による充実の学習スタイル ★ 100%オーダーメイド 　全科目対応で、「自分が解けない問題」だけに集中して解決できます。得意な所はスキップし、苦手な所にだけ時間を割けるので、効率良く学習が進められます。 ★ 質問の待ち時間ゼロ 　集団塾でよくある「質問の順番待ち」はありません。授業時間を最大限に有効活用できるタイムパフォーマンスの良い授業スタイルです。 ★ 自分のペースで進められる 　「今までの復習をしたい」「これから先の予習をしたい」など、自分のペースで学習が進められます。「周りに合わせる場面がゼロ」のストレスフリーな学習環境です。 🌸合格実績（開塾４年間）🌸 八戸高校：４名　八戸東高校：10名　八戸北高校：11名　国立八戸高専：２名 工大二高・進学コース：３名　聖ウルスラ学院・英語科：１名 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.22 中３受験生 募集のお知らせ 👉中学生コース 👉高校生コース

平方根の基本 平方根は「２乗する前の数」のことをいいます。例えば「９」は、（＋３）²と（－３）² なので、９の平方根は ±３になります。また、２や３のように平方根が整数にならないときは、√（ルート）を使って表します。 問題 次の数の平方根をいいなさい。 1）36 2）49 　 ４ 3）━ 　 25 1） 同じ数を掛けて36になるのは （＋６）×（＋６） （－６）×（－６） よって、 36の平方根は、±６ 2） （＋７）×（＋７） （－７）×（－７） よって、 49の平方根は、±７ 3） （＋2/5）×（＋2/5） （－2/5）×（－2/5） よって、 4/25の平方根は、±2/5 問題 根号を使って、次の数の平方根を表しなさい。 1）３ 2）10 3）1.3 　 ３ 4）━ 　 ７ 1） 同じ数を掛けて３になるのは （＋√３）×（＋√３） （－√３）×（－√３） よって、 ３の平方根は、±√３ 2） （＋√10）×（＋√10） （－√10）×（－√10） よって、 10の平方根は、±√10 3） （＋√1.3）×（＋√1.3） （－√1.3）×（－√1.3） よって、 1.3の平方根は、±√1.3 4） 　　 ３　　　　 ３ （＋√ ━）×（＋√ ━） 　　 ７　　　　 ７ 　　 ３　　　　 ３ （－√ ━）×（－√ ━） 　　 ７　　　　 ７ よって、 ３　　　　　　　 ３ ━の平方根は、±√ ━ ７　　　　　　　 ７ 問題 次の数を根号を使わずに表しなさい。 1）√36 2）－√81 3）√１ 4）√（－３）² 1） √36＝√６²＝６ 2） －√81＝－√９²＝－９ 3） √１＝√１²＝１ 4） √（－３）² ＝√９＝√３²＝３ 問題 次の数を求めなさい。 1）（√７）² 2）（－√13）² 3）（√16）² 1） （√７）² ＝（√７）×（√７） ＝７ 2） （－√13）² ＝（－√13）×（－√13） ＝13 3） （√16）² ＝（√16）×（√16） ＝16 ※ （√16）² ＝（√４²）² ＝４² ＝16 問題 次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。 1）√13、√15 2）４、√17 3）－√10、－√13 4）√0.1、0.1 5）３、４、√10 6）－２、－√２ 1） √13＜√15 2） ４、√17 √16、√17 ４＜√17 3） －√10＞－√13 👉負の数は、絶対値が大きいほど小さい。 4） √0.1、0.1 √0.1、√0.01 √0.1＞0.1 5） ３、４、√10 √９、√16、√10 ３＜√10＜４ 6） －２、－√２ －√４、－√２ －２＜－√２ 有理化 問題 次の数の分母を有理化しなさい。 1） ２ ━━ √５ 2） √３ ━━ √２ 3） ５ ━━ √27 4） 10 ━━ √８ 有理化：「×１」をする 1） ２　 √５ ━━×━━ √５　 √５ 　 ２√５ ＝━━━ 　 ５ 2） √３　 √２ ━━×━━ √２　 √２ 　 √６ ＝━━ 　 ２ 3） ５ ━━ √27 　 ５　　√３ ＝━━━×━━ ３√３　 √３ 　 ５√３ ＝━━━ 　　９ 4） 10 ━━ √８ 　 10　 ＝━━━ 　 ２√２ 　 ５　 √２ ＝━━×━━ 　 √２　 √２ 　 ５√２ ＝━━━ 　 ２ 問題 次の計算をしなさい。ただし、分母は有理化すること。 1）６÷√３ 2）√20÷√12 1） ６÷√３ 　 ６　 √３ ＝━━×━━ 　 √３　 √３ 　 ６√３ ＝━━━ 　　３ ＝２√３ 2） √20÷√12 　 √20 ＝━━ 　 √12 ルート内を約分 　 √５　 √３ ＝━━×━━ 　 √３　 √３ 　 √15 ＝━━ 　 ３ 近似値 問題 √３＝1.732として、次の値を求めなさい。 1）√27 2） 12 ━━ √３ 1） √27 ＝３√３ ＝３×1.732 ＝5.196 2） 12　 √３ ━━×━━ √３　 √３ ＝４√３ ＝４×1.732 ＝6.928 問題 √５＝2.236として、次の値を求めなさい。 1）√20 2）√80 3） １ ━━ √５ 4） 　５ ━━━ ２√５ 1） √20 ＝２√５ ＝２×2.236 ＝4.472 2） √80 ＝４√５ ＝４×2.236 ＝8.944 3） １　 √５ ━━×━━ √５　 √５ 　 √５ ＝━━ 　 ５ 👉割る数を有理数にする ＝√５÷５ ＝2.236÷５ ＝0.4472 4） 　５　　√５ ━━━×━━ ２√５　 √５ 　 √５ ＝━━ 　 ２ ＝√５÷２ ＝2.236÷２ ＝1.118 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.21 平方根の基本 👉ブログ TOP