高専入試問題
（中学数学 1/10解説）
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
冬休みの特別講習も後半に入っています。連日、小学生から中高生まで２学期の復習や入試対策に取り組んでいます。当市には国立高専があり、高専志望の中学生も通塾しています。入試では、普段見慣れない形の応用問題が多いですが、中学３年間の復習をしっかりしておくことで対応できる出題になります。
令和３年度入試（本試験）
★図形の移動と関数（中２・３）
問題
下の図のように、ＡＢ＝６cm、ＢＣ＝12cm、∠ＡＢＣ＝90°の直角三角形ＡＢＣと、ＦＧ＝６cm、ＥＦ＝３cmの長方形ＤＥＦＧがある。点Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｆは直線ℓ上にあり、点Ｃと点Ｅは重なっている。
長方形ＤＥＦＧを固定し、直角三角形ＡＢＣを直線ℓにそって矢印の方向に秒速１cmで点Ｂが点Ｅに重なるまで移動させる。
移動し始めてからｘ秒後に、直角三角形ＡＢＣと長方形ＤＥＦＧが重なる部分の面積をｙcm²とする。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）０≦ｘ≦３のとき、ｘとｙの関係を式で表しなさい。
２）ｘ＝５のとき、ｙの値を求めなさい。また、３≦ｘ≦12のとき、ｘとｙの関係を式で表しなさい。
３）ｙの値が長方形ＤＥＦＧの面積の半分となるときのｘの値を求めなさい。
４）０＜ｈ＜２とする。ｘの値が１から１＋ｈまで増加するとき、ｙの変化の割合を求めなさい。
１）
ｘ＝３まで、ｙはＣＥを底辺とする直角三角形の面積になる。
点Ｃは秒速１cmで移動するから、ｘ秒間でｘcm移動する。
よって、底辺ＣＥ＝ｘcm
ＤＥとＡＣとの交点をＨ、高さをＨＥとする。
△ＣＥＨ∽△ＣＢＡより、
ＣＥ：ＣＢ＝ＨＥ：ＡＢ
ｘ：１２＝ＨＥ：６
１２ＨＥ＝６ｘ
ＨＥ＝１ｘ／２ cm
以上から、
ｙ＝１／２×ｘ×１ｘ／２
ｙ＝１ｘ²／４
２）
ｘ＝５（CE＝5）のとき、重なる部分は台形
ＧＦとＡＣの交点をＩ（ＤＥとの交点はＨのままとする）、ＩＦとＨＥを上底と下底、高さをＥＦ（=3）の台形とする。
△ＣＦＩ∽△ＣＥＨより、
ＣＦ：ＣＥ＝ＩＦ：ＨＥ
ＣＦ＝ＣＥーＥＦ＝２cm
ＩＦ＝１／２×ＣＦ＝１cm
２：５＝１：ＨＥ
２ＨＥ＝５
ＨＥ＝５／２ cm
台形の面積
ｙ＝（ＩＦ＋ＨＥ）×ＥＦ×１／２
＝（１＋５／２）×３×１／２
＝21／４ cm²
３≦ｘ≦12のとき、重なる部分は台形のままになる。
ＣＥ＝ｘとすると、ＣＦ＝ｘ－３
ＩＦ＝１／２×ＣＦより、
ＩＦ＝（ｘ－３）／２
ＨＥ＝１／２×ＣＥより、
ＨＥ＝１ｘ／２
台形の面積
ｙ＝（ＩＦ＋ＨＥ）×ＥＦ×１／２
＝（（ｘ－３）／２＋１ｘ／２）×３×１／２
ｙ＝３ｘ／２ー９／４
３）
長方形ＤＥＦＧの面積の半分
３×６÷２＝９
ｙ＝３ｘ／２ー９／４に、ｙ＝９を代入
９＝３ｘ／２ー９／４
ｘ＝１５／２ cm
４）
０＜ｈ＜２で、ｘの値が１から１＋ｈまで増加するときだから、ｘの値は１≦ｘ＜３をとる。
よって、０≦ｘ≦３のときのｙ＝１ｘ²／４の式から、変化の割合を求める。
ｘの増加量
（ｈ＋１）ー１＝ｈ
ｙの増加量
（ｈ＋１）²／４ー１／４
＝（ｈ²＋２ｈ＋１）ー１／４
＝（ｈ²＋２ｈ）／４
変化の割合
（ｈ²＋２ｈ）／４×１／ｈ
＝（ｈ＋２）／４
令和３年度入試（本試験）
★円周角・三平方の定理、相似（中３）
問題
下の図で、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは円周上の異なる点である。線分ＡＣと線分ＢＤの交点をＰとし、点Ｐを通り線分ＢＣに平行な直線と線分ＣＤの交点をＱとする。ＢＣが円の直径で、ＢＣ＝２０、ＣＤ＝１２、ＰＱ＝１５であるとき、あとの各問いに答えなさい。
１）線分ＰＣの長さを求めなさい。
２）線分ＡＤの長さを求めなさい。
１）
直径に対する円周角は90°だから、
∠ＢＤＣ＝90°
△ＢＣＤは直角三角形だから、三平方の定理より、
ＢＤ²＋ＣＤ²＝ＢＣ²
ＢＤ²＋12²＝20²
ＢＤ＝16 cm
※ＣＤ：ＢＣ＝４：５より、ＢＤ：ＣＤ：ＢＣ＝３：４：５を利用して求めてもよい。
ＢＣ//ＰＱより、△ＤＢＣ∽△ＤＰＱ
ＤＢ：ＤＰ＝ＢＣ：ＰＱ
16：ＤＰ＝20：15
16：ＤＰ＝４：３
ＤＰ＝12 cm
△ＣＤＰはＣＤ＝ＤＰ＝12cmの直角二等辺三角形となるから、直角三角形の辺の比より、
ＰＣ：ＣＤ＝√２：１
ＰＣ：12＝√２：１
ＰＣ＝12√２ cm
２）
△ＰＡＤと△ＰＢＣで、
Ｄ⌒Ｃに対する円周角は等しいから、
∠ＰＡＤ＝∠ＰＢＣ ①
Ａ⌒Ｂに対する円周角は等しいから、
∠ＰＤＡ＝∠ＰＣＢ ②
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＰＡＤ∽△ＰＢＣ
対応する辺の比は等しいので、
ＡＤ：ＢＣ＝ＰＤ：ＰＣ
１）から、
ＡＤ：20＝12：12√２
ＡＤ：20＝１：√２
ＡＤ＝10√２ cm
昨日の授業から
★三平方の定理の応用
問題
ＡＢ＝14cm、ＢＣ＝15cm、ＣＡ＝13cmである△ＡＢＣにおいて、Ａから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点をＨとする。
１）線分ＢＨの長さを求めなさい。
２）△ＡＢＣの面積を求めなさい。
１）
△ＡＢＨと△ＡＣＨの辺ＡＨの長さが等しい（共通な辺）
求めるＢＨをｘcmとする
△ＡＢＨと△ＡＣＨで三平方の定理より、
ＡＨ²＋ｘ²＝14²
ＡＨ²＝14²ーｘ² ①
ＡＨ²＋（15ーｘ）²＝13²
ＡＨ²＝13²ー（15ーｘ）² ②
①＝②より、
14²ーｘ²＝13²ー（15ーｘ）²
196ーｘ²＝169ー（225ー30ｘ＋ｘ²）
30ｘ＝252
ｘ＝42／５ cm
２）
高さＡＨの長さを求める
①の式にｘ＝42／５を代入
ＡＨ²＝14²ー（42／５）²
ＡＨ²＝3136/25
ＡＨ＝56/5（ＡＨ＞０）
△ＡＢＣ
＝1／2×15×56／5
＝84 cm²
問題
ＢＣ＝ＣＡ＝８cm、面積が４√15cm²の△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中点をＭとし、点ＡからＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点をＨとする。
１）線分ＨＭの長さを求めなさい。
２）線分ＡＢの長さを求めなさい。
１）
△ＡＢＣ＝４√15cm²より、高さＡＨの長さを求める。
１／２×ＢＣ×ＡＨ＝４√15
１／２×８×ＡＨ＝４√15
４ＡＨ＝４√15
ＡＨ＝√15
△ＡＣＨで三平方の定理より、
ＣＨ²＋√15²＝８²
ＣＨ²＝49
ＣＨ＝７cm（ＣＨ＞０）
ＨＭ＝ＣＨ－ＢＨだから、
ＨＭ＝７－４＝３cm
２）
１）よりＢＨ＝１cmとなるから、
△ＡＢＨで三平方の定理より、
ＡＢ²＝ＡＨ²＋ＢＨ²
ＡＢ²＝√15²＋１²
ＡＢ²＝16
ＡＢ＝４cm（ＡＢ＞０）
「三平方の定理」練習問題
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2025.1.11 高専入試問題（中学数学 1/10解説）