円周角の補助線を引く問題
(中学数学 1/15授業解説)

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
今週から、小学生・中高生ともに3学期がスタートしました。冬休みの講習では、数学の「図形問題」に関する質問が多く寄せられました。中でも「補助線」を引いて考える問題についての質問が多く、引き方のポイントについて解説しました。ここでは、「円周角(中3数学)」の問題について解説します。
★補助線を引くポイント
問題
下の図のように、点A、B、C、D、Eは円Oの周上にあり、A、B、C、D、Eの順に並んでいるものとする。∠BAC=36°、∠COD=50°であるとき、∠BEDの大きさを求めなさい。

中心角CODを利用する
∠COD=50°より、弧CDに対応する円周角は25°
よって、∠CED=25° ①
∠BAC=36°より、弧BCに対応する∠BEC=36° ②
∠BED=①+②より、
25°+36°=61°
補助線を「EC」に引く

問題
下の図において、点A、B、C、D、Eは、円Oの周を5等分する点である。このとき、∠xの大きさを求めなさい。

中心角を5等分すると、360°÷5=72°が中心角1つ分になる。
∠BOC=72°より、
弧BCに対応する∠BAC=36°
∠AOD=72°×2=144°より、
弧ADに対応する∠ABD=72°
線分ACとBDとの交点をFとする
△ABFの内角と外角の関係より、
∠x=36°+72°=108°
補助線(弦)を「AB」に引く
※弦BC、CD、ADを引いても求めることができる

問題
下の図のように、点A、B、Cは円Oの周上にあり、3点を結んでできる△ABCはAB=ACの二等辺三角形である。円Oの半径が6cm、∠ABC=70°であるとき、点Aを含まないほうのB⌒Cの長さを求めなさい。ただし、円周率はπとする。

AB=AC、∠ABC=70°より、△ABCの底角の和は140°
∠BAC=180°ー140°=40°
弧BCとする中心角BOCは、40°×2=80°
よって、弧BCの長さは、
π×2×6×80°/360°
=12π×2/9
=8π/3 cm
補助線を「OB」「OC」に引く
問題
下の図で、A、B、C、Dは円Oの周上の点で、線分BDは直径である。∠CAO=31°、∠CBO=67°のとき、∠AOBの大きさを求めなさい。

△OACは二等辺三角形だから、
底角の和は31°×2=62°
∠AOC=180°ー62°=118° ①
△OBCは二等辺三角形だから、
底角の和は67°×2=134°
∠BOC=180°ー134°=46° ②
∠AOB=①ー②より、
118°ー46°=72°
補助線を「OC」に引く
別解
∠AOB=x°とする
弧ABに対応する∠ACBは、∠AOBの1/2だから、
∠ACB=1x/2°
弦ACとBDとの交点をEとする
△BCEと△AOEそれぞれ内角と外角の関係より、
31°+x°=67°+1x/2°
x=72°
※∠AEBが2つの三角形の外角
★直径を利用する問題
問題
下の図は、線分ABを直径とする半円で、点CはA⌒B上にある。点Dは線分AC上にあって、DC=BCである。また、点EはBDの延長とA⌒Cとの交点である。∠BAD=28°であるとき、∠DCEの大きさを求めなさい。

直径ABに対応する∠ACB=90°
△CDBでDC=BCより、∠CDB=45°
弧BCに対応する∠BEC=∠BAD=28°
△CDEで内角と外角の関係より、
∠DCE+28°=45°
∠DCE=17°

問題
下の図で、点Aは、BCを直径とする円Oの周上にあり、∠ACB=23°である。また、2点O、Aを通る円O´の中心は、線分OB上にある。このとき、∠BAO´の大きさを求めなさい。

△OACはOA=OCの二等辺三角形だから、
∠OAC=∠OCA=23°
△OACの内角と外角の関係より、
∠AOB=23°+23°=46°
△O´AOはO´A=O´Oの二等辺三角形だから、
∠O´AO=46°
直径BCに対応する∠BAC=90°
以上から、
∠BAO´+23°+46°=90°
∠BAO´=21°
問題
下の図のように、ABを直径とする円Oの周上に、AC>BCとなるように点Cをとる。また、Cを通る円Oの接線と直線ABとの交点をDとし、CD//AEとなるように円周上に点Eをとる。∠EAB=a°とするとき、∠BACの大きさをaを用いて表しなさい。

CD//AEより、∠ODC=∠EAB=a°
点Cは円Oの接点だから、∠OCD=90°
∠DOC
=180°ー(90°+a°)
=90°ーa°
∠DOCは、二等辺三角形OACの外角となるから、
∠BAC
=(90°ーa°)×1/2
=45°ー1a/2°
補助線を「OC」に引く


「円周角」練習問題
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2025.1.16 円周角の補助線を引く問題(中学数学 1/15授業解説)