- たむかい学習教室
- 7月12日
- 読了時間: 9分
不等式の文章題 高校数学
高校では期末考査が終わり、塾生は期末の模試に向けて対策を進めています。
不等式の文章題では、必要な情報をカタマリとして抜き出すことから始めます。式を立てて範囲を求める際には、求める値が正負の数または整数など、設定されている条件に合うかどうかを確認します。
問題
ｘ＞０とする。濃度がｘ％の食塩水200ｇがある。この食塩水に、（Ａ）または（Ｂ）のいずれかの操作を行い、食塩水の濃度が４％以上６％以下になるようにする。
＜操作＞
（Ａ）水を110ｇ加える
（Ｂ）食塩を７ｇ加える
1）（Ａ）の操作を１回行った後の食塩水に含まれる食塩の重さ（ｇ）をｘを用いて表せ。また、このときの食塩水の濃度（％）をｘを用いて表せ。
2）（Ａ）または（Ｂ）いずれかの操作を１回行うことで、食塩水の濃度が４％以上６％以下になるようなｘの値の範囲を小数で答えよ。
3）（Ａ）または（Ｂ）のいずれの操作についても、１回行うことでは、食塩水の濃度が４％以上６％以下にならず、（Ａ）または（Ｂ）のいずれかの操作をもう１回行うことで、食塩水の濃度が４％以上６％以下になるようなｘの範囲を小数で答えよ。ただし、１回目と２回目で異なる操作を行ってもよい。
1）
食塩水200ｇに含まれる食塩
200×（1/100）ｘ＝２ｘ（ｇ）
水を110ｇ加えるから
｛２ｘ/（200＋110）｝×100
＝（200/310）ｘ
＝（20/31）ｘ
よって、（20/31）ｘ％
2）
Ａを行う場合
４≦（20/31）ｘ≦６
×31
124≦20ｘ≦186
÷20
6.2≦ｘ≦9.3 ①
Ｂを行う場合
もとの食塩水200ｇに食塩＋７ｇ
食塩水全体は、207ｇ
含まれていた食塩２ｘｇに食塩＋７ｇ
食塩の重さは、（２ｘ＋７）ｇ
このときの濃度は、
｛（２ｘ＋７）/207｝×100
＝100｛（２ｘ＋７）/207｝
よって、
４≦100｛（２ｘ＋７）/207｝≦６
×207
828≦100（２ｘ＋７）≦1242
÷100
8.28≦２ｘ＋７≦12.42
－７
1.28≦２ｘ≦5.42
÷２
0.64≦ｘ≦2.71 ②
①、②より
6.2≦ｘ≦9.3
0.64≦ｘ≦2.71
3）（Ａ）または（Ｂ）のいずれの操作についても、１回行うことでは、食塩水の濃度が４％以上６％以下にならず、（Ａ）または（Ｂ）のいずれかの操作をもう１回行うことで、食塩水の濃度が４％以上６％以下になるようなｘの範囲を小数で答えよ。ただし、１回目と２回目で異なる操作を行ってもよい。
１回行っても満たさない場合
6.2≦ｘ≦9.3、0.64≦ｘ≦2.71の範囲外（補集合）だから
Ａ ｘ＜6.2、ｘ＞9.3 ①
Ｂ ｘ＜0.64、ｘ＞2.71 ②
Ａを連続で行い、満たす場合
１回目の食塩水310ｇに＋110ｇ
食塩水全体は、420ｇ
食塩の重さは変わらず２ｘｇ
このときの濃度は、
｛（２ｘ/310＋110｝×100
＝（200/420）ｘ
＝（10/21）ｘ％
よって、
４≦（10/21）ｘ≦６
×21
84≦10ｘ≦126
÷10
8.4≦ｘ≦12.6 ③
①、③より
9.3＜ｘ≦12.6 ④
Ｂを連続で行い、満たす場合
１回目の食塩水207ｇに食塩＋７ｇ
食塩水全体は、214ｇ
含まれていた食塩（２ｘ＋７）ｇに食塩＋７ｇ
食塩の重さは、（２ｘ＋14）ｇ
このときの濃度は、
｛（２ｘ＋14）/214｝×100
＝100｛（２ｘ＋14）/214｝
よって、
４≦100｛（２ｘ＋14）/214｝≦６
×214
856≦100（２ｘ＋14）≦1284
÷100
8.56≦２ｘ＋14≦12.84
－14
－6.56≦２ｘ≦－2.84
ｘ＞０だから不適
ＡとＢの混合操作で、満たす場合
もとの食塩水200ｇに水＋110ｇ、食塩＋７ｇ
食塩水全体は、317ｇ
もともと含まれていた食塩２ｘｇに＋７ｇ
食塩の重さは、（２ｘ＋７）ｇ
このときの濃度は、
｛（２ｘ＋７）/317｝×100
＝100｛（２ｘ＋７）/317｝
よって、
４≦100｛（２ｘ＋７）/317｝≦６
×317
1268≦100（２ｘ＋７）≦1902
÷100
12.68≦２ｘ＋７≦19.02
－７
5.68≦２ｘ≦12.02
÷２
2.84≦ｘ≦6.01 ⑤
ｘ＜6.2、ｘ＞9.3 ①
ｘ＜0.64、ｘ＞2.71 ② より
①、②との共通範囲は
2.84≦ｘ≦6.01 ➅
9.3＜ｘ≦12.6 ④
2.84≦ｘ≦6.01 ➅ より
求める範囲は、④と➅を合わせた範囲（和集合）だから
9.3＜ｘ≦12.6
2.84≦ｘ≦6.01
問題
次の表は、ある日に行われた100点満点の数学の試験の平均点を、Ａ組、Ｂ組、Ｃ組の男女別に整理したものである。
この表をもとに、以下の問いの条件を満たすｘの値について考える。ただし、この試験における個人の得点はすべて整数値とし、ｘは１以上39以下の整数である。
1）Ａ組の平均点を求めよ。また、Ｂ組の平均点がＡ組の平均点と等しいとき、ｘの値を求めよ。
2）Ｃ組の平均点がＡ組の平均点以上であり、Ｂ組の合計得点とＣ組の合計得点の差が300点以上であるようなｘの値をすべて求めよ。
3）後日、試験を欠席していたＣ組の２人の男子が同じ試験を受験した。この２人の得点の和をｋ点とする。当初、Ｃ組の平均点がＡ組の平均点以上であったが、この２人の得点を加えて計算し直したところ、Ｃ組の平均点がＡ組の平均点より低くなった。このとき、ｘの値がただ１つに定まるようなｋの値をすべて求めよ。
1）
全体の平均
｛（男平均）×（男人数）＋（女平均）×（女人数）｝/（全人数）
Ａ組の平均点
（60×32＋70×８）/（32＋８）
＝（1920＋560）/40
＝2480/40
＝62
よって、62点
Ｂ組の平均点
｛65（40－ｘ）＋55ｘ｝/（40－ｘ＋ｘ）
＝（2600－65ｘ＋55ｘ）/40
＝（2600－10ｘ）/40
＝65－（1/4）ｘ
よって、
65－（1/4）ｘ＝62
（1/4）ｘ＝３ ｘ＝12
よって、12
2）Ｃ組の平均点がＡ組の平均点以上であり、Ｂ組の合計得点とＣ組の合計得点の差が300点以上であるようなｘの値をすべて求めよ。
Ｃ組の平均点
｛59（ｘ＋５）＋64（40－ｘ）｝/（ｘ＋５＋40－ｘ）
＝（59ｘ＋295＋2560－64ｘ）/45
＝（2855－５ｘ）/45
Ａ組の62点以上だから
（2855－５ｘ）/45≧62
2855－５ｘ≧2790
－５ｘ≧－65
ｘ≦13 ①
Ｂ組の合計点
65（40－ｘ）＋55ｘ
＝2600－10ｘ
Ｃ組の合計点
59（ｘ＋５）＋64（40－ｘ）
＝2855－５ｘ
Ｂ－Ｃは正負になるか分からないので
｜（2600－10ｘ）－（2855－５ｘ）｜
＝｜－５ｘ－255｜
＝｜－５（ｘ＋51）｜
ｘは１以上39以下だから
＝５（ｘ＋51）
この値が300以上だから
５（ｘ＋51）≧300
ｘ＋51≧60
ｘ≧９ ②
①かつ②だから、共通範囲は
９≦ｘ≦13
ｘは整数値だから
９、10、11、12、13
3）後日、試験を欠席していたＣ組の２人の男子が同じ試験を受験した。この２人の得点の和をｋ点とする。当初、Ｃ組の平均点がＡ組の平均点以上であったが、この２人の得点を加えて計算し直したところ、Ｃ組の平均点がＡ組の平均点より低くなった。このとき、ｘの値がただ１つに定まるようなｋの値をすべて求めよ。
当初の場合
2）より、ｘ≦13 ①
Ｃ組に２人と和ｋを加えた場合
（2855－５ｘ＋ｋ）/（45＋２）
Ａ組の平均62点より低いから
（2855－５ｘ＋ｋ）/（45＋２）＜62
2855－５ｘ＋ｋ＜2914
－５ｘ＜－ｋ＋59
ｘ＞（ｋ－59）/５
ｘの値が１つに定まるとあるから
①より
12≦（ｋ－59）/５＜13
60≦ｋ－59＜65
119≦ｋ＜124
よって、満たすｋの値は
119、120、121、122、123
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