中学数学・２次方程式

たむかい学習教室

6月23日

中学数学・２次方程式

「解は２つ」

中学２年・３年

１学期も後半を迎えていますが、中学２年・３年の塾生たちは、「２次方程式」を学習しています。

方程式には「解」があります。

３ｘ＝６を解くとｘ＝２ですが、答えとして出た"２"が、この方程式の「解」になります。

解（ｘ＝２）をもとの式に代入すると、

３ｘ＝６　→　３×２＝６

解が、左辺と右辺をイコールの関係にすることが分かります。

上の方程式のように、ｘの次数が１次（ｘ¹）の場合は、１次方程式といいます。また、ｘ²＝□のように、２次の場合には２次方程式といいます。

★２次方程式は、解が２つ

１次方程式　→　解が１つ

３ｘ＝６　→　ｘ＝２

２次方程式　→　解が２つ

ｘ²＝４　→　ｘ＝±２（+2と-2）

ｘ² ー３ｘ＋２＝０

（ｘ－１）（ｘ－２)＝０

ｘ＝１，２

３次方程式　→　解が３つ

ｘ³ - ２ｘ² - ｘ+２＝０

→(ｘ+１)(ｘ-１)(ｘ-２)＝０

ｘ＝ー１，１，２

方程式では、次数によって、解の個数が決まります。

２次方程式には、必ず２つの解があります。

★解き方は３つ

①平方根

ｘ²＝９

この式は、「９の平方根は？」と同じことを表しています。

２乗すると"９”になる数は、

（＋３）×（＋３）＝（＋３）²

（－３）×（ー３）＝（ー３）²

で、＋３とー３の２つです。

よって、ｘ＝±３になります。

②因数分解

「＝０」にする（右辺を０）

ｘ²＝９

↓＋９を移項

ｘ²ー９＝０

↓因数分解

（ｘ＋３）（ｘー３）＝０

ｘ＝±３

右辺が０になるということは、

・（ｘ＋３）が０→　０×（ｘ－３）＝０

・（ｘ－３）が０→　（ｘ＋３）×０＝０

・どちらも０→　０×０＝０

となればよいので、

ｘ＋３＝０　ｘ＝－３

または

ｘ－３＝０　ｘ＝＋３

の２つの解になります。

③解の公式

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０

ｘ＝　ーｂ± √ｂ²ー４ａｃ

　　　　　　２ａ

ｘ²ー３ｘ＋１＝０

ｘ＝ー(ー3)±√(ー3)²ー4×1×1

　　　　　　2×1

ｘ＝３±√５

　　　２

★基本は因数分解

因数分解＝（かっこ）でくくる

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０

①ａ＝１

ｃ：かけ算　ｂ：たし算

ｘ²＋８ｘ＋１２＝０

かけて「１２」

→１と１２、２と６、３と４

たして「８」

→２と６

（ｘ＋２）（ｘ＋６）＝０

ｘ²＋３ｘ＋２＝０

（ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０

ｘ²ー３ｘ＋２＝０

（ｘ－１）（ｘ－２）＝０

ｘ²ー５ｘー６＝０

（ｘ＋１）（ｘ－６）＝０

ｘ²＋５ｘー６＝０

（ｘ－１）（ｘ＋６）＝０

ｘ²＋２ｘ＋１＝０

（ｘ＋１）（ｘ＋１）＝０

（ｘ＋１）²＝０

ｘ²ー２ｘ＋１＝０

（ｘ－１）（ｘ－１）＝０

（ｘ－１）²＝０

ｘ²ー４＝０

（ｘ＋２）（ｘ－２）＝０

※ｂ＝０（たして０）

②同じ文字でくくる

ｘ²＋２ｘ＝０

ｘ（ｘ＋２）＝０

この場合は、ｘ＝０またはｘ＋２＝０

ｘ＝０，ー２

５ｘ²ー１０ｘ＝０

５ｘ（ｘー２）＝０

この場合は、５ｘ＝０またはｘー２＝０

ｘ＝０，２

５ｘ²ー１０ｘ＝０

両辺を５で割る

ｘ²ー２ｘ＝０

ｘ（ｘー２）＝０

ｘ＝０，２　

③因数が同じ

３ｘ²＋９ｘ＋６＝０

３（ｘ²＋３ｘ＋２）＝０

３（ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０

４ｘ²ー３２ｘ＋６４＝０

両辺を４で割る

ｘ²ー８ｘ＋１６＝０

（ｘー４）²＝０

④たすきがけ

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０

３ｘ²＋５ｘ＋２＝０

ａ：かけて「３」

ｃ：かけて「２」

ｂ：たして「５」

ａ　　　ｃ　　　　ｂ

１　　　１　　→　３

　　✖　　　　　＋

３　　　２　　→　２

　　　　　　　　　５

　　↓

１ｘ　＋１

３ｘ　＋２

３ｘ²＋５ｘ＋２＝０

（ｘ＋１）（３ｘ＋２）＝０

ｘ＝ー１，ー２／３

★解が１つだけの場合

ｘ²＋２ｘ＋１＝０

左辺を因数分解

　　↓

（ｘ＋１）²＝０　ｘ＝－１

このように、解が１つになる場合があります。

「２次方程式には、必ず２つの解がある」と説明しました。

（ｘ＋１）²＝０

　↓

（ｘ＋１）（ｘ＋１）＝０

つまり、同じ「ｘ＝ー１」が２つあることが分かります。これを数学の用語で「重解」といいます。

ｘ²ー２ｘ＋１＝０

（ｘ－１）²＝０　ｘ＝１

４ｘ²ー３２ｘ＋６４＝０

両辺を４で割る

ｘ²ー８ｘ＋１６＝０

（ｘー４）²＝０　ｘ＝４

👉因数分解の計算（数学・勉強法）

👉令和６年度青森県立高校入試

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１対１の授業なので、分からないことを先生に質問しやすい環境で、自分に合ったペースで勉強を進められます。細かい部分やポイントを教わることで１つ１つのことがしっかり理解できるので、自力で解ける問題が増えました。英語や数学を中心に学習していますが、解ける問題が増えていくので毎回通うのが楽しみになっています。

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