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連立方程式の解き方 連立方程式の解き方には、「加減法」と「代入法」があります。加減法は、文字の係数をそろえて、足し算または引き算をして求める方法です。代入法は、式が「ｘ＝」または「ｙ＝」の形になっているときに使います。 １元１次方程式 問題 次の方程式を解きなさい。 1） ６ｘ＋11＝２ｘ－５ 2） ｘ－９＝３ｘ＋１ 3） ４ｘ－１＝－２ｘ＋５ 4） ５ｘ－９＝３ｘ＋５ 5） －３－ｘ＝４ｘ＋７ 6） ｘ：16＝５：４ 7） （ｘ＋３）：５＝（ｘ－２）：２ 8） ６（ｘ＋３）＝９ｘ＋１ 1） ６ｘ＋11＝２ｘ－５ ６ｘ－２ｘ＝－５－11 ４ｘ＝－16 両辺×1/4 ｘ＝－４ 2） ｘ－９＝３ｘ＋１ －２ｘ＝10 両辺×（－1/2） ｘ＝－５ 3） ４ｘ－１＝－２ｘ＋５ ６ｘ＝６ ｘ＝１ 4） ５ｘ－９＝３ｘ＋５ ２ｘ＝14 ｘ＝７ 5） －３－ｘ＝４ｘ＋７ －５ｘ＝10 ｘ＝－２ 6） ｘ：16＝５：４ 内項×内項＝外項×外項 ４ｘ＝80 ｘ＝20 7） （ｘ＋３）：５＝（ｘ－２）：２ ２（ｘ＋３）＝５（ｘ－２） ２ｘ＋６＝５ｘ－10 －３ｘ＝－16 ｘ＝16/3 8） ６（ｘ＋３）＝９ｘ＋１ ６ｘ＋18＝９ｘ＋１ －３ｘ＝－17 ｘ＝17/3 ２元１次方程式（連立方程式） 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ｘ－ｙ＝15 ３ｘ＋ｙ＝９ 2） ２ｘ－３ｙ＝－５ ｘ＝３ｙ－16 3） ｘ＋２ｙ＝１ ３ｘ－４ｙ＝－７ 1） ｘ－ｙ＝15　① ３ｘ＋ｙ＝９　② 係数の絶対値が同じｙを０にする －１ｙ＋（＋１ｙ）＝０👉足し算 ①＋② ４ｘ＝24 ｘ＝６ ①に代入 ６－ｙ＝15 ｙ＝－９ よって、 ｘ＝６、ｙ＝－９ 2） ２ｘ－３ｙ＝－５　① ｘ＝３ｙ－16　② ②より、ｘは「３ｙ－16」 ①のｘに３ｙ－16を代入 ２（３ｙ－16）－３ｙ＝－５ ６ｙ－32－３ｙ＝－５ ３ｙ＝27 ｙ＝９ ②に代入👉ｘの値をそのまま出せる ｘ＝３×９－16＝11 よって、 ｘ＝11、ｙ＝９ 3） ｘ＋２ｙ＝１　① ３ｘ－４ｙ＝－７　② ｙの係数をそろえる ①×２ ２ｘ＋４ｙ＝２　①’ ①’＋② 　　２ｘ＋４ｙ＝２ ＋）３ｘ－４ｙ＝－７ 　　５ｘ　　　＝－５ 　　　　　　ｘ＝－１ ①に代入 －１＋２ｙ＝１ ｙ＝１ よって、 ｘ＝－１、ｙ＝１ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ｘ＝２ｙ＋５ ｙ＝ｘ－３ 2） ３ｘ＋４ｙ＝２ ２ｘ－５ｙ＝９ 3） ３ｘ－２ｙ＝13 ４ｘ＋５ｙ＝２ 1） ｘ＝２ｙ＋５　① ｙ＝ｘ－３　② ②より、①のｙにｘ－３を代入 ｘ＝２（ｘ－３）＋５ ｘ＝２ｘ－６＋５ ｘ＝１ ②に代入 ｙ＝１－３＝－２ よって、 ｘ＝１、ｙ＝－２ 2） ３ｘ＋４ｙ＝２　① ２ｘ－５ｙ＝９　② ①×２－②×３ 　　６ｘ＋８ｙ＝４ －）６ｘ－15ｙ＝27 　　　　　23ｙ＝－23 　　　　　　ｙ＝－１ ②に代入 ２ｘ＋５＝９ ｘ＝２ よって、 ｘ＝２、ｙ＝－１ 3） ３ｘ－２ｙ＝13　① ４ｘ＋５ｙ＝２　② ①×５＋②×２ 　　15ｘ－10ｙ＝65 ＋）８ｘ＋10ｙ＝４ 　　23ｘ　　　＝69 　　　　　　ｘ＝３ ①に代入 ９－２ｙ＝13 ｙ＝－２ よって、 ｘ＝３、ｙ＝－２ 係数が同符号（＋どうし、－どうし） 👉引き算で「０」 係数が異符号（＋と－で別々） 👉足し算で「０」 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ３ｘ－２ｙ＝５ ｙ＝－２ｘ＋１ 2） ６ｘ＋７ｙ＝10 ３ｘ＋２ｙ＝－１ 3） ２ｘ－12ｙ＋１＝15 ３ｘ＋６ｙ－10＝15 1） ３ｘ－２ｙ＝５　① ｙ＝－２ｘ＋１　② ②を①に代入 ３ｘ－２（－２ｘ＋１）＝５ ３ｘ＋４ｘ－２＝５ ７ｘ＝７ ｘ＝１ ②に代入 ｙ＝－２×１＋１＝－１ よって、 ｘ＝１、ｙ＝－１ 2） ６ｘ＋７ｙ＝10　① ３ｘ＋２ｙ＝－１　② ①－②×２ 　　６ｘ＋７ｙ＝10 －）６ｘ＋４ｙ＝－２ 　　　　　３ｙ＝12 　　　　　　ｙ＝４ ②に代入 ３ｘ＋８＝－１ ｘ＝－３ よって、 ｘ＝－３、ｙ＝４ 3） ２ｘ－12ｙ＋１＝15　① ３ｘ＋６ｙ－10＝15　② ①より ２ｘ－12ｙ＝14　①’ ②より ３ｘ＋６ｙ＝25　②’ ①’＋②’×２ 　　２ｘ－12ｙ＝14 ＋）６ｘ＋12ｙ＝50 　　８ｘ　　　＝64 　　　　　　ｘ＝８ ①’に代入 16－12ｙ＝14 －12ｙ＝－２ ｙ＝1/6 よって、 ｘ＝８、ｙ＝1/6 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.10 連立方程式の解き方 👉ブログ TOP

剰余の定理と因数定理 剰余の定理は、割る式が「０」になると、余りを求めることができるというしくみで、割られる式は、（割る式）×（商）＋（余り）で表します。因数定理は、この式の余りが「０」になる場合のことで、高次式の因数分解をするときにこの考え方を使います。 問題 次の多項式Ｐ（ｘ）を［　］内の１次式で割った余りを求めよ。 1） Ｐ（ｘ）＝ｘ³－２ｘ²＋２ｘ－３ ［ｘ－１］ 2） Ｐ（ｘ）＝６ｘ³－５ｘ²＋３ ［ｘ－２］ 3） Ｐ（ｘ）＝ｘ³－７ｘ－６ ［ｘ＋１］ 4） Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋２ｘ²－２ｘ－１ ［ｘ＋１］ 1） Ｐ（ｘ）＝ｘ³－２ｘ²＋２ｘ－３ ［ｘ－１］ Ｐ（１） ＝１－２＋２－３ ＝－２ 2） Ｐ（ｘ）＝６ｘ³－５ｘ²＋３ ［ｘ－２］ Ｐ（２） ＝48－20＋３ ＝31 3） Ｐ（ｘ）＝ｘ³－７ｘ－６ ［ｘ＋１］ Ｐ（－１） ＝－１＋７－６ ＝０ 4） Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋２ｘ²－２ｘ－１ ［ｘ＋１］ Ｐ（－１） ＝－１＋２＋２－１ ＝２ 問題 次の多項式Ｐ（ｘ）を［　］内の１次式で割った余りを求めよ。 1） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³－３ｘ²－３ｘ＋５ ［２ｘ－１］ 2） Ｐ（ｘ）＝６ｘ³－ｘ²－４ｘ－１ ［３ｘ＋１］ 1） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³－３ｘ²－３ｘ＋５ ［２ｘ－１］ Ｐ（1/2） ＝（1/4）－（3/4）－（3/2）＋５ ＝（1－3－6＋20）/4 ＝３ 2） Ｐ（ｘ）＝６ｘ³－ｘ²－４ｘ－１ ［３ｘ＋１］ Ｐ（－1/3） ＝（－2/9）－（1/9）＋（4/3）－１ ＝（－2－1＋12－9）/9 ＝０ 問題 次の多項式Ｐ（ｘ）をｘ＋１で割った余りが３であるとき、定数ａの値を求めよ。 1） Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ａｘ＋２ 2） Ｐ（ｘ）＝ｘ⁴＋５ｘ²＋ａ²ｘ＋２ａ 1） Ｐ（－１）＝３ －１－ａ＋２＝３ －ａ＝２ ａ＝－２ 2） Ｐ（－１）＝３ １＋５－ａ²＋２ａ＝３ －ａ²＋２ａ＋３＝０ ａ²－２ａ－３＝０ （ａ－３）（ａ＋１）＝０ ａ＝３，－１ 問題 次の多項式Ｐ（ｘ）は［　］内の１次式を因数にもつことを示し、Ｐ（ｘ）を因数分解せよ。 1） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³－ｘ－１ ［ｘ－１］ 2） Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ｘ²－ｘ＋２ ［ｘ＋２］ 1） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³－ｘ－１ ［ｘ－１］ Ｐ（１） ＝２－１－１＝０ よって、ｘ－１を因数にもつ ２　０　－１　－１　［１ 　　２　　２　　１ ２　２　　１　　０ （ｘ－１）（２ｘ²＋２ｘ＋１） ※ ２ｘ²＋２ｘ＋１＝０の判別式 Ｄ/４＝１－２＝－１ 2） Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ｘ²－ｘ＋２ ［ｘ＋２］ Ｐ（－２） ＝－８＋４＋２＋２＝０ よって、ｘ＋２を因数にもつ １　　１　－１　　２　［－２ 　　－２　　２　－２ １　－１　　１　　０ （ｘ＋２）（ｘ²－ｘ＋１） ※ ｘ²－ｘ＋１＝０の判別式 Ｄ＝１－４＝－３ 問題 次の式を因数分解せよ。 1）ｘ³－７ｘ²＋14ｘ－８ 2）２ｘ³＋５ｘ²＋ｘ－２ 3）ｘ³－７ｘ－６ 4）ｘ³＋４ｘ²－３ｘ－18 1） ｘ³－７ｘ²＋14ｘ－８ ｘ＝１を代入すると０ （ｘ－１）で割り切れる １　－７　　14　－８　［１ 　　　１　－６　　８　 １　－６　　８　　０ （ｘ－１）（ｘ²－６ｘ＋８） ＝（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－４） 2） ２ｘ³＋５ｘ²＋ｘ－２ ｘ＝－２を代入すると０ （ｘ＋２）で割り切れる ２　　５　　１　－２　［－２ 　　－４　－２　　２ ２　　１　－１　　０ （ｘ＋２）（２ｘ²＋ｘ－１） ２　－１　　－１ 　× １　　１　　　２ 　　　　　　＋１ ＝（ｘ＋２）（２ｘ－１）（ｘ＋１） 3） ｘ³－７ｘ－６ ｘ＝－１を代入すると０ （ｘ＋１）で割り切れる １　　０　－７　－６　［－１ 　　－１　　１　　６ １　－１　－６　　０ （ｘ＋１）（ｘ²－ｘ－６） ＝（ｘ＋１）（ｘ－３）（ｘ＋２） 4） ｘ³＋４ｘ²－３ｘ－18 ｘ＝２を代入すると０ （ｘ－２）で割り切れる １　４　－３　－18　［２ 　　２　　12　　18 １　６　　９　　０ （ｘ－２）（ｘ²＋６ｘ＋９） ＝（ｘ－２）（ｘ＋３）² 問題 次の多項式Ｐ（ｘ）は［　］内の１次式を因数にもつことを示し、Ｐ（ｘ）を因数分解せよ。 1） Ｐ（ｘ）＝４ｘ³＋ｘ＋１ ［２ｘ＋１］ 2） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³－ｘ²－ｘ－３ ［２ｘ－３］ 1） Ｐ（ｘ）＝４ｘ³＋ｘ＋１ ［２ｘ＋１］ Ｐ（－1/2） ＝（－1/2）－（1/2）＋（2/2） ＝０ よって、２ｘ＋１を因数にもつ ４　　０　１　　１　［－1/2 　　－２　１　－１　 ４　－２　２　　０ ｛ｘ＋（1/2）｝（４ｘ²－２ｘ＋２） ＝２｛ｘ＋（1/2）｝（２ｘ²－ｘ＋１） ＝（２ｘ＋１）（２ｘ²－ｘ＋１） ※ ２ｘ²－ｘ＋１＝０ Ｄ＝１－８＝－７ 2） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³－ｘ²－ｘ－３ ［２ｘ－３］ Ｐ（3/2） ＝（27/4）－（9/4）－（3/2）－３ ＝（27－9－6－12）/3 ＝０ よって、２ｘ－３を因数にもつ ２　－１　－１　－３　［3/2 　　　３　　３　　３ ２　　２　　２　　０ ｛ｘ－（3/2）｝（２ｘ²＋２ｘ＋２） ＝２｛ｘ－（3/2）｝（ｘ²＋ｘ＋１） ＝（２ｘ－３）（ｘ²＋ｘ＋１） ※ ｘ²＋ｘ＋１＝０ Ｄ＝１－４＝－３ 問題 次の式を因数分解せよ。 1） ｘ⁴＋３ｘ³－５ｘ²－３ｘ＋４ 2） ｘ⁴－５ｘ³＋６ｘ²＋４ｘ－８ 1） ｘ⁴＋３ｘ³－５ｘ²－３ｘ＋４ ｘ＝－１を代入すると０ （ｘ＋１）で割り切れる １　　３　－５　－３　　４　［－１ 　　－１　－２　　７　－４ １　　２　－７　　４　　０ （ｘ＋１）（ｘ³＋２ｘ²－７ｘ＋４） ｘ³＋２ｘ²－７ｘ＋４ ｘ＝１を代入すると０ （ｘ－１）で割り切れる １　２　－７　　４　［１ 　　１　　３　－４ １　３　－４　　０ ＝（ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ²＋３ｘ－４） ＝（ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ＋４）（ｘ－１） ＝（ｘ－１）²（ｘ＋１）（ｘ＋４） 2） ｘ⁴－５ｘ³＋６ｘ²＋４ｘ－８ ｘ＝２を代入すると０ （ｘ－２）で割り切れる １　－５　　６　４　－８　［２ 　　　２　－６　０　　８ １　－３　　０　４　　０ （ｘ－２）（ｘ³－３ｘ²＋４） ｘ³－３ｘ²＋４ ｘ＝－１を代入すると０ （ｘ＋１）で割り切れる １　－３　０　　４　［－１ 　　－１　４　－４ １　－４　４　　０ ＝（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ²－４ｘ＋４） ＝（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ－２）² ＝（ｘ－２）³（ｘ＋１） 問題 多項式Ｐ（ｘ）＝ａｘ³＋ｂｘ²＋３ｘ－５をｘ－２、ｘ＋３で割った余りが－２ｘ＋１であるとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。 商をＱ（ｘ）とする Ｐ（ｘ） ＝（ｘ－２）（ｘ＋３）Ｑ（ｘ）－２ｘ＋１ Ｐ（２）＝－３ Ｐ（－３）＝７ Ｐ（２） ＝８ａ＋４ｂ＋６－５ ＝８ａ＋４ｂ＋１ Ｐ（２）＝－３だから ８ａ＋４ｂ＋１＝－３ ８ａ＋４ｂ＝－４ ２ａ＋ｂ＝－１　① Ｐ（－３） ＝－27ａ＋９ｂ－９－５ ＝－27ａ＋９ｂ－14 Ｐ（－３）＝７だから －27ａ＋９ｂ－14＝７ －27ａ＋９ｂ＝21 －９ａ＋３ｂ＝７　② ①×３－②より 　　　６ａ＋３ｂ＝－３ －）－９ａ＋３ｂ＝７ 　　　15ａ　　　＝－10 　　　　　　　ａ＝－2/3 ①に代入 （－4/3）＋ｂ＝－１ ｂ＝1/3 よって、 ａ＝－2/3、ｂ＝1/3 問題 次の問いに答えよ。 1）多項式Ｐ（ｘ）をｘ－１で割った余りが３、ｘ＋３で割った余りが－５である。Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋３）で割った余りを求めよ。 2）多項式Ｐ（ｘ）をｘで割った余りが－４、ｘ－２で割った余りが７である。Ｐ（ｘ）をｘ²－２ｘで割った余りを求めよ。 1） Ｐ（１）＝３ Ｐ（－３）＝－５ 商をＱ（ｘ）、余りをａｘ＋ｂとする Ｐ（ｘ） ＝（ｘ－１）（ｘ＋３）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（１） ＝ａ＋ｂ＝３　① Ｐ（－３） ＝－３ａ＋ｂ＝－５　② ①－②より ４ａ＝８　ａ＝２ ①に代入 ２＋ｂ＝３　ｂ＝１ 余りをａｘ＋ｂとしたから ２ｘ＋１ 2） Ｐ（０）＝－４ Ｐ（２）＝７ 商をＱ（ｘ）、余りをａｘ＋ｂとする Ｐ（ｘ） ＝ｘ（ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（０） ＝ｂ＝－４ Ｐ（２） ＝２ａ＋ｂ＝７ ｂ＝－４を代入 ２ａ－４＝７ ａ＝11/2 余りをａｘ＋ｂとしたから （11/2）ｘ－４ 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ－２で割ると余りは７で、その商Ｑ（ｘ）をｘ＋３で割ると余りは１である。Ｐ（ｘ）をｘ＋３で割った余りを求めよ。 Ｐ（ｘ） ＝（ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋７　① Ｑ（ｘ）を割った商をＲ（ｘ）とする Ｑ（ｘ） ＝（ｘ＋３）Ｒ（ｘ）＋１　② ①、②より Ｐ（ｘ） ＝（ｘ－２）｛（ｘ＋３）Ｒ（ｘ）＋１｝＋７ ＝（ｘ－２）（ｘ＋３）Ｒ（ｘ）＋（ｘ－２）＋７ ＝（ｘ－２）（ｘ＋３）Ｒ（ｘ）＋ｘ＋５ よって、 Ｐ（－３） ＝－３＋５＝２ 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ²－１で割った余りが４ｘ－３であり、ｘ²－４で割った余りが３ｘ＋５である。Ｐ（ｘ）をｘ²＋３ｘ＋２で割った余りを求めよ。 商をＱ（ｘ）とする Ｐ（ｘ） ＝（ｘ²－１）Ｑ（ｘ）＋４ｘ－３ ＝（ｘ＋１）（ｘ－１）Ｑ（ｘ）＋４ｘ－３ Ｐ（－１）＝－７ Ｐ（ｘ） ＝（ｘ²－４）Ｑ（ｘ）＋３ｘ＋５ ＝（ｘ＋２）（ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋３ｘ＋５ Ｐ（－２）＝－１ ｘ²＋３ｘ＋２で割った余りをａｘ＋ｂとする Ｐ（ｘ） ＝（ｘ²＋３ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（－１） ＝－ａ＋ｂ＝－７　① Ｐ（－２） ＝－２ａ＋ｂ＝－１　② ①－②より ａ＝－６ ①に代入 ６＋ｂ＝－７　ｂ＝－13 よって、求める余りは －６ｘ－13 問題 ｘ⁹＋１をｘ²－１で割った余りを求めよ。 商をＱ（ｘ）、余りをａｘ＋ｂとする ｘ⁹＋１ ＝（ｘ²－１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ＝（ｘ＋１）（ｘ－１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ｘ＝－１を代入 （－１）⁹＋１＝－ａ＋ｂ －ａ＋ｂ＝０　① ｘ＝１を代入 １⁹＋１＝ａ＋ｂ ａ＋ｂ＝２　② ①－②より －２ａ＝－２　ａ＝１ ①に代入 －１＋ｂ＝０　ｂ＝１ よって、求める余りは ｘ＋１ 問題 組立除法を用いて、次の問いに答えよ。 1）ｘ³－３ｘ²＋４ｘ－４をｘ－１で割った商と余りを求めよ。 2）３ｘ⁴＋５ｘ³－２ｘ－12をｘ＋２で割った商と余りを求めよ。 3）２ｘ³－７ｘ²＋８ｘ－８を２ｘ－３で割った商と余りを求めよ。 1） １　－３　　４　－４　［１ 　　　１　－２　　２ １　－２　　２　　２ 商　ｘ²－２ｘ＋２ 余り　２ 2） ３　　５　０　－２　－12　［－２ 　　－６　２　－４　　12 ３　－１　２　－６　　０ 商　３ｘ³－ｘ²＋２ｘ－６ 余り　０ 3） ２　－７　　８　－８　［3/2 　　　３　－６　　３ ２　－４　　２　－５ ｛ｘ－（3/2）｝（２ｘ²－４ｘ＋２）－５ ＝２｛ｘ－（3/2）｝（ｘ²－２ｘ＋１）－５ ＝（２ｘ－３）（ｘ²－２ｘ＋１）－５ 商　ｘ²－２ｘ＋１ 余り　－５ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.10 剰余の定理と因数定理 👉ブログ TOP

文字式を使った証明 中３数学では、式の展開と因数分解の応用として、文字式を使った証明の学習があります。問題文からつくった式をもとに、式の最終形は、結論が一目で見て分かるようにします。 問題 ２つの続いた整数の積に大きい方の整数を加えた数は、大きい方の整数の２乗に等しい。次は、このことを次の［　］をうめて証明しなさい。 〔証明〕 小さい方の整数をｎとすると、２つの続いた整数は、［①］、［②］と表される。この２つの続いた整数の積に、大きい方の数を加えると、［③］となる。 したがって、２つの続いた整数の積に大きい方の整数を加えた数は、大きい方の整数の2乗に等しい。 ①　ｎ ②　ｎ＋１ ③ ｎ（ｎ＋１）＋（ｎ＋１） ＝ｎ²＋ｎ＋ｎ＋１ ＝ｎ²＋２ｎ＋１ ＝（ｎ＋１）² ２つの続いた整数の積 👉ｎ×（ｎ＋１） ２つの続いた整数の積に、大きい方の数を加える 👉ｎ（ｎ＋１）＋（ｎ＋１） 問題 下の図のように、縦がｘm、横がｙmの長方形の形をした花だんに沿った幅ａmの道がある。この道の面積をＳm²、道の真ん中を通る線の長さをℓmとするとき、Ｓ＝ａℓであることを証明しなさい。 〔証明〕 Ｓ＝（ｘ＋ａ）（ｙ＋ａ）－ｘｙ ＝ｘｙ＋ａｘ＋ａｙ＋ａ²－ｘｙ ＝ａｘ＋ａｙ＋ａ² よって、 Ｓ＝ａ（ｘ＋ｙ＋ａ）① ℓ＝ｘ＋（1/2）ａ＋ｙ＋（1/2）ａ ＝ｘ＋ｙ＋ａ 両辺にａをかけて ａℓ＝ａ（ｘ＋ｙ＋ａ）　② ①、②より Ｓ＝ａℓ Ｓ＝（ｘ＋ａ）（ｙ＋ａ）－ｘｙ 道と花だんを合わせた面積 👉縦（ｘ＋ａ）×横（ｙ＋ａ） 花だんの面積 👉縦ｘ×横ｙ ℓ＝ｘ＋（1/2）ａ＋ｙ＋（1/2）ａ 道の縦方向 👉花だんの縦ｘ＋道の半分（1/2）ａ 道の横方向 👉花だんの横ｙ＋道の半分（1/2）ａ 問題 ３つの続いた整数の積に真ん中の数を加えた数は、真ん中の数の３乗に等しくなる。このことを証明しなさい。 〔証明〕 真ん中の数をｎとすると、３つの続いた整数は、ｎ－１、ｎ、ｎ＋１と表される。 この３つの続いた整数の積に真ん中の数を加えると、 （ｎ－１）×ｎ×（ｎ＋１）＋ｎ ＝ｎ（ｎ²－１）＋ｎ ＝ｎ³－ｎ＋ｎ ＝ｎ³ したがって、３つの続いた整数の積に真ん中の数を加えた数は、真ん中の数の３乗に等しくなる。 ※ ３つの続いた整数を ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２とすると ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＋（ｎ＋１） ｎ＋１＝Ａ Ａｎ（ｎ＋２）＋Ａ ＝Ａ｛ｎ（ｎ＋２）＋１｝ ＝（ｎ＋１）（ｎ²＋２ｎ＋１） ＝（ｎ＋１）（ｎ＋１）² ＝（ｎ＋１）³ ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＋（ｎ＋１） ＝ｎ（ｎ²＋３ｎ＋２）＋（ｎ＋１） ＝ｎ³＋３ｎ²＋２ｎ＋ｎ＋１ ＝ｎ³＋３ｎ²＋３ｎ＋１ ３次式の因数分解の公式より ＝（ｎ＋１）³ 以上のように、ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２とすると、計算過程が多くなります。 👉真ん中を多項式にするから 大小の数をｎ－１、ｎ＋１とすると、 （ｎ－１）（ｎ＋１） ＝ｎ²－１ の形が出せるので、真ん中の数を単項式ｎにして±１をすると考えます。 問題 下の図のように、自然数が規則的に並んでいる。縦に並んだ３つの数について、真ん中の数の２乗から、その上下にある２つの数の積をひいた差は、25になることを証明しなさい。 〔証明〕 真ん中の数をｎとすると、縦に並んだ３つの数は、ｎ－５、ｎ、ｎ＋５と表される。 真ん中の数の２乗から、その上下にある２つの数の積をひいた差は、 ｎ²－（ｎ－５）（ｎ＋５） ＝ｎ²－（ｎ²－25） ＝ｎ²－ｎ²＋25 ＝25 したがって、真ん中の数の２乗から、その上下にある２つの数の積をひいた差は、25になる。 ※ ｎ、ｎ＋５、ｎ＋10 （ｎ＋５）²－ｎ（ｎ＋10） ＝ｎ²＋10ｎ＋25－ｎ²－10ｎ ＝25 問題 連続する２つの整数で、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、その２つの整数の和に等しいことを証明しなさい。 〔証明〕 連続する２つの整数は、整数ｎを使って、ｎ、ｎ＋１と表される。このとき、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、 （ｎ＋１）²－ｎ² ＝ｎ²＋２ｎ＋１－ｎ² ＝２ｎ＋１ ＝ｎ＋（ｎ＋１） したがって、連続する２つの整数で、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、その２つの整数の和に等しい。 ※ ２ｎ＋１ ＝ｎ＋（ｎ＋１） 大小の和になることが分かるようにする 問題 縦がａ、横がｂの長方形の花だんの周囲に、幅ｈの道がある。この道の面積をＳ、この道の真ん中を通る線の長さをℓとすると、Ｓ＝ｈℓであることを証明しなさい。 〔証明〕 Ｓ＝（ａ＋２ｈ）（ｂ＋２ｈ）－ａｂ ＝ａｂ＋２ａｈ＋２ｂｈ＋４ｈ²－ａｂ ＝２ａｈ＋２ｂｈ＋４ｈ² よって、 Ｓ＝ｈ（２ａ＋２ｂ＋４ｈ）　① ℓ＝２（ａ＋ｈ）＋２（ｂ＋ｈ） ＝２ａ＋２ｈ＋２ｂ＋２ｈ ＝２ａ＋２ｂ＋４ｈ　② したがって、①、②より Ｓ＝ｈℓ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.9 文字式を使った証明 👉ブログ TOP

実数解と虚数解 ２次方程式では、実数解または虚数解を求めることができます。解の公式のルートの部分が「０か正」の場合は実数解、「負」の場合は虚数解になります。これを利用した判別式では、方程式にある文字定数の範囲を求めることができます。 問題 次の条件を満たすように、定数ｍの値の範囲を求めよ。 1）２次方程式ｘ²＋（ｍ－３）ｘ＋１＝０が実数解をもつ。 2）２次方程式ｘ²－ｍｘ＋ｍ²－３ｍ－９＝０が異なる２つの虚数解をもつ。 1） 判別式をＤとする Ｄ＝（ｍ－３）²－４ 　＝ｍ²－６ｍ＋５ 異なる２つの実数解または重解をもつから Ｄ≧０より ｍ²－６ｍ＋５≧０ （ｍ－１）（ｍ－５）≧０ ｍ≦１、ｍ≧５ 2） 判別式をＤとする Ｄ＝ｍ²－４ｍ²＋12ｍ＋36 　＝－３ｍ²＋12ｍ＋36 異なる２つの虚数解をもつから －３ｍ²＋12ｍ＋36＜０ ｍ²－４ｍ－12＞０ （ｍ－６）（ｍ＋２）＞０ ｍ＜－２、ｍ＞６ 実数解：解の公式のルートの中が正または０ 虚数解：ルートの中が負 問題 ２次方程式ｘ²－２（ｍ＋１）ｘ＋４ｍ＝０が重解をもつとき、定数ｍの値とその重解を求めよ。 判別式をＤとする Ｄ/４ ＝（ｍ＋１）²－４ｍ ＝ｍ²－２ｍ＋１ 重解をもつから、Ｄ/４＝０より ｍ²－２ｍ＋１＝０ （ｍ－１）²＝０ ｍ＝１ このとき ｘ²－４ｘ＋４＝０ （ｘ－２）²＝０ ｘ＝２ よって、 ｍ＝１、重解は２ ※別解 ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０が重解をもつとき ｘ＝－ｂ/２ａ ｂ＝－２（１＋１）＝－４だから ４/２＝２　重解は２ 問題 次の２次方程式を解け。 1） ２（ｘ－１）²－２（ｘ－１）＋１＝０ 2） ３（ｘ＋２）²＋２（ｘ＋２）＋２＝０ 1） ｘ－１＝Ａ ２Ａ²－２Ａ＋１＝０ 解の公式より 　　１±√－１ Ａ＝━━━━ 　　　 ２ 　　１±ｉ Ａ＝━━━ 　　　２ 　　　　１±ｉ ｘ－１＝━━━ 　　　　　２ 　　３±ｉ ｘ＝━━━ 　　　２ 2） ｘ＋２＝Ａ ３Ａ²＋２Ａ＋２＝０ 解の公式より 　　－１±√－５ Ａ＝━━━━━ 　　　　３ 　　－１±√５ｉ Ａ＝━━━━━ 　　　　３ 　　　　－１±√５ｉ ｘ＋２＝━━━━━ 　　　　　　３ 　　－７±√５ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　　３ 問題 ２次方程式ｘ²＋ｍｘ＋２ｍ－３＝０が実数解をもち、ｘ²＋（ｍ－１）ｘ＋１＝０が虚数解をもつとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 ｘ²＋ｍｘ＋２ｍ－３＝０の判別式をＤ₁とする Ｄ₁＝ｍ²－８ｍ＋12 実数解をもつから、Ｄ≧０より ｍ²－８ｍ＋12≧０ （ｍ－２）（ｍ－６）≧０ ｍ≦２、ｍ≧６　① ｘ²＋（ｍ－１）ｘ＋１＝０の判別式をＤ₂とする Ｄ₂＝ｍ²－２ｍ＋１－４ 　＝ｍ²－２ｍ－３ 虚数解をもつから、Ｄ＜０より ｍ²－２ｍ－３＜０ （ｍ－３）（ｍ＋１）＜０ －１＜ｍ＜３　② ①、②の共通範囲だから －１＜ｍ≦２ 問題 ２つの２次方程式ｘ²＋ｍｘ＋１＝０、ｘ²－２ｍｘ＋３ｍ＝０について、次の条件を満たすような定数ｍの値の範囲を求めよ。 1）ともに虚数解をもつ。 2）少なくとも一方が虚数解をもつ。 3）どちらか一方だけが虚数解をもつ。 1） ｘ²＋ｍｘ＋１＝０の判別式をＤ₁、ｘ²－２ｍｘ＋３ｍ＝０の判別式をＤ₂とする Ｄ₁＜０　かつ　Ｄ₂＜０ Ｄ₁＝ｍ²－４＜０ （ｍ＋２）（ｍ－２）＜０ －２＜ｍ＜２　① Ｄ₂＝ｍ²－３ｍ＜０ ｍ（ｍ－３）＜０ ０＜ｍ＜３　② ①と②の共通部分だから ０＜ｍ＜２ 2） Ｄ₁＜０　または　Ｄ₂＜０ ①と②の和集合だから －２＜ｍ＜３ 3） Ｄ₁＜０かつＤ₂≧０ または Ｄ₁≧０かつＤ₂＜０ Ｄ₁＜０のとき －２＜ｍ＜２　③ Ｄ₂≧０のとき ｍ≦０、ｍ≧３　④ ③と④の共通部分だから －２＜ｍ≦０　⑤ Ｄ₁≧０のとき ｍ≦－２、ｍ≧２　➅ Ｄ₂＜０のとき ０＜ｍ＜３　⑦ ➅と⑦の共通部分だから ２≦ｍ＜３　⑧ ⑤と⑧の和集合だから －２＜ｍ≦０、２≦ｍ＜３ 問題 ｘの方程式ｍｘ²＋（ｍ－１）ｘ＋ｍ－１＝０がただ１つの実数解をもつとき、定数ｍの値を求めよ。 判別式をＤとする Ｄ＝（ｍ－１）²－４ｍ（ｍ－１） 　＝ｍ²－２ｍ＋１－４ｍ²＋４ｍ 　＝－３ｍ²＋２ｍ＋１ 重解をもつから、Ｄ＝０より －３ｍ²＋２ｍ＋１＝０ ３ｍ²－２ｍ－１＝０ ３　　１　　　１ 　× １　－１　　－３ 　　　　　　－２ （３ｍ＋１）（ｍ－１）＝０ ｍ＝－1/3、１ 「ｘの方程式」だから、２次の係数ｍ＝０、すなわち１次方程式の場合も求める。 ｍ＝０のとき －ｘ－１＝０ ｘ＝－１ 実数解をもつから、ｍ＝０も満たす よって、 ｍ＝－1/3、０、１ 問題 ｋは実数の定数とする。方程式ｘ²＋（３＋２ｉ）ｘ＋（２ｋ＋４ｉ）＝０が実数解をもつように、ｋの値を定めよ。また、その実数解を求めよ。 ｘ²＋（３＋２ｉ）ｘ＋（２ｋ＋４ｉ）＝０ ｘ²＋３ｘ＋２ｉｘ＋２ｋ＋４ｉ＝０ （ｘ²＋３ｘ＋２ｋ）＋（２ｘ＋４）ｉ＝０ 実部と虚部がともに０になるから ｘ²＋３ｘ＋２ｋ＝０　① ２ｘ＋４＝０　② ②より　ｘ＝－２ ①に代入 ４－６＋２ｋ＝０ ｋ＝１ よって、 ｋ＝１、実数解は－２ 問題 ａ、ｂ、ｃは実数の定数とする。２次方程式ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０は次の場合において、虚数解をもたないことを示せ。 1）ｂ＝ａ＋ｃ 2）ａ＋ｃ＝０ 3）ａとｃが異符号 1） ｂ＝ａ＋ｃを代入 ａｘ²＋（ａ＋ｃ）ｘ＋ｃ＝０ ａ　　ｃ　　ｃ 　　× １　　１　　ａ 　　　　ａ＋ｃ （ａｘ＋ｃ）（ｘ＋１）＝０ ｘ＝－ｃ/ａ、－１ ａとｃはともに実数だから、２つの解は実数解である。 したがって、 ｂ＝ａ＋ｃの場合は、虚数解をもたない。 2） ａ＋ｃ＝０より ｃ＝－ａ　式に代入 ａｘ²＋ｂｘ－ａ＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝ｂ²＋４ａ² ａとｂは実数だから ａ²＞０、ｂ²≧０ 👉２次方程式だからａは０を含まない よって、 ｂ²＋４ａ²＞０ したがって、 ａ＋ｃ＝０の場合は、虚数解をもたない。 3） ａ＜０かつｃ＞０ または ａ＞０かつｃ＜０ ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の判別式をＤとする Ｄ＝ｂ²－４ａｃ ａ、ｂ、ｃは実数だから ａ＜０かつｃ＞０のとき ｂ²－４ａｃ＞０　※ ａ＞０かつｃ＜０のとき ｂ²－４ａｃ＞０ したがって、 ａとｃが異符号のとき、虚数解をもたない。 ※ ｂ²≧０ ａとｃが異符号なら、－４ａｃは正 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.9 実数解と虚数解 👉ブログ TOP

因数分解 式の見方 因数分解の計算式を見たとき、「式をどう見ればよいか？」ということは、数学の一つのテーマだと思います。式の見方には３つあり、「乗法公式」、「共通因数」、「置きかえ」の方法を使います。 問題 次の式を因数分解しなさい。 1）ａｘ²－16ａ 2）５ｘ²－５ｙ² 3）３ｘ²－６ｘ－45 4）８ａ²ｂ－18ｂ 1） ａｘ²－16ａ 共通因数でくくれるか？ ａｘ²－16ａ 乗法公式を使えるか？　ａ²－ｂ² ａｘ²－16ａ ａｘ²－16ａ ＝ａ（ｘ²－16） ＝ａ（ｘ＋４）（ｘ－４） 2） ５ｘ²－５ｙ² ５ｘ²－５ｙ² ５ｘ²－５ｙ² ５ｘ²－５ｙ² ＝５（ｘ²－ｙ²） ＝５（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ） 3） ３ｘ²－６ｘ－45 ３ｘ²－６ｘ－45 ３ｘ²－６ｘ－45 👉乗法公式　ｘ²＋△ｘ＋□（□：積　△：和） 　 ３ｘ²－６ｘ－45 ＝３（ｘ²－２ｘ－15） 積－15　和－２👉－５と＋３ ＝３（ｘ－５）（ｘ＋３） 4） ８ａ²ｂ－18ｂ ８ａ²ｂ－18ｂ ＝２ｂ（４ａ²－９） ＝２ｂ｛（２ａ）²－３²｝ ＝２ｂ（２ａ＋３）（２ａ－３） 問題 次の式を因数分解しなさい。 1） （ｘ＋６）²＋５（ｘ＋６）＋６ 2） （ｘ＋３）²－２（ｘ＋３）－24 3） 49ａ²－（ａ＋５）² 1） （ｘ＋６）²＋５（ｘ＋６）＋６ （ｘ＋６）²＋５（ｘ＋６）＋６ （ｘ＋６）²＋５（ｘ＋６）＋６ 👉乗法公式　ｘ²＋△ｘ＋□ 積＋６　和＋５👉＋２と＋３ （〇＋２）（〇＋３） （ｘ＋６）²＋５（ｘ＋６）＋６ ｘ＋６＝Ａ　置きかえ Ａ²＋５Ａ＋６ ＝（Ａ＋２）（Ａ＋３） ＝（ｘ＋６＋２）（ｘ＋６＋３） ＝（ｘ＋８）（ｘ＋９） ★因数分解は「計算の効率」を考える学習 （ｘ＋６）²＋５（ｘ＋６）＋６ ＝ｘ²＋12ｘ＋36＋５ｘ＋30＋６ ＝ｘ²＋17ｘ＋72 ＝（ｘ＋８）（ｘ＋９） 👉展開してからでも結果は同じになります 2） （ｘ＋３）²－２（ｘ＋３）－24 （ｘ＋３）²－２（ｘ＋３）－24 （ｘ＋３）²－２（ｘ＋３）－24 （ｘ＋３）²－２（ｘ＋３）－24 ｘ＋３＝Ａ Ａ²－２Ａ－24 ＝（Ａ－６）（Ａ＋４） ＝（ｘ＋３－６）（ｘ＋３＋４） ＝（ｘ－３）（ｘ＋７） 3） 49ａ²－（ａ＋５）² 49ａ² －（ａ＋５）² 👉乗法公式　 　△²－□²＝（△＋□）（△－□） 49ａ²－（ａ＋５）² ＝（７ａ）²－（ａ＋５）² ＝｛７ａ＋（ａ＋５）｝｛７ａ－（ａ＋５）｝ ＝（７ａ＋ａ＋５）（７ａ－ａ－５） ＝（８ａ＋５）（６ａ－５） ｛中カッコ｝でくくることは、あくまでも計算の手順を示すためのものです。 （ａ＋５）を１つの数字（カタマリ）として見ることができれば （７ａ）²－（ａ＋５）² ＝（７ａ＋ａ＋５）（７ａ－ａ－５） のように、カタマリごと頭の中で足す・引くことで、書く手順を１つスキップすることができます。 計算の効率は、公式を覚えることの他に、計算のルールをつかんでおくことと、自分から工夫してみることで向上します。 問題 次の式を因数分解しなさい。 1） （ｘ＋１）（ｘ－３）＋４ 2） （ｘ－５）（ｘ＋３）－２ｘ＋10 3） （ｘ＋５）（ｘ－２）－３（ｘ－３） 1） （ｘ＋１）（ｘ－３）＋４ 共通因数、乗法公式、置きかえが使えない 👉一度展開する （ｘ＋１）（ｘ－３）＋４ ＝ｘ²－２ｘ－３＋４ ＝ｘ²－２ｘ＋１ ＝（ｘ－１）² 👉乗法公式 　ｘ²－２ａｘ＋ａ²＝（ｘ－ａ）² 2） （ｘ－５）（ｘ＋３）－２ｘ＋10 ＝ｘ²－２ｘ－15－２ｘ＋10 ＝ｘ²－４ｘ－５ ＝（ｘ－５）（ｘ＋１） 3） （ｘ＋５）（ｘ－２）－３（ｘ－３） ＝ｘ²＋３ｘ－10－３ｘ＋９ ＝ｘ²－１ ＝ｘ²－１² ＝（ｘ＋１）（ｘ－１） 問題 次の式を因数分解しなさい。 1） ａ（ｘ－ｙ）－ｂｘ＋ｂｙ 2） ｘｙ－６ｘ＋ｙ－６ 3） ２（ａ＋ｂ）²－８ 1） ａ（ｘ－ｙ）－ｂｘ＋ｂｙ 共通因数 ａ（ｘ－ｙ）－ｂｘ＋ｂｙ ＝ａ（ｘ－ｙ）－ｂ（ｘ－ｙ） 置きかえ ＝ａＭ－ｂＭ ＝（ａ－ｂ）Ｍ ＝（ａ－ｂ）（ｘ－ｙ） ※展開の場合 ａ（ｘ－ｙ）－ｂｘ＋ｂｙ ＝ａｘ－ａｙ－ｂｘ＋ｂｙ ＝ａｘ－ｂｘ－ａｙ＋ｂｙ ＝（ａ－ｂ）ｘ－（ａ－ｂ）ｙ ＝Ｍｘ－Ｍｙ ＝Ｍ（ｘ－ｙ） ＝（ａ－ｂ）（ｘ－ｙ） 2） ｘｙ－６ｘ＋ｙ－６ ｘｙ－６ｘ＋ｙ－６ ＝ｘ（ｙ－６）＋（ｙ－６） ＝ｘＭ＋Ｍ ＝（ｘ＋１）Ｍ ＝（ｘ＋１）（ｙ－６） 別解 ｘｙ－６ｘ＋ｙ－６ ＝ｘｙ＋ｙ－６ｘ－６ ＝（ｘ＋１）ｙ－６（ｘ＋１） ＝Ｍｙ－６Ｍ ＝Ｍ（ｙ－６） ＝（ｘ＋１）（ｙ－６） 3） ２（ａ＋ｂ）²－８ ２（ａ＋ｂ）²－８ ＝２（Ｍ²－４） ＝２（Ｍ²－２²） ＝２（Ｍ＋２）（Ｍ－２） ＝２（ａ＋ｂ＋２）（ａ＋ｂ－２） 👉共通因数でくくる前に、△²－□²の乗法公式を使うことを先読みして、（ａ＋ｂ）をＭに置きかえます。計算の流れの先を読むことも、効率とスピードアップを図るための大切な要素です。 乗法公式のしくみ 基本形 ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ） 「ｘ²」から始まる式 真ん中ｘの係数　　　👉和 末尾の数字（定数項）👉積 （ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）を１つずつ分配すると ｘ²＋ｂｘ＋ａｘ＋ａｂ ＝ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ 末尾の積から考えるようにします ｘ²＋12ｘ＋11＝０ 積：11　＋１×（＋11）＝11 和：12　＋１＋（＋11）＝12 積と和の組み合わせが同じ 👉（ｘ＋１）（ｘ＋11）に因数分解できる ｘ²＋２ａｘ＋ａ² ＝（ｘ＋ａ）² しくみは基本形と同じ ｘ²＋６ｘ＋９ ＝（ｘ＋３）（ｘ＋３） ＝（ｘ＋３）² のように、和と積の関係で分解できますが、真ん中ｘの両側が「２乗」の数になる場合は、別の見方をします。 ｘ²＋６ｘ＋９ ＝ｘ² ＋６ｘ ＋３² ｘと＋３の積の２倍が、真ん中の項になる。 ｘ×（＋３）×２＝＋６ｘ 👉（ｘ＋３）² に因数分解できる ｘ²－６ｘ＋９ ＝ｘ²－６ｘ＋（－３）² ＝（ｘ－３）² ９ｘ²＋12ｘ＋４ ＝（３ｘ）²＋12ｘ＋２² ＝（３ｘ＋２）² ｘ²－ａ² ＝（ｘ＋ａ）（ｘ－ａ） しくみは基本形と同じで、 ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ の真ん中ｘの係数が「０」になっている形と考えます。 （ｘ＋ａ）（ｘ－ａ） ＝ｘ²－ａｘ＋ａｘ－ａ² ＝ｘ²－ａ² 👉（かっこ）の中の符号だけ違う場合は、２乗どうしの引き算型になる。 ｘ²－９ ＝ｘ²－３² ＝（ｘ＋３）（ｘ－３） ４ｘ²－ｙ² ＝（２ｘ）²－ｙ² ＝（２ｘ＋ｙ）（２ｘ－ｙ） 👉因数分解 練習問題 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.8 因数分解 式の見方 👉ブログ TOP

連立方程式 足し算と引き算 連立方程式では、２つの方程式を使って２つの文字について解きます。２つの式を足し算または引き算して、片方の文字を「０」にすることから始めます。これを「加減法」といいます。 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ２ｘ＋ｙ＝８ ４ｘ－ｙ＝10 2） ｘ＋４ｙ＝６ ｘ＋３ｙ＝５ 3） ５ｘ＋２ｙ＝12 ３ｘ－２ｙ＝４ 1） ２ｘ＋ｙ＝８　① ４ｘ－ｙ＝10　② ｘとｙどちらかを「０」にする ２ｘ＋ １ｙ＝８ ４ｘ－ １ｙ＝10 👉ｙを足し算で「０」 （＋１ｙ）＋（－１ｙ）＝０ 　　２ｘ＋ｙ＝８ ＋）４ｘ－ｙ＝10 　　６ｘ　　＝18 　　　　　ｘ＝３ ①か②の式に代入する ｘ＝３を、①に代入 ２×３＋ｙ＝８ ６＋ｙ＝８ ｙ＝２ ※②に代入してもｙ＝２ 答え ｘ＝３、ｙ＝２ 2） ｘ＋４ｙ＝６　① ｘ＋３ｙ＝５　② ①－② 　　ｘ＋４ｙ＝６ －）ｘ＋３ｙ＝５ 　　　　　ｙ＝１ ②に代入 ｘ＋３＝５　ｘ＝２ よって、 ｘ＝２、ｙ＝１ 3） ５ｘ＋２ｙ＝12　① ３ｘ－２ｙ＝４　② ①＋② 　　５ｘ＋２ｙ＝12 ＋）３ｘ－２ｙ＝４ 　　８ｘ　　　＝16 　　　　　　ｘ＝２ ②に代入 ６－２ｙ＝４ －２ｙ＝－２　ｙ＝１ よって、 ｘ＝２、ｙ＝１ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） －６ｘ－ｙ＝18 ６ｘ－３ｙ＝６ 2） ４ｘ＋ｙ＝９ ２ｘ＋ｙ＝７ 3） －ｘ＋ｙ＝５ －ｘ－ｙ＝９ 1） －６ｘ－ｙ＝18　① ６ｘ－３ｙ＝６　② ①＋② 　－６ｘ－　ｙ＝18 ＋）６ｘ－３ｙ＝６ 　　　　－４ｙ＝24 　　　　　　ｙ＝－６ ①に代入 －６ｘ＋６＝18 －６ｘ＝12　ｘ＝－２ よって、 ｘ＝－２、ｙ＝－６ 2） ４ｘ＋ｙ＝９　① ２ｘ＋ｙ＝７　② ①－② 　　４ｘ＋ｙ＝９ －）２ｘ＋ｙ＝７ 　　２ｘ　　＝２ 　　　　　ｘ＝１ ②に代入 ２＋ｙ＝７　ｙ＝５ よって、 ｘ＝１、ｙ＝５ 3） －ｘ＋ｙ＝５　① －ｘ－ｙ＝９　② ①－② 　　－ｘ＋ｙ＝５ －）－ｘ－ｙ＝９ 　　　　２ｙ＝－４ 　　　　　ｙ＝－２ ①に代入 －ｘ－２＝５ －ｘ＝７　ｘ＝－７ よって、 ｘ＝－７、ｙ＝－２ 係数が同じで、同符号 👉引き算で「０」 　　＋３ｘ　　　－５ｙ －）＋３ｘ　－）－５ｙ 　　　　０　　　　　０ 係数が同じで、異符号 👉足し算で「０」 　　＋３ｘ　　　－５ｙ ＋）－３ｘ　＋）＋５ｙ 　　　　０　　　　　０ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ２ｘ＋３ｙ＝６ ｘ＋２ｙ＝５ 2） ｘ＋４ｙ＝７ ２ｘ－３ｙ＝３ 3） ２ｘ－３ｙ＝－５ 10ｘ－２ｙ＝－12 1） ２ｘ＋３ｙ＝６　① ｘ＋２ｙ＝５　　② ｘかｙの係数をそろえる ２ｘ＋３ｙ＝６ 　ｘ＋２ｙ＝５ ②×２（②の両辺２倍） ｘ＋２ｙ＝５ 👇 ２ｘ＋４ｙ＝10　②’ ②’－① 　　２ｘ＋４ｙ＝10 －）２ｘ＋３ｙ＝６ 　　　　　　ｙ＝４ ②に代入 ｘ＋８＝５　ｘ＝－３ よって、 ｘ＝－３、ｙ＝４ 2） ｘ＋４ｙ＝７　　① ２ｘ－３ｙ＝３　② ①×２ ２ｘ＋８ｙ＝14　①’ ①’－② 　　２ｘ＋８ｙ＝14 －）２ｘ－３ｙ＝３ 　　　　　11ｙ＝11 　　　　　　ｙ＝１ ①に代入 ｘ＋４＝７　ｘ＝３ よって、 ｘ＝３、ｙ＝１ 3） ２ｘ－３ｙ＝－５　① 10ｘ－２ｙ＝－12　② ①×５ 10ｘ－15ｙ＝－25　①’ ①’－② 　　10ｘ－15ｙ＝－25 －）10ｘ－２ｙ＝－12 　　　　－13ｙ＝－13 　　　　　　ｙ＝１ ①に代入 ２ｘ－３＝－５ ２ｘ＝－２　ｘ＝－１ よって、 ｘ＝－１、ｙ＝１ 4） ７ｘ－４ｙ＝18 ５ｘ＋ｙ＝９ 5） －３ｘ＋２ｙ＝６ ５ｘ－４ｙ＝－12 4） ７ｘ－４ｙ＝18　① ５ｘ＋ｙ＝９　　② ①＋②×４ 　　７ｘ－４ｙ＝18 ＋）20ｘ＋４ｙ＝36 　　27ｘ　　　＝54 　　　　　　ｘ＝２ ②に代入 10＋ｙ＝９　ｙ＝－１ よって、 ｘ＝２、ｙ＝－１ 5） －３ｘ＋２ｙ＝６　① ５ｘ－４ｙ＝－12　② ①×２＋② 　－６ｘ＋４ｙ＝12 ＋）５ｘ－４ｙ＝－12 　　－ｘ　　　＝０ 　　　　　　ｘ＝０ ①に代入 ０＋２ｙ＝６　ｙ＝３ よって、 ｘ＝０、ｙ＝３ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.8 連立方程式 足し算と引き算 👉ブログ TOP

角度の計算 中学数学の角度の計算では、多角形の内角と外角の和、三角形の外角、平行線の同位角と錯角など、さまざまな性質をもとに角度を計算します。二等辺三角形や平行四辺形などの図形の性質も利用します。 問題 下の図で、∠ｘの大きさは何度ですか。 多角形の外角の和は360° ∠ｘの外角の大きさは 360°－（80°＋70°＋40°＋65°＋55°） ＝360°－310° ＝50° よって、 ∠ｘ＝180°－50°＝130° 問題 下の図は、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨであり、辺ＣＧ上に点Ｐをとったものである。∠ＣＡＰ＝25°、∠ＥＰＧ＝78°のとき、∠ＡＰＥの大きさは何度ですか。 △ＡＣＰで ∠ＡＰＣ ＝180°－∠ＣＡＰ－∠ＡＣＰ ＝180°－25°－90° ＝65° ∠ＡＰＥ ＝180°－∠ＡＰＣ－∠ＥＰＧ ＝180°－65°－78°　　　　 ＝37° 問題 下の図のひし形ＡＢＣＤで、∠ｘの大きさは何度ですか。 ＡＣとＢＤの交点をＰとする 対角線は垂直に交わるから ∠ＤＰＣ＝90° ∠ＤＣＰ ＝180°－∠ＤＰＣ－∠ＣＤＰ ＝180°－90°－40° ＝50° △ＤＣＡはＤＡ＝ＤＣの二等辺三角形 底角は等しいから ∠ｘ＝∠ＤＣＰ よって、∠ｘ＝50° 問題 下の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。 △ＤＥＦと△ＤＡＣの外角は等しいから ｘ＋60°＝∠ＤＡＣ＋∠ＤＣＡ ∠ＤＡＣ＋∠ＤＣＡ ＝180°－（40°＋33°＋25°） ＝180°－98° ＝82° よって、 ｘ＋60°＝82° ｘ＝22° 問題 下の図で、四角形ＡＢＣＤはひし形、四角形ＡＥＦＤは正方形である。∠ＣＦＥの大きさを求めなさい。 ＡＢＣＤはひし形だから ＤＡ＝ＤＣ　① ＡＥＦＤは正方形だから ＤＡ＝ＤＦ　② ①、②より ＤＣ＝ＤＦ よって、△ＤＣＦは二等辺三角形 ひし形の対角は等しいから ∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＝48° ∠ＣＤＦ ＝∠ＡＤＦ－∠ＡＤＣ ＝90°－48° ＝42° 二等辺三角形の底角は等しいから ∠ＤＦＣ＝（180°－42°）÷２＝69° ∠ＣＦＥ ＝∠ＤＦＥ－ＤＦＣ ＝90°－69° ＝21° 問題 下の図のように、長方形の紙ＡＢＣＤを、頂点Ｄが辺ＢＣ上の点Ｅにくるように折り曲げたときの折り目をＦＧとする。∠ＤＦＧ＝ａ°とするとき、次の角の大きさを、ａを使って表しなさい。 1）∠ＢＥＦ 2）∠ＣＥＧ 1）∠ＢＥＦ ＡＢＣＤは長方形だから ＡＤ//ＢＣ 平行線の錯角だから ∠ＢＥＦ＝∠ＤＦＥ　① △ＦＤＧ≡△ＦＥＧだから ∠ＤＦＧ＝∠ＥＦＧ＝ａ° よって、 ∠ＤＦＥ ＝∠ＤＦＧ＋∠ＥＦＧ＝２ａ° ①より ∠ＢＥＦ＝２ａ° 2）∠ＣＥＧ △ＦＤＧ≡△ＦＥＧだから ∠ＦＥＧ＝∠Ｄ＝90° ∠ＣＥＧ ＝180°－（∠ＢＥＦ＋∠ＦＥＧ） ＝180°－（２ａ°＋90°） ＝180°－２ａ°－90° ＝90°－２ａ° 問題 次の問いに答えなさい。 1）ひとつの内角が160°である正多角形は、正何角形か求めなさい。 2）内角の和が2700°になる多角形を求めなさい。 3）40角形の対角線の本数を求めなさい。 1） 正ｎ角形の内角の数はｎ個 ひとつが160°だから 内角の和は、160°×ｎ＝160ｎ° ｎ角形の内角の和の公式より 180（ｎ－２）＝160ｎ 両辺÷20 ９（ｎ－２）＝８ｎ ９ｎ－18＝８ｎ ｎ＝18 よって、正十八角形 2） ｎ角形の内角の和の公式より 180（ｎ－２）＝2700 両辺÷180 ｎ－２＝15 ｎ＝17 よって、十七角形 3） ｎ角形の対角線の本数の公式より ｎ（ｎ－３） ━━━━━━ 　　 ２ 　40（40－３） ＝━━━━━━ 　　　 ２ ＝20×37 ＝740 よって、740本 ｎ（ｎ－３） ━━━━━━ 　　 ２ （ｎ－３） 👉１つの頂点とその両隣の頂点の計３点には対角線が引けない ｎ（ｎ－３） 👉ｎ個の頂点から引くことができる対角線の本数　※ただし、同じ対角線を往復して数えた本数 ｎ（ｎ－３）÷２ 👉ｎ（ｎ－３）は、同じ対角線を往復して数えた本数だから、同じ対角線は１本分として２で割って数える。 問題 下の図の五角形ＡＢＣＤＥは正五角形である。∠ｘの大きさを求めなさい。 正五角形の辺はそれぞれ等しい △ＢＡＣはＢＡ＝ＢＣの二等辺三角形 ∠Ｂ＝180×（５－２）÷５ 　　＝108° 底角それぞれの大きさは （180°－108°）÷２＝36° よって、 ∠ＢＡＣ＝36° △ＢＡＣ≡△ＥＡＤだから ∠ＥＡＤ＝36° よって、 ∠ｘ＝108°－36°×２ 　　＝36° 問題 下の図のように、長方形の紙を線分ＡＢを折り目として折り返したとき、色をつけた角の大きさを求めなさい。 折り返した図形だから ∠ＡＢＣ＝80° ＡＤ//ＢＣより ∠ＡＢＣ＋∠ＤＡＢ＝180°だから ∠ＤＡＢ＝100° 折り返した図形だから ∠ＦＡＢ＝∠ＤＡＢ＝100° 平行線の錯角だから ∠ＥＡＢ＝∠ＡＢＣ＝80° ∠ＦＡＥ ＝∠ＦＡＢ－∠ＥＡＢ ＝100°－80° ＝20° 折り返した図形だから ∠Ｆ＝∠Ｃ＝90° △ＡＥＦにおいて ∠ＡＥＦ ＝180°－∠ＦＡＥ－∠Ｆ ＝180°－20°－90° ＝70° 問題 下の図のように、点Ｏを中心とする円に、△ＡＢＣと△ＤＢＣが内接している。また、点ＯはＣＤ上にある。∠ＡＣＤ＝25°のとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 直径ＤＣに対する円周角だから ∠ＤＢＣ＝90° 弧ＡＤに対する円周角だから ∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝25° ∠ｘ＝∠ＤＢＣ－∠ＡＢＤ 　　＝90°－25° 　　＝65° 別解 線分ＯＡを引く △ＯＡＣは、ＯＡ＝ＯＣの二等辺三角形 ∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝25°だから ∠ＡＯＣ ＝180°－25°×２ ＝130° ∠ＡＢＣは弧ＡＣに対する円周角だから ∠ＡＢＣ＝（1/2）∠ＡＯＣ ※中心角の半分の大きさ よって、 ∠ＡＢＣ ＝（1/2）×130° ＝65° 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.7 角度の計算 👉ブログ TOP

動点と三角形の面積 図形上の動点問題では、一次関数と二次関数の式をもとに三角形の面積を求めます。点が動いている間は、ｘとｙの値が変化するので、グラフに作図して式とリンクさせながら解き進めます。 問題 下の図のような、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝４、ＡＤ＝８、ＢＣ//ＡＤの台形ＡＢＣＤがある。 ２点Ｐ、Ｑは同時に点Ａを出発し、点Ｐは台形ＡＢＣＤの周上を右回り（Ａ→Ｂ→Ｃ→・・の向き）に毎秒２の速さで動き、点Ｑは台形ＡＢＣＤの周上を左回り（Ａ→Ｄ→Ｃ→・・の向き）に毎秒１の速さで動くものとする。 ２点Ｐ、Ｑが出発してから、ｘ秒後の三角形ＡＰＱの面積をｙとする。ただし、３点Ａ、Ｐ、Ｑが一直線上にあるときはｙ＝０とする。 1）∠ＢＡＤの大きさを求めよ。 2）２点Ｐ、Ｑが初めて一致するときのｘの値を求めよ。 3）点Ｐがそれぞれの辺上にあるときのｘとｙの関係を式で表せ。 ①　ＡＢ ②　ＢＣ ③　ＣＤ 4）√３≦ｙ≦5√3/2のとき、ｘのとりうる値の範囲を求めよ。 1） 点ＰがＢにあるとき ｘ＝２だから、ＡＱ＝２ よって、∠ＡＱＰ＝90° ＡＰ：ＡＱ＝４：２＝２：１より ∠ＢＡＤ＝60° 2） ２点の移動距離は 点Ｐが２ｘ、点Ｑがｘ 移動距離の和が周の長さだから ２ｘ＋ｘ＝４×３＋８ ３ｘ＝20 ｘ＝20/3 3）①ＡＢ △ＡＰＱは ∠ＡＱＰ＝90°、∠ＰＡＱ＝60°だから ＰＱ：ＡＱ＝√３：１ ＰＱ：ｘ＝√３：１ ＰＱ＝√３ｘ 底辺ＡＱ、高さＰＱとなるから ｙ＝（1/2）ｘ×√３ｘ ｙ＝（√3/2）ｘ²　（０≦ｘ≦２） ②ＢＣ ２≦ｘ≦４だから、点ＱはＡＤ上 △ＡＰＱの高さは ｘ＝２のときのＰＱの長さになる ＰＱ：ＰＡ＝√３：２ ＰＱ：４＝√３：２ ＰＱ＝２√３ 底辺ＡＱ＝ｘだから ｙ＝（1/2）×ｘ×（2√3） ｙ＝√３ｘ ③ＣＤ ４≦ｘ≦６だから、点ＱはＡＤ上 ＰＤ＝（ＡからＤまでの長さ）－（Ａからの移動距離）だから ＰＤ＝４×３－２ｘ 　　＝12－２ｘ 点ＰからＡＤへの垂線をＰＨとする ∠ＣＤＡ＝∠ＰＤＱ＝60°だから ＰＨ：ＰＤ＝√３：２ ＰＨ：（12－2ｘ）＝√３：２ ＰＨ＝（√3/2）×（12－2ｘ） 　　＝√3（6－ｘ） 底辺ＡＱ＝ｘ、高さＰＨとなるから ｙ＝（1/2）×ｘ×√3（6－ｘ） ｙ＝（√3/2）ｘ（6－ｘ） 4） ｘ＝２のとき、ｙ＝２√３ ｘ＝４のとき、ｙ＝４√３ ｘ＝６のとき、ｙ＝０ ｙ＝√３、ｙ＝5√3/2になるのは、 点ＰがＣを通過するまで（面積が増え続ける間）と、Ｃを通過した後（面積が減り続ける間）にそれぞれ２点ある。 ｙ＝√３になるのは、 ０≦ｘ≦２、４≦ｘ≦６のとき ０≦ｘ≦２のとき、 ｙ＝（√3/2）ｘ²だから √３＝（√3/2）ｘ² ｘ²＝２ ０≦ｘ≦２より、ｘ＝√２　① ４≦ｘ≦６のとき、 ｙ＝（√3/2）ｘ（6－ｘ）だから √３＝（√3/2）ｘ（6－ｘ） ６ｘ－ｘ²＝２ ｘ²－６ｘ＋２＝０ ４≦ｘ≦６より、ｘ＝３＋√７　② ｙ＝5√3/2（ｙ＝2.5√3）になるのは ２≦ｘ≦４、４≦ｘ≦６のとき ２≦ｘ≦４のとき、 ｙ＝√３ｘだから 5√3/2＝√３ｘ ｘ＝5/2　③（２≦ｘ≦４に適する） ４≦ｘ≦６のとき、 ｙ＝（√3/2）ｘ（6－ｘ）だから 5√3/2＝（√3/2）ｘ（6－ｘ） ６ｘ－ｘ²＝５ ｘ²－６ｘ＋５＝０ （ｘ－１）（ｘ－５）＝０ ４≦ｘ≦６より、ｘ＝５　④ ①、③より（点ＰがＣを通過するまで） √２≦ｘ≦5/2 ②、④より（点ＰがＣを通過した後） ５≦ｘ≦√３＋７ 👉立体図形の動点 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.7 動点と三角形の面積 👉ブログ TOP

因数分解の練習問題 中学数学 中学数学のテストによく出る因数分解の計算問題を掲載しています。後段では、因数分解の問題集リンクも掲載しています。 問題 次の式を因数分解しなさい。 1）ｙ²－64 2）ａ²－36 3）25－ｘ² 1） ｙ²－64 ＝ｙ²－８² ＝（ｙ＋８）（ｙ－８） 2） ａ²－36 ＝ａ²－６² ＝（ａ＋６）（ａ－６） 3） 25－ｘ² ＝５²－ｘ² ＝（５＋ｘ）（５－ｘ） 問題 次の式を因数分解しなさい。 1）３ｘ²＋６ｘ－24 2）－２ｙ²＋10ｙ＋12 3）３ｘ²＋18ｘ＋27 4）２ｘ²－18 5）ａｘ²＋２ａｘ－３ａ 6）２ａ²ｂ＋４ａｂ＋２ｂ 1） ３ｘ²＋６ｘ－24 ＝３（ｘ²＋２ｘ－８） ＝３（ｘ＋４）（ｘ－２） 2） －２ｙ²＋10ｙ＋12 ＝－２（ｙ²－５ｙ－６） ＝－２（ｙ－６）（ｙ＋１） 3） ３ｘ²＋18ｘ＋27 ＝３（ｘ²＋６ｘ＋９） ＝３（ｘ＋３）² 4） ２ｘ²－18 ＝２（ｘ²－９） ＝２（ｘ＋３）（ｘ－３） 5） ａｘ²＋２ａｘ－３ａ ＝ａ（ｘ²＋２ｘ－３） ＝ａ（ｘ＋３）（ｘ－１） 6） ２ａ²ｂ＋４ａｂ＋２ｂ ＝２ｂ（ａ²＋２ａ＋１） ＝２ｂ（ａ＋１）² 問題 次の式を因数分解しなさい。 1）９ｘ²－12ｘ＋４ 2）４ａ²－20ａ＋25 3）ｘ²＋14ｘｙ＋49ｙ² 4）ｘ²－16ｙ² 5）25ａ²－64ｂ² 6）16ｘ²－４ 1） ９ｘ²－12ｘ＋４ ＝（３ｘ）²－12ｘ＋（－２）² ＝（３ｘ－２）² 👉３ｘ×（－２）×２＝－12 2） ４ａ²－20ａ＋25 ＝（２ａ）²－20ａ＋（－５）² ＝（２ａ－５）² 3） ｘ²＋14ｘｙ＋49ｙ² ＝ｘ²＋14ｘｙ＋（７ｙ）² ＝（ｘ＋７ｙ）² 4） ｘ²－16ｙ² ＝ｘ²－（４ｙ）² ＝（ｘ＋４ｙ）（ｘ－４ｙ） 5） 25ａ²－64ｂ² ＝（５ａ）²－（８ｂ）² ＝（５ａ＋８ｂ）（５ａ－８ｂ） 6） 16ｘ²－４ ＝４（４ｘ²－１） ＝４｛（２ｘ）²－１²｝ ＝４（２ｘ＋１）（２ｘ－１） ※別解 16ｘ²－４ ＝（４ｘ）²－２² ＝（４ｘ＋２）（４ｘ－２） ＝２（２ｘ＋１）×２（２ｘ－１） ＝４（２ｘ＋１）（２ｘ－１） 問題 次の式を因数分解しなさい。 1） （ｂ＋３）ｘ－（ｂ＋３）ｙ 2） （ｘ－ｙ）²＋８（ｘ－ｙ）＋15 1） （ｂ＋３）ｘ－（ｂ＋３）ｙ ＝Ｍｘ－Ｍｙ ＝Ｍ（ｘ－ｙ） ＝（ｂ＋３）（ｘ－ｙ） 2） （ｘ－ｙ）²＋８（ｘ－ｙ）＋15 ＝Ｍ²＋８Ｍ＋15 ＝（Ｍ＋３）（Ｍ＋５） ＝（ｘ－ｙ＋３）（ｘ－ｙ＋５） 3） （ａ＋ｂ）²－（ａ＋ｂ）－30 4） （ｘ＋２）²－６（ｘ＋２）＋９ 5） （２ｘ＋１）²－（ｘ＋３）² 3） （ａ＋ｂ）²－（ａ＋ｂ）－30 ＝Ｍ²－Ｍ－30 ＝（Ｍ－６）（Ｍ＋５） ＝（ａ＋ｂ－６）（ａ＋ｂ＋５） 4） （ｘ＋２）²－６（ｘ＋２）＋９ ＝Ｍ²－６Ｍ＋９ ＝（Ｍ－３）² ＝（ｘ＋２－３）² ＝（ｘ－１）² 5） （２ｘ＋１）²－（ｘ＋３）² ＝Ａ²－Ｂ² ＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ） ＝（２ｘ＋１＋ｘ＋３）｛２ｘ＋１－（ｘ＋３）｝ ＝（３ｘ＋４）（２ｘ＋１－ｘ－３） ＝（３ｘ＋４）（ｘ－２） 難度の高い因数分解 問題 次の式を因数分解しなさい。 1） ｘ²－ｙ²＋６ｙ－９ 2） ａｂ－ａ－ｂ＋１ 3） ９－ｘ²＋６ｘｙ－９ｙ² 4） ｘ²ｙ－ｘ²－ｙ＋１ 5） ａ²ｂ＋２ａｂ－３ａ－６ 1） ｘ²－ｙ²＋６ｙ－９ ＝ｘ²－（ｙ²－６ｙ＋９） ＝ｘ²－（ｙ－３）² ＝ｘ²－Ｍ² ＝（ｘ＋Ｍ）（ｘ－Ｍ） ＝（ｘ＋ｙ－３）（ｘ－ｙ＋３） 2） ａｂ－ａ－ｂ＋１ ＝ａ（ｂ－１）－（ｂ－１） ＝ａＭ－Ｍ ＝（ａ－１）Ｍ ＝（ａ－１）（ｂ－１） 3） ９－ｘ²＋６ｘｙ－９ｙ² ＝９－（ｘ²－６ｘｙ＋９ｙ²） ＝９－（ｘ－３ｙ）² ＝３²－Ｍ² ＝（３＋Ｍ）（３－Ｍ） ＝（３＋ｘ－３ｙ）（３－ｘ＋３ｙ） 4） ｘ²ｙ－ｘ²－ｙ＋１ ＝ｘ²（ｙ－１）－（ｙ－１） ＝ｘ²Ｍ－Ｍ ＝（ｘ²－１）（ｙ－１） ＝（ｘ＋１）（ｘ－１）（ｙ－１） 5） ａ²ｂ＋２ａｂ－３ａ－６ ＝ａｂ（ａ＋２）－３（ａ＋２） ＝ａｂＭ－３Ｍ ＝（ａｂ－３）Ｍ ＝（ａｂ－３）（ａ＋２） 👉因数分解 問題集 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.6 因数分解の練習問題 中学数学 👉ブログ TOP

等比数列の和 高校数学 高校生は「数列」の学習に進んでいます。等比数列は、初項に一定の数ｒを順にかけて得られる数列のことで、ｒは公比といいます。 等比数列の一般項 初項ａ、公比ｒ、第ｎ項 　　　　 n-1 ａn＝ａｒ 等比数列の和 ｒ≠１のとき 　　　　　　　n 　　　ａ(１－ｒ ) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 １－ｒ または 　　　　　n 　　　ａ(ｒ－１) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 ｒ－１ ｒ＝１のとき、Ｓn＝ｎａ 問題 次のような等比数列の初項から第ｎ項までの和Ｓnを求めよ。 1）初項２、公比３ 2）初項21、公比－２ 1） ａ＝２、ｒ＝３ 　　　　　n 　　　ａ(ｒ－１) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 ｒ－１ 　　 n ２（３－１） ━━━━━━ 　 ３－１ 　 n ＝３－１ 2） ａ＝21、ｒ＝－２ 　　　　　　　n 　　　ａ(１－ｒ ) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 １－ｒ 　　 　　　　　n 21｛（１－（－２）｝ ━━━━━━━━━ １－（－２） 　　　　　　　　 n ＝７｛（１－（－２）｝ 3）３，３²，３³，３⁴，... 4）４，－２，１，－1/2，... 3） 初項３ 公比３²÷３＝３ ａ＝３、ｒ＝３ 　　　　　n 　　　ａ(ｒ－１) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 ｒ－１ 　　 n ３（３－１） ━━━━━━ 　 ３－１ 　３　 n ＝━（３－１） 　２ 4） 初項４ 公比－２÷４＝－1/2 ａ＝４、ｒ＝－1/2 　　　　　　　n 　　　ａ(１－ｒ ) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 １－ｒ 　　 　　　　　 n ４｛（１－（－1/2）｝ ━━━━━━━━━ １－（－1/2） 　８　　　　　　 n ＝━｛（１－（－1/2）｝ 　３ 問題 次のような等比数列の和Ｓを求めよ。 1）初項３、公比－２、項数５ 2）初項５、公比１、項数８ 1） ａ＝３、ｒ＝－２、ｎ＝５ 　　　　　　　n 　　　ａ(１－ｒ ) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 １－ｒ 　　 　　　　　 ３｛（１－（－２）⁵ ｝ ━━━━━━━━━━ １－（－２） ＝１－（－32） ＝33 2） ａ＝５、ｒ＝１、ｎ＝８ ｒ＝１のとき、Ｓn＝ｎａ ｎａ＝８×５＝40 3）初項１、公比２、末項128 4）初項243、公比－1/3、末項３ 3） ａ＝１、ｒ＝２、ｌ＝128 　　　　 n-1 ａn＝ａｒ 　　　n-1 １・２　＝128 　n-1　　 ２　＝２⁷ よって、 ｎ－１＝７ ｎ＝８　項数は８個 👉末項から項数を求める 　　　　　n 　　　ａ(ｒ－１) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 ｒ－１ １（２⁸－１） ━━━━━━ 　 ２－１ ＝256－１ ＝255 4） ａ＝243、ｒ＝－1/3、ｌ＝３ 　　　　 n-1 ａn＝ａｒ 　　　　　n-1 243・（－1/3）　＝３ 　　　n-1 （－1/3）　＝1/81 　　　n-1 （－1/3）　＝（－1/3）⁴ よって、 ｎ－１＝４　ｎ＝５ 　　　　　　　n 　　　ａ(１－ｒ ) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 １－ｒ 243｛（１－（－1/3）⁵ ｝ ━━━━━━━━━━━ １－（－1/3） 　243・（244/243） ＝━━━━━━━ 　　　 4/3 ＝244×（3/4） ＝183 問題 初項が５、公比が２である等比数列において、第５項から第10項までの和を求めよ。 初項から第10項までの和から、初項から第４項までの和を引いて求める。 初項から第10項までの和 　　　　　n 　　　ａ(ｒ－１) Ｓn＝━━━━━━ 　　　 ｒ－１ ａ＝５、ｒ＝２、ｎ＝10 　　 10 ５（２－１） ━━━━━━ 　 ２－１ ＝５・1023 ＝5115 初項から第４項までの和 ａ＝５、ｒ＝２、ｎ＝４ ５（２⁴－１） ━━━━━━ 　 ２－１ ＝５・15 ＝75 よって、 5115－75＝5040 問題 次のような等比数列について、初項と公比を求めよ。 1）第２項が12、初項から第３項までの和が52 2）初項から第３項までの和が３、第３項から第５項までの和が12 1） 第２項が12より ａｒ²⁻¹＝12 ａｒ＝12　① 初項がａだから 第２項ａｒ、第３項ａｒ² 初項から第３項までの和が52より ａ＋ａｒ＋ａｒ²＝52 ａ（１＋ｒ＋ｒ²）＝52 両辺×ｒ ａｒ（１＋ｒ＋ｒ²）＝52ｒ ①より 12（１＋ｒ＋ｒ²）＝52ｒ 両辺÷４ ３＋３ｒ＋３ｒ²＝13ｒ ３ｒ²－10ｒ＋３＝０ ３　－１　－１ 　× １　－３　－９ 　　　　　－10 （３ｒ－１）（ｒ－３）＝０ ｒ＝1/3，３ ｒ＝1/3のとき、①より ａ・（1/3）＝12 ａ＝36 ｒ＝３のとき、①より ａ・３＝12 ａ＝４ よって、 初項36、公比1/3 または 初項４、公比３ 2） ａ＋ａｒ＋ａｒ²＝３　① ａｒ²＋ａｒ³＋ａｒ⁴＝12　② ②より ｒ²（ａ＋ａｒ＋ａｒ²）＝12 ａ＋ａｒ＋ａｒ²＝３　だから ｒ²・３＝12 ｒ²＝４ ｒ＝±２ ｒ＝２のとき、①より ａ＋２ａ＋４ａ＝３ ａ＝3/7 ｒ＝－２のとき、①より ａ－２ａ＋４ａ＝３ ａ＝１ よって、 初項3/7、公比２ または 初項１、公比－２ 等比数列の決定 問題 初項２、公比３である等比数列｛ａn ｝において、初めて1000より大きくなるのは第何項か。 　　　n-1 ２・３　＞1000 n-1 ３　＞500 ３⁵＝243、３⁶＝729　だから ｎ－１≧６ ｎ≧７ よって、第７項 等差数列と等比数列 問題 等比数列をなす３つの実数があって、それらの和が19、積が216であるという。これら３つの実数を求めよ。 ３つの実数をａ、ｂ、ｃとする 和が19だから ａ＋ｂ＋ｃ＝19　① 積が216だから ａｂｃ＝216　② 等比中項の式から ｂ²＝ａｃ　③ ②、③より ｂ³＝216 ｂ³＝６³ ｂは実数だから　※ ｂ＝６ ｂ＝６を①に代入 ａ＋６＋ｃ＝19 ａ＝13－ｃ　④ ②に代入 ６ａｃ＝216 ａｃ＝36　⑤ ④を⑤に代入 （13－ｃ）ｃ＝36 13ｃ－ｃ²－36＝０ ｃ²－13ｃ＋36＝０ （ｃ－４）（ｃ－９）＝０ ｃ＝４，９ ｃ＝４のとき、⑤より ａ＝９ ｃ＝９のとき、⑤より ａ＝４ よって、３つの実数は ４，６，９ ※ ｂ³＝６³ ｂ³－６³＝０ （ｂ－６）（ｂ²＋６ｂ＋36）＝０ 解の公式より ｂ＝－３±√－27 　＝－３±３√３ｉ（虚数解） 実数解は、ｂ＝６ 問題 ３つの数８、ａ、ｂがこの順に等差数列をなし、ａ、ｂ、36がこの順に等比数列をなすという。ａ、ｂの値を求めよ。 ａ－８＝ｂ－ａ ２ａ－８＝ｂ　① よって、等比数列は ａ、（２ａ－８）、36 等比中項の式より （２ａ－８）²＝36ａ ４（ａ－４）²＝36ａ （ａ－４）²＝９ａ ａ²－８ａ＋16－９ａ＝０ ａ²－17ａ＋16＝０ （ａ－１）（ａ－16）＝０ ａ＝１，16 ａ＝１のとき、①より ｂ＝２・１－８＝－６ ａ＝16のとき、①より ｂ＝２・16－８＝24 よって、 ａ＝１のとき、ｂ＝－６ ａ＝16のとき、ｂ＝24 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.6 等比数列の和 高校数学 👉ブログ TOP

因数分解の応用問題 因数分解の難度の高い計算問題を掲載しています。「共通因数でくくる」、「乗法公式」、「置きかえ」が計算の基本になります。 問題 次の式を因数分解しなさい。 1）５ｘ²＋15ｘ＋10 2）－３ｙ²＋18ｙ－27 3）２ｘ²ｙ－８ｘｙ＋６ｙ 1） ５ｘ²＋15ｘ＋10 ＝５（ｘ²＋３ｘ＋２） ＝５（ｘ＋１）（ｘ＋２） 2） －３ｙ²＋18ｙ－27 ＝－３（ｙ²－６ｙ＋９） ＝－３（ｙ－３）² 3） ２ｘ²ｙ－８ｘｙ＋６ｙ ＝２ｙ（ｘ²－４ｘ＋３） ＝２ｙ（ｘ－１）（ｘ－３） 解説「共通因数でくくる」 項に共通する約数でくくる ５ｘ²＋15ｘ＋10 共通の約数　５ 👉項を共通の約数で割る ５ｘ²÷５＝ｘ² ＋15ｘ÷５＝＋３ｘ ＋10÷５＝＋２ ＝５（ｘ²＋３ｘ＋２） 👉さらに因数分解できるか？ 確認する ＝５（ｘ＋１）（ｘ＋２） 問題 次の式を因数分解しなさい。 1）９ｘ²＋６ｘ＋１ 2）ｘ²－20ｘｙ＋100ｙ² 3）ｘ²－49ｙ² 4）４ａ²－25ｂ² 1） ９ｘ²＋６ｘ＋１ ＝（３ｘ）²＋６ｘ＋（＋１）² ＝（３ｘ＋１）² 2） ｘ²－20ｘｙ＋100ｙ² ＝ｘ²－20ｘｙ＋（－10ｙ）² ＝（ｘ－10ｙ）² 3） ｘ²－49ｙ² ＝ｘ²－（７ｙ）² ＝（ｘ＋７ｙ）（ｘ－７ｙ） 4） ４ａ²－25ｂ² ＝（２ａ）²－（５ｂ）² ＝（２ａ＋５ｂ）（２ａ－５ｂ） △²＋２×△×□＋□²　型 両端が２乗、真ん中が両端の積の２倍 👉（△＋□）² △²－□²　型 ２乗どうしの引き算 👉（△＋□）（△－□） 問題 次の式を因数分解しなさい。 1） （ａ－２）ｘ＋（ａ－２）ｙ 2） （ａ＋ｂ）²＋５（ａ＋ｂ）＋６ 3） （ａ－４）²－（ａ－４）－12 4） （２ｘ＋７）²－（ｘ－３）² 1） （ａ－２）ｘ＋（ａ－２）ｙ ａ－２＝Ｍ Ｍｘ＋Ｍｙ ＝Ｍ（ｘ＋ｙ） ＝（ａ－２）（ｘ＋ｙ） 2） （ａ＋ｂ）²＋５（ａ＋ｂ）＋６ ａ＋ｂ＝Ｍ Ｍ²＋５Ｍ＋６ ＝（Ｍ＋２）（Ｍ＋３） ＝（ａ＋ｂ＋２）（ａ＋ｂ＋３） 3） （ａ－４）²－（ａ－４）－12 ａ－４＝Ｍ Ｍ²－Ｍ－12 ＝（Ｍ－４）（Ｍ＋３） ＝（ａ－４－４）（ａ－４＋３） ＝（ａ－８）（ａ－１） 4） （２ｘ＋７）²－（ｘ－３）² ２ｘ＋７＝Ａ、ｘ－３＝Ｂ Ａ²－Ｂ² ＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ） ＝｛（２ｘ＋７）＋（ｘ－３）｝｛（２ｘ＋７）－（ｘ－３）｝ ＝（３ｘ＋４）（２ｘ＋７－ｘ＋３） ＝（３ｘ＋４）（ｘ＋10） （　）の中の式が同じとき 👉同じ１文字に置きかえると全体が見やすくなる 問題 次の式を因数分解しなさい。 1）２ｘ²－16ｘ＋32 2）16ｘ²＋24ｘ＋９ 3）（ｘ＋５）ａ－（ｘ＋５）ｂ 1） ２ｘ²－16ｘ＋32 ＝２（ｘ²－８ｘ＋16） ＝２（ｘ－４）² 2） 16ｘ²＋24ｘ＋９ ＝（４ｘ）²＋２×（４ｘ）×３＋３² ＝（４ｘ＋３）² △²＋２×△×□＋□²　型 両端が２乗、真ん中が両端の積の２倍 👉（△＋□）² 3） （ｘ＋５）ａ－（ｘ＋５）ｂ ｘ＋５＝Ｍ Ｍａ－Ｍｂ ＝Ｍ（ａ－ｂ） ＝（ｘ＋５）（ａ－ｂ） 問題 次の式を因数分解しなさい。 1） ３（ｘ＋５）²－（ｘ＋５） 2） ５ｘ（ｙ－３）＋３－ｙ 1） ３（ｘ＋５）²－（ｘ＋５） ｘ＋５＝Ｍ ３Ｍ²－Ｍ ＝Ｍ（３Ｍ－１） ＝（ｘ＋５）｛３（ｘ＋５）－１｝ ＝（ｘ＋５）（３ｘ＋15－１） ＝（ｘ＋５）（３ｘ＋14） 2） ５ｘ（ｙ－３）＋３－ｙ ＝５ｘ（ｙ－３）－ｙ＋３ ＝５ｘ（ｙ－３）－（ｙ－３） ｙ－３＝Ｍ ５ｘＭ－Ｍ ＝（５ｘ－１）Ｍ ＝（５ｘ－１）（ｙ－３） 3） ａｂ－ａｃ＋２ｂ－２ｃ 4） ｘ（ｘ＋１）－３（ｘ＋５） 5） （ｘ²－１）²－（ｘ²－１）－６ 6） （ｘ－４）²＋８（ｘ－４）－33 3） ａｂ－ａｃ＋２ｂ－２ｃ ＝ａ（ｂ－ｃ）＋２（ｂ－ｃ） ｂ－ｃ＝Ｍ ａＭ＋２Ｍ ＝（ａ＋２）Ｍ ＝（ａ＋２）（ｂ－ｃ） 4） ｘ（ｘ＋１）－３（ｘ＋５） ＝ｘ²＋ｘ－３ｘ－15 ＝ｘ²－２ｘ－15 ＝（ｘ－５）（ｘ＋３） 5） （ｘ²－１）²－（ｘ²－１）－６ ｘ²－１＝Ｍ Ｍ²－Ｍ－６ ＝（Ｍ－３）（Ｍ＋２） ＝（ｘ²－１－３）（ｘ²－１＋２） ＝（ｘ²－４）（ｘ²＋１） ＝（ｘ＋２）（ｘ－２）（ｘ²＋１） 6） （ｘ－４）²＋８（ｘ－４）－33 ｘ－４＝Ｍ Ｍ²＋８Ｍ－33 ＝（Ｍ＋11）（Ｍ－３） ＝（ｘ－４＋11）（ｘ－４－３） ＝（ｘ＋７）（ｘ－７） ※ （ｘ－４）²＋８（ｘ－４）－33 ＝ｘ²－49 問題 ｘ＝78、ｙ＝38のとき、ｘ²－２ｘｙ＋ｙ²の値を求めなさい。 ｘ²－２ｘｙ＋ｙ² ＝（ｘ－ｙ）² ＝（78－38）² ＝40² ＝1600 問題 ｘ＝22のとき、次の式の値を求めなさい。 1） ｘ²－９ｘ－36 2） （４－ｘ）（４＋ｘ）＋（ｘ－６）（ｘ＋１） 1） ｘ²－９ｘ－36 ＝（ｘ－12）（ｘ＋３） ＝（22－12）×（22＋３） ＝10×25 ＝250 2） （４－ｘ）（４＋ｘ）＋（ｘ－６）（ｘ＋１） ＝16－ｘ²＋ｘ²－５ｘ－６ ＝10－５ｘ ＝５（２－ｘ） ＝５×（２－22） ＝５×（－20） ＝－100 問題 因数分解を利用して、次の計算をしなさい。 1）98² 2）47×53 3）102² 1） 98² ＝（100－２）² ＝100²－２×100×２＋（－２）² ＝10000－400＋４ ＝9604 2） 47×53 ＝（50－３）×（50＋３） ＝50²－３² ＝2500－９ ＝2491 3） 102² ＝（100＋２）² ＝10000＋400＋４ ＝10404 展開と因数分解のちがい 次の計算をしなさい。 （ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ－７） 次の式を因数分解しなさい。 ３（ｘ＋５）²－（ｘ＋５） 計算をする＝「展開する」 👉カッコを外す （ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ－７） ｘ＋ｙ＝Ａとおく Ａ（Ａ－７） ＝Ａ²－７Ａ ＝（ｘ＋ｙ）²－７（ｘ＋ｙ） ＝ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²－７ｘ－７ｙ 因数分解する 👉カッコの積にする ３（ｘ＋５）²－（ｘ＋５） ｘ＋５＝Ａとおく ３Ａ²－Ａ ＝Ａ（３Ａ－１） ＝（ｘ＋５）｛３（ｘ＋５）－１｝ ＝（ｘ＋５）（３ｘ＋15－１） ＝（ｘ＋５）（３ｘ＋14） 👉因数分解 練習問題 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.5 因数分解の応用問題 👉ブログ TOP

２次関数の軸と頂点 ２次関数のグラフを作図するときは、軸と頂点をもとにします。軸と頂点は、ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）²＋ｑの形にして判断します。２次式の変形には、平方完成を利用します。 グラフ作図の基本 ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）²＋ｑ 軸　　　ｘ＝ｐ 頂点　　（ｐ，ｑ） ｙ切片　ｘ＝０のとき 放物線　ａ＞０　下に凸 　　　　ａ＜０　上に凸 平方完成 ｘ²＋６ｘ＝（ｘ＋３）²－９ ｘの係数×（1/2） 1/2倍した数の２乗を引く 問題 次の２次関数のグラフの頂点と軸を求めよ。 1）ｙ＝（ｘ－１）² 2）ｙ＝２（ｘ＋３）² 3）ｙ＝－３（ｘ－２）² 1） ｙ＝（ｘ－１）² 頂点　（１，０） 軸　　ｘ＝１ ※ ｙ切片 ｙ＝（０－１）²＝１ 放物線　下に凸 2） ｙ＝２（ｘ＋３）² 頂点　（－３，０） 軸　　ｘ＝－３ ※ ｙ＝２（０＋３）²＝18 下に凸 3） ｙ＝－３（ｘ－２）² 頂点　（２，０） 軸　　ｘ＝２ ※ ｙ＝－３（０－２）²＝－12 上に凸 問題 次の２次関数のグラフの頂点と軸を求めよ。 1） ｙ＝（ｘ－２）²＋１ 2） ｙ＝－２（ｘ＋２）²＋４ 3） ｙ＝－（ｘ－１）²－３ 1） ｙ＝（ｘ－２）²＋１ 頂点　（２，１） 軸　　ｘ＝２ ※ ｙ＝（０－２）²＋１＝５ 下に凸 2） ｙ＝－２（ｘ＋２）²＋４ 頂点　（－２，４） 軸　　ｘ＝－２ ※ ｙ＝－２（０＋２）²＋４ 　＝－４ 上に凸 3） ｙ＝－（ｘ－１）²－３ 頂点　（１，－３） 軸　　ｘ＝１ ※ ｙ＝－（０－１）²－３ 　＝－４ 上に凸 4） ｙ＝３（ｘ＋１）²－２ 5） 　　１　　　　　　 ３ ｙ＝━（ｘ＋３）²－━ 　　２　　　　　　 ２ 6） 　　　　　　１　　 １ ｙ＝－（ｘ－━）²－━ 　　　　　　２　　 ４ 4） ｙ＝３（ｘ＋１）²－２ 頂点　（－１，－２） 軸　　ｘ＝－１ ※ ｙ＝３（０＋１）²－２ 　＝１ 下に凸 5） 　　１　　　　　　 ３ ｙ＝━（ｘ＋３）²－━ 　　２　　　　　　 ２ 頂点　（－３，－3/2） 軸　　ｘ＝－３ ※ ｙ＝（1/2）（０＋３）²－（3/2） 　＝（9/2）－（3/2） 　＝３ 下に凸 6） 　　　　　　１　　 １ ｙ＝－（ｘ－━）²－━ 　　　　　　２　　 ４ 頂点　（1/2，－1/4） 軸　　ｘ＝1/2 ※ ｙ＝－｛０－（1/2）｝²－（1/4） 　＝－（1/4）－（1/4） 　＝－1/2 上に凸 問題 ２次関数ｙ＝３ｘ²のグラフを次のように平行移動させると、どのような２次関数のグラフになるか。その関数の式を求めよ。 1）ｙ軸方向に２ 2）ｘ軸方向に－３ 3）ｘ軸方向に２、ｙ軸方向に－２ 4）ｘ軸方向に－２、ｙ軸方向に３ 5）ｘ軸方向に－１、ｙ軸方向に－５ ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）²＋ｑ ① 移動する分をｐとｑに足す ｐに負の数を足すとき👉（ｘ＋ｐ）² ② 平行移動ではグラフの開きは変わらない 👉ａの値は変わらない 1） ｘ軸方向に０、ｙ軸方向に２ ｙ＝３ｘ² ｙ＝３｛ｘ－（＋０）｝²＋２ ｙ＝３ｘ²＋２ 2） ｘ軸方向に－３、ｙ軸方向に０ ｙ＝３ｘ² ｙ＝３｛ｘ－（－３）｝²＋０ ｙ＝３（ｘ＋３）² 3） ｘ軸方向に２、ｙ軸方向に－２ ｙ＝３ｘ² ｙ＝３｛ｘ－（＋２）｝²－２ ｙ＝３（ｘ－２）²－２ 4） ｘ軸方向に－２、ｙ軸方向に３ ｙ＝３ｘ² ｙ＝３｛ｘ－（－２）｝²＋３ ｙ＝３（ｘ＋２）²＋３ 5） ｘ軸方向に－１、ｙ軸方向に－５ ｙ＝３ｘ² ｙ＝３｛ｘ－（－１）｝²－５ ｙ＝３（ｘ＋１）²－５ 問題 次の２次式を平方完成せよ。 1） ３ｘ²－12ｘ 2） ２ｘ²＋４ｘ＋１ 3） ３ｘ²－９ｘ＋７ 1） ３ｘ²－12ｘ ＝３（ｘ²－４ｘ） ＝３｛（ｘ－２）²－４｝ ＝３（ｘ－２）²－12 2） ２ｘ²＋４ｘ＋１ ＝２（ｘ²＋２ｘ）＋１ ＝２｛（ｘ＋１）²－１｝＋１ ＝２（ｘ＋１）²－２＋１ ＝２（ｘ＋１）²－１ 3） ３ｘ²－９ｘ＋７ ＝３（ｘ²－３ｘ）＋７ 　　　　　 ３　　 ９ ＝３｛（ｘ－━）²－━｝＋７ 　　　　　 ２　　 ４ 　　 　 ３　　 27　28 ＝３（ｘ－━）²－━＋━ 　　　　 ２　　 ４　４ 　　 　 ３　　 １ ＝３（ｘ－━）²＋━ 　　　　 ２　　 ４ 4） －２ｘ²－８ｘ－10 5） －ｘ²＋３ｘ－２ 6） －２ｘ²－10ｘ＋３ 4） －２ｘ²－８ｘ－10 ＝－２（ｘ²＋４ｘ）－10 ＝－２｛（ｘ＋２）²－４｝－10 ＝－２（ｘ＋２）²＋８－10 ＝－２（ｘ＋２）²－２ 5） －ｘ²＋３ｘ－２ ＝－（ｘ²－３ｘ）－２ 　　　　　 ３　 　９ ＝－｛（ｘ－━）²－━｝－２ 　　　　　 ２ 　　４ 　　　　　３　　 ９　８ ＝－（ｘ－━）²＋━－━ 　　　　　２　　 ４　４ 　　　　　３　　 １ ＝－（ｘ－━）²＋━ 　　　　　２　　 ４ 6） －２ｘ²－10ｘ＋３ ＝－２（ｘ²＋５ｘ）＋３ 　　　　　　 ５ 　　25 ＝－２｛（ｘ＋━）²－━｝＋３ 　　　　　　 ２　 　４ 　　　 　　 ５ 　　25　６ ＝－２（ｘ＋━）²＋━＋━ 　　　 　　 ２　 　２　２ 　　　 　　 ５ 　　31 ＝－２（ｘ＋━）²＋━ 　　　 　　 ２　 　２ 問題 次の２次関数のグラフの頂点と軸を求めよ。 1） ｙ＝ｘ²＋２ｘ－１ 2） ｙ＝３ｘ²－６ｘ－２ 3） ｙ＝－２ｘ²－８ｘ－６ 4） ｙ＝３ｘ²＋６ｘ＋３ 5） ｙ＝ｘ²＋ｘ－１ 6） ｙ＝－２ｘ²＋６ｘ 1） ｙ＝ｘ²＋２ｘ－１ ＝（ｘ＋１）²－１－１ ＝（ｘ＋１）²－２ 頂点　（－１，－２） 軸　　ｘ＝－１ 2） ｙ＝３ｘ²－６ｘ－２ ＝３（ｘ²－２ｘ）－２ ＝３｛（ｘ－１）²－１｝－２ ＝３（ｘ－１）²－３－２ ＝３（ｘ－１）²－５ 頂点　（１，－５） 軸　　ｘ＝１ 3） ｙ＝－２ｘ²－８ｘ－６ ＝－２（ｘ²＋４ｘ）－６ ＝－２｛（ｘ＋２）²－４｝－６ ＝－２（ｘ＋２）²＋８－６ ＝－２（ｘ＋２）²＋２ 頂点　（－２，２） 軸　　ｘ＝－２ 4） ｙ＝３ｘ²＋６ｘ＋３ ＝３（ｘ²＋２ｘ）＋３ ＝３｛（ｘ＋１）²－１｝＋３ ＝３（ｘ＋１）²－３＋３ ＝３（ｘ＋１）² 頂点　（－１，０） 軸　　ｘ＝－１ 5） ｙ＝ｘ²＋ｘ－１ 　　　　１　　 １　４ ＝（ｘ＋━）²－━－━ 　　　　２　　 ４　４ 　　　　１　　 ５ ＝（ｘ＋━）²－━ 　　　　２　　 ４ 頂点　（－1/2，－5/4） 軸　　ｘ＝－1/2 6） ｙ＝－２ｘ²＋６ｘ ＝－２（ｘ²－３ｘ） 　　　　　　 ３　　 ９ ＝－２｛（ｘ－━）²－━｝ 　　　　　　 ２　　 ４ 　　　　　 ３　　 ９ ＝－２（ｘ－━）²＋━ 　　　　　 ２　　 ２ 頂点　（3/2，9/2） 軸　　ｘ＝3/2 問題 次の２次関数のグラフの頂点と軸を求めよ。 1） 　　１ ｙ＝━ｘ²＋２ｘ 　　２ 2） 　　１　　 ４　　10 ｙ＝━ｘ²－━ｘ＋━ 　　３　　 ３　　３ 3） ｙ＝２ｘ²－３ｘ－２ 4） 　　　１　　 １ ｙ＝－━ｘ²－━ｘ 　　　２　　 ４ 5） ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－４） 6） ｙ＝（２ｘ＋１）（１－ｘ） 1） 　　１ ｙ＝━ｘ²＋２ｘ 　　２ 　　１ ｙ＝━（ｘ²＋４ｘ） 　　２ 　　１ ｙ＝━｛（ｘ＋２）²－４｝ 　　２ 　　１ ｙ＝━（ｘ＋２）²－２ 　　２ 頂点　（－２，－２） 軸　　ｘ＝－２ ※ （1/2）ｘ²÷（1/2）＝ｘ² ＋２ｘ÷（1/2）＝＋４ｘ 👉くくる数で割る 2） 　　１　　 ４　　10 ｙ＝━ｘ²－━ｘ＋━ 　　３　　 ３　　３ 　　１　　 　　　　　10 ｙ＝━（ｘ²－４ｘ）＋━ 　　３　　　　　　　 ３ 　　１　　 　　　　　　　 10 ｙ＝━｛（ｘ－２）²－４｝＋━ 　　３　　　　　　　 　　 ３ 　　１　　 　　　　４　10 ｙ＝━（ｘ－２）²－━＋━ 　　３　　　　　　 ３　３ 　　１　　 　　　 ｙ＝━（ｘ－２）²＋２ 　　３ 頂点　（２，２） 軸　　ｘ＝２ 3） ｙ＝２ｘ²－３ｘ－２ 　　　　　　 ３ ｙ＝２（ｘ²－━ｘ）－２ 　　　　　　 ２ 　　　　　　 ３　　 ９ ｙ＝２｛（ｘ－━）²－━｝－２ 　　　　　　 ４　　 16 　　　 　　 ３　　 ９　16 ｙ＝２（ｘ－━）²－━－━ 　　　 　　 ４　　 ８　８ 　　　 　　 ３　　 25 ｙ＝２（ｘ－━）²－━ 　　　 　　 ４　　 ８ 頂点　（3/4，－25/8） 軸　　ｘ＝3/4 4） 　　　１　　 １ ｙ＝－━ｘ²－━ｘ 　　　２　　 ４ 　　　１　　 　１ ｙ＝－━（ｘ²＋━ｘ） 　　　２　　 　２ 　　　１　　 　１　　 １ ｙ＝－━｛（ｘ＋━）²－━｝ 　　　２　　 　４　　 16 　　　１　 　 １　　 １ ｙ＝－━（ｘ＋━）²＋━ 　　　２　 　 ４　　 32 頂点　（－1/4，1/32） 軸　　ｘ＝－1/4 5） ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－４） ＝ｘ²－５ｘ＋４ 　　　　５　　 25　16 ＝（ｘ－━）²－━＋━ 　　　　２　　 ４　４ 　　　　５　　 ９ ＝（ｘ－━）²－━ 　　　　２　　 ４ 頂点　（5/2，－9/4） 軸　　ｘ＝5/2 6） ｙ＝（２ｘ＋１）（１－ｘ） ＝２ｘ－２ｘ²＋１－ｘ ＝－２ｘ²＋ｘ＋１ 　　　　　　 １ ＝－２（ｘ²－━ｘ）＋１ 　　　　　　 ２ 　　　　　　 １　　 １ ＝－２｛（ｘ－━）²－━｝＋１ 　　　　　　 ４　　 16 　　　 　　 １　　 １　８ ＝－２（ｘ－━）²＋━＋━ 　　　 　　 ４　　 ８　８ 　　　 　　 １　　 ９ ＝－２（ｘ－━）²＋━ 　　　 　　 ４　　 ８ 頂点　（1/4，9/8） 軸　　ｘ＝1/4 問題 放物線ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋３を、次のように平行移動したとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。 1）ｘ軸方向に１、ｙ軸方向に－３ 2）ｘ軸方向に－５、ｙ軸方向に２ 1） ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋３ ＝２（ｘ²－２ｘ）＋３ ＝２｛（ｘ－１）²－１｝＋３ ＝２（ｘ－１）²＋１ ｘ軸方向に＋１、ｙ軸方向に－３ ｙ＝２｛ｘ－（１＋１）｝²＋１－３ ｙ＝２（ｘ－２）²－２ 2） ｘ軸方向に－５、ｙ軸方向に＋２ ｙ＝２｛ｘ－（１－５）｝²＋１＋２ ｙ＝２（ｘ＋４）²＋３ 問題 放物線ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃをｘ軸方向に１、ｙ軸方向に－２だけ平行移動したとき、移動後の放物線はｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１であった。定数ａ、ｂ、ｃの値を求めよ。 ｙ－２＝－２（ｘ＋１）²＋３（ｘ＋１）－１ ｙ－２＝－２ｘ²－４ｘ－２＋３ｘ＋３－１ ｙ＝－２ｘ²－ｘ＋２ 係数を比較して ａ＝－２、ｂ＝－１、ｃ＝２ ※ ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃを ｘ軸方向に１、ｙ軸方向に－２すると ｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１ ｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１を ｘ軸方向に－１、ｙ軸方向に２移動すると ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ ｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１ 　　　　　　３ ＝－２（ｘ²－━ｘ）－１ 　　　　　　２ 　　　　　 ３　　 ９ ＝－２｛（ｘ－━）²－━｝－１ 　　　　　　 ４　　 16 　　　　 ３　　 １ ＝－２（ｘ－━）²＋━ 　　　　　 ４　　 ８ ｘ軸方向に－１、ｙ軸方向に２移動 　　　　 ３　　 　　 １ －２｛ｘ－（━－１）｝²＋━＋２ 　　　　　 ４　　 　　 ８ 　　　　 　１　　 17 ＝－２（ｘ＋━）²＋━ 　　　　 　４　　 ８ 　　　　　　 １　　１　　17 ＝－２（ｘ²＋━ｘ＋━）＋━ 　　　　　　 ２　　16　　８ 　　　　　　 　１　17 ＝－２ｘ²－ｘ－━＋━ 　　　　　　 　８　８ ＝－２ｘ²－ｘ＋２ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 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通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.5 ２次関数の軸と頂点 👉ブログ TOP