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  • 執筆者の写真たむかい学習教室

中学数学・2次方程式

解は2つ

中学2年・3年

1学期も後半を迎えていますが、中学2年・3年の塾生たちは、「2次方程式」を学習しています。


方程式には「解」があります

3x=6を解くとx=2ですが、答えとして出た"2"が、この方程式の「」になります。

解()をもとの式に代入すると、

=6 → 3×=6

解が、左辺と右辺をイコールの関係にすることが分かります。

上の方程式のように、xの次数が1次(x¹)の場合は、1次方程式といいます。また、x²=□のように、2次の場合には2次方程式といいます。



2次方程式は、解が2つ


1次方程式 → 解が1つ

3x=6 → x=


2次方程式 → 解が2つ

²=4 → x=±2(+2と-2)


² ー3x+2=0

(x-1)(x-2)=0

x=1,2


3次方程式 → 解が3つ

³ - 2x² - x+2=0

→(x+1)(x-1)(x-2)=0

x=ー1,1,2


方程式では、次数によって、解の個数が決まります

2次方程式には、必ず2つの解があります。



解き方は3つ


①平方根

x²=9

この式は、「9の平方根は?」と同じことを表しています。

2乗すると"9”になる数は、

(+3)×(+3)=(+3)²

(-3)×(ー3)=(ー3)²

で、+3 と ー3 の2つです。

よって、x=±3になります。


②因数分解

「=0」にする(右辺を0)


x²=9

↓+9を移項

x²ー9=0

↓因数分解

(x+3)(xー3)=0

x=±3

右辺が0になるということは、

(x+3)が0→ ×(x-3)=0

(x-3)が0→ (x+3)×=0

・どちらも0→ ×=0

となればよいので、

x+3=0 x=-3

または

x-3=0 x=+3

の2つの解になります。


③解の公式

x²+x+=0


x= ± √²ー4

      2


x²ー3x+1=0

x=ー(ー3)±√(ー3)²ー4×1×1

      2×1

x=3±√5

   2



基本は因数分解


因数分解=(かっこ)でくくる


x²+x+=0

=1

:かけ算 :たし算


x²+x+12=0

かけて「12」

→1と12、2と6、3と4

たして「8」

2と6

(x+2)(x+6)=0


x²+3x+2=0

(x+1)(x+2)=0

x²ー3x+2=0

(x-1)(x-2)=0


x²ー5xー6=0

(x+1)(x-6)=0

x²+5xー6=0

(x-1)(x+6)=0


x²+2x+1=0

(x+1)(x+1)=0

(x+1)²=0

x²ー2x+1=0

(x-1)(x-1)=0

(x-1)²=0


x²ー4=0

(x+2)(x-2)=0

=0(たして0)



②同じ文字でくくる


x²+2x=0

x(x+2)=0

この場合は、x=0またはx+2=0

x=0,ー2


5x²ー10x=0

5x(xー2)=0

この場合は、5x=0またはxー2=0

x=0,2


5x²ー10x=0

両辺を5で割る

x²ー2x=0

x(xー2)=0

x=0,2 



③因数が同じ


3x²+9x+6=0

3(x²+3x+2)=0

3(x+1)(x+2)=0


4x²ー32x+64=0

両辺を4で割る

x²ー8x+16=0

(xー4)²=0



④たすきがけ

x²+x+=0


x²+x+=0

a:かけて「3」

c:かけて「2」

b:たして「5」


       

1   1  → 3

  ✖      +

3   2  → 2

         5

  ↓

1x +1

3x +2


3x²+5x+2=0

(x+1)(3x+2)=0

x=ー1,ー2/3



解が1つだけの場合


x²+2x+1=0

左辺を因数分解

  ↓

(x+1)²=0 x=-1

このように、解が1つになる場合があります。


「2次方程式には、必ず2つの解がある」と説明しました。

(x+1)²=0

 ↓

(x+1)(x+1)=0

つまり、同じ「x=ー1」が2つあることが分かります。これを数学の用語で「重解」といいます。


x²ー2x+1=0

(x-1)²=0 x=1


4x²ー32x+64=0

両辺を4で割る

x²ー8x+16=0

(xー4)²=0 x=4






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