確率・数の規則性
11/19 授業解説
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（11/19）は、定期テストを控える中学２年生にはテスト対策、すでに終えた中学３年生にはテスト解説を行いました。今のテストや入試の傾向は、筋道を立てて解く「論理的思考」が求められる出題が中心です。数学や理科、社会では、問題の答えを出すまでの道すじ（解き方）を、人に説明できるぐらいまで勉強しておく対策が必要になります。授業時間には「説明タイム」を設けて、思考を整理したり、思考を深めるための取り組みを行っています。
★確率（中２数学）
問題
下の図のように、ー２、－１、０、１、２の数字が書かれた５個の玉が袋の中に入っている。袋の中から玉を１個取り出し、書かれた数を確認する。次に、取り出した玉を袋に戻し、よくまぜてから再び玉を１個取り出す。１回目に取り出した玉に書かれた数をａ、２回目に取り出した玉に書かれた数をｂとする。このとき、ｘについての関数ｙ＝ａｘ＋ｂのグラフが、ｘ軸の負の部分と交わり、さらに、ｙ軸の正の部分と交わる確率を求めなさい。
①２回の玉の取り出し方
１回目５通り×２回目５通り＝２５通り
②ｙ＝ａｘ＋ｂ
ｘ軸の負の部分とｙ軸の正の部分で交わるから、「右上がり」の直線
よって、傾きａは正の数、切片ｂも正の数
③ａ＞０（正の数）、ｂ＞０（正の数）
１回目ａは、「１」「２」のどちらか
２回目ｂは、「１」「２」のどちらか
よって、４通り
答え：４／２５
★数の規則性「入試によく出る」
問題
ボタンに３つの電球Ａ、Ｂ、Ｃを取りつけた装置がある。３つの電球Ａ、Ｂ、Ｃはボタンを押すごとに、それぞれ次のように点灯する。
・電球Ａは、ボタンを押した回数が奇数のとき点灯し、それ以外は点灯しない。
・電球Ｂは、ボタンを押した回数が３の倍数のとき点灯し、それ以外は点灯しない。
・電球Ｃは、ボタンを押した回数が４の倍数より１小さい数（３，７，１１・・）のとき点灯し、それ以外は点灯しない。
・はじめ、３つの電球Ａ、Ｂ、Ｃはすべて点灯していない。
（１）はじめて３つの電球Ａ、Ｂ、Ｃが同時に点灯するのはボタンを何回押したときか。
押す回数
１回：Ａ◎ Ｂ Ｃ
２回：Ａ Ｂ Ｃ
３回：Ａ◎ Ｂ◎ Ｃ◎
よって、３回
（２）２回目に３つの電球Ａ、Ｂ、Ｃが同時に点灯するのはボタンを何回押したときか。
押す回数
１回：Ａ◎ Ｂ Ｃ
２回：Ａ Ｂ Ｃ
３回：Ａ◎ Ｂ◎ Ｃ◎
４回：Ａ Ｂ Ｃ
５回：Ａ◎ Ｂ Ｃ
６回：Ａ Ｂ◎ Ｃ
７回：Ａ◎ Ｂ Ｃ◎
８回：Ａ Ｂ Ｃ
９回：Ａ◎ Ｂ◎ Ｃ
１０回：Ａ Ｂ Ｃ
１１回：Ａ◎ Ｂ Ｃ◎
１２回：Ａ Ｂ◎ Ｃ
１３回：Ａ◎ Ｂ Ｃ
１４回：Ａ Ｂ Ｃ
１５回：Ａ◎ Ｂ◎ Ｃ◎
よって、１５回
（３）１０回目に３つの電球Ａ、Ｂ、Ｃが同時に点灯するのはボタンを何回押したときか。
押す回数が３回以降
Ａ：２回おきに◎
Ｂ：３回おきに◎
Ｃ：４回おきに◎
→２、３、４の最小公倍数である１２回おきに同時点灯
同時点灯する場合をｎ回とする
押す回数が３回以降に１２回おきに全点灯するから、１２ｎ－９
ｎ＝１０を代入し、
１２×１０ー９＝１１１回
（４）ボタンを１００回押すとき、電球Ｂだけが点灯するのは何回あるか。
押す回数が６回のときに、初めてＢだけが点灯する
以後、６回おきにＢだけが点灯する
Ｂだけ点灯する場合をｍ回とすると、６ｍ
６ｍ＝１００より
ｍ＝１６．６・・
ｍ＝１７回目は、１０２回押したときだから、１６回
★一次関数と二次関数の共有点
問題
放物線ｙ＝ｘ²と、直線ｙ＝ーｘ＋２の共有点のうち、ｘ座標が小さい方の点をＡ、もう一方をＢとする。直線ｙ＝ーｘ＋２とｙ軸、ｘ軸との交点を、それぞれＣ、Ｄとする。（１）～（３）の三角形の面積を求めなさい。
（１）△ＯＤＣ
点Ｃは切片（０，２）
点Ｄは、ｙ＝０だから、
ｙ＝ーｘ＋２に代入 ｘ＝２
底辺ＯＤ＝２、高さＯＣ＝２より
△ＯＤＣ＝１／２×２×２＝２
（２）△ＯＢＣ
点Ｂは、２つの式の共有点
連立方程式より、
ｘ²＝ーｘ＋２
ｘ²＋ｘー２＝０
（ｘ＋２）（ｘー１）＝０
ｘ＝－２，１
点Ｂのｘ座標は１より、
ｙ＝ｘ²に、ｘ＝１代入 ｙ＝１
点Ｂ（１，１）
底辺ＯＣ＝２
高さは点Ｂからｙ軸への垂線：１
△ＯＢＣ＝１／２×２×１＝１
（３）△ＯＡＢ
（２）より、点Ａのｘ座標はー２
ｙ＝ｘ²に、ｘ＝ー２代入 ｙ＝４
点Ａ（ー２，４）
△ＯＡＣは、底辺ＯＣで、高さは点Ａからｙ軸への垂線
ＯＣ＝２、高さ＝２だから、
△ＯＡＣ＝１／２×２×２＝２
△ＯＡＢ＝△ＯＡＣ＋△ＯＢＣ
よって、△ＯＡＢ＝２＋１＝３
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合格実績（開塾２年 2023-24）
八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 工大二高附属中 階上中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生31名（2024年11月現在）
塾生の声
「苦手意識が ”自信” に変わりました」
（中学３年）
数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
「体験学習から受験合格へ」
（小学６年）
今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
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2024.11.20 確率・数の規則性 (11/19 授業解説）