数の規則性 中学数学
11/24 授業解説
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（11/23）は、中学３年生に数学の入試対策を行いました。入試問題では、「数の規則性」に関する問題がよく出題されます。文字を使った１次式や２次式の応用問題で、多くの情報を整理しながら、数の変わり方のパターンを見つけ出します。中学生が敬遠しがちな問題でもあるため、特に出題されやすい学習内容です。また、限られた試験時間の中で、多くの情報を短時間のうちに処理する力が求めらます。さまざまな問題を解いて、規則性を見出すための視点を身につけておきましょう。
問題
正多角形のそれぞれの辺上に、頂点から頂点まで碁石を等間隔に並べる。例えば、下の図のように、正五角形の辺上に、碁石の個数がそれぞれ５個となるように碁石を並べると、２０個の碁石が必要であった。あとの各問いに答えなさい。
（１）正六角形の辺上に、碁石の個数がそれぞれ６個となるように並べるときに、必要な碁石の個数を求めなさい。
正五角形で１つの辺上に５個ずつ並ぶから、正六角形では６個ずつ並ぶ。
正六角形の辺の数は６だから、
６×６＝３６
この数から６つの頂点にある碁石の個数を引くと必要な個数になるから、
３６－６＝３０個
（２）ｎを３以上の自然数とする。正ｎ角形の辺上に、碁石の個数がそれぞれｎ個となるように並べる。このときに必要な碁石の個数をｎを使った式で表しなさい。
（１）の求め方から、
正ｎ角形の辺の数はｎ、１つの辺上にｎ個ずつ並ぶから、
ｎ×ｎ＝ｎ²
頂点の数はｎ、頂点にあるｎ個の碁石を引くと必要な個数になるから、
ｎ²ーｎ
別解
下の図のように、頂点と頂点の間に並ぶ個数に着目する。
間に並ぶ個数は、正ｎ角形のとき、ｎー２(個)になる。辺の数はｎだから、間に並ぶ個数の合計は、
（ｎー２）×ｎ＝ｎ²ー２ｎ
この数に、頂点にあるｎ個の碁石を足すと必要な個数になるから、
ｎ²ー２ｎ＋ｎ
＝ｎ²ーｎ
（３）必要な碁石の個数が８７０個となるのは、正何角形であるか求めなさい。
（２）の式から、
ｎ²ーｎ＝８７０
ｎ²ーｎー８７０＝０
（ｎ＋２９）（ｎー３０）＝０
ｎ≧３より、ｎ＝３０
よって、正三十角形
問題
下の図のように、正三角形のタイルを１段目に１枚、２枚目に３枚、３段目に５枚と、上の段から順にすき間なくはり、大きな正三角形をつくっていく。あとの各問いに答えなさい。
（１）５段目にはるタイルは何枚ですか。
１段目：１枚
２段目：３枚
３段目：５枚
各段のタイルは、前の段より２枚多い
よって、５段目は
５＋２＋２＝９枚
※３段目の５枚から計４枚増える
（２）タイルを１０段目まではり終えたとき、使ったタイルは全部で何枚ですか。
１段目：計１枚 １²
２段目：計４枚 ２²
３段目：計９枚 ３²
４段目：計１６枚 ４²
このことから、ｎ段目では、計ｎ²枚が必要になる。
よって、１０²＝１００枚
（３）タイルをはり続けていくとき、２００枚目のタイルをはるのは何段目ですか。
11段目：計11²枚＝121枚
・・・
14段目：計14²枚＝196枚
15段目：計15²枚＝225枚
このことから、200枚目は、197枚目から225枚目をはる15段目にある。
よって、15段目
問題
白い用紙に、正三角形の形に並ぶように連続した自然数を書いていく。まず１回目の作業として、１のみを書き、以後、次の作業を繰り返し行う。
【作業】
すでに正三角形の形に並んでいる自然数の下側に１行加え、再び正三角形の形に並ぶように新たに自然数を書く。自然数は、前の作業で書いた自然数の続きから、左から右へ小さい順に書いていく。
次の図は１回目から３回目までの作業後の結果である。例えば、３回目の作業については、新たに書いた自然数の個数は５個であり、正三角形の一番下の段の中央の自然数は７である。あとの各問いに答えなさい。
（１）５回目の作業について、新たに書く自然数の個数と、正三角形の一番下の段の中央の自然数を求めなさい。
新たに書く自然数の個数
１回目：１個
２回目：３個
３回目：５個
前の回より２個ずつ増える
５回目は、３回目から計４個増えるので、
５＋４＝９ 自然数の個数：９個
一番下の段の中央の自然数
２段目以降は、両端の数の和を２で割った数になる。
各段の右端の数は、
１段目：１＝１²
２段目：４＝２²
３段目：９＝３²
このことから、ｎ段目の右端の数はｎ²
また、各段の左端の数は、前段の右端に＋１した数になるので、
（ｎー１）²＋１
よって、
｛ｎ²＋（ｎー１）²＋１｝÷２
＝ｎ²ーｎ＋１
ｎ＝５より、５²ー５＋１＝２１
中央の自然数：２１
（２）１０回目の作業について、正三角形の一番下の段の中央の自然数と、新たに書く自然数の和を求めなさい。
一番下の段の中央の自然数は、（１）の式より、
１０²ー１０＋１＝９１
中央の自然数は、１０回目に新たに書く自然数の平均となる。
各段の自然数の個数は２個ずつ増えるから、２ｎー１(個）
１０回目の個数は、２×１０ー１＝１９
よって、９１×１９＝１７２９
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2024.11.25 数の規則性 中学数学 (11/24 授業解説）