文字式図形の応用問題

たむかい学習教室
6月2日
読了時間: 8分

更新日：6月8日

文字式図形の応用問題

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　中２数学では、文字式の基本計算の学習が終わり、生徒たちは応用問題に取り組んでいます。図形上の長さを文字で表す問題があり、中１数学で学習する立体図形（柱・すい・球）の表面積や体積の公式も使います。前の学年の復習を兼ねながら学習を進めています。

中１数学の復習

円すいの表面積・体積

問題

下の図の円すいについて、あとの問いに答えなさい。

1）表面積を求めなさい。

2）体積を求めなさい。

1）

表面積

＝側面積（おうぎ）＋底面積（円）

側面積

＝弧の長さ×母線（おうぎの半径）×1／2

弧の長さは底面の円周と同じ

２π×３＝６π cm

側面積は

６π×５×1／2＝15π cm²　①

底面積＝π×（半径）²

底面積は

π×３²＝９π cm²　②

①＋②より

15π＋９π＝24π（cm²）

2）

円すいの体積

＝底面積×高さ×1／3

体積は

９π×４×1／3

＝12π（cm³）

球の表面積・体積

問題

下の図の球について、あとの問いに答えなさい。

1）表面積を求めなさい。

2）体積を求めなさい。

1）

球の表面積・公式

４πｒ²

表面積は

４π×３²＝36π（cm²）

2）

球の体積・公式

４

━ π ｒ³

３

表面積は

４／３×π×３³＝36π（cm³）

文字で表す問題

問題

Ａさんは、下の図のように、円の形をした池の周りを走って１周した。Ｂさんは、Ａさんよりも１ｍ外側を走って１周した。Ｂさんが走った道のりは、Ａさんが走った道のりより何ｍ長いか、求めなさい。

池の半径をｒ(ｍ)とする

Ａさんが走った道のりは、円周の公式より、

２π×ｒ＝２πｒ　①

外周の円の半径は、ｒ＋１(ｍ)だから、

２π（ｒ＋１）　②

②ー①より、

２π（ｒ＋１）－２πｒ

＝２πｒ＋２π－２πｒ

＝２π (ｍ)

問題

ともに高さがｈ、底面の半径がｒの円柱と円すいがある。あとの各問いに答えなさい。

1）円柱の側面積を文字を使った式で表しなさい。

2）円柱と円すいの体積の差を、文字を使った式で表しなさい。

1）

円柱の側面は「長方形」

たて＝円柱の高さ

よこ＝底面の円周

たての長さは、ｈ

よこの長さは、円の公式より、２πｒ

側面積は

ｈ×２πｒ＝２πｒｈ

2）

円柱の体積＝底面積×高さ

底面積

円の公式より、πｒ²

よって、体積は

πｒ²×ｈ＝πｒ²ｈ　①

円すいの体積＝底面積×高さ×1／3

底面積

円の公式より、πｒ²

よって、体積は

πｒ²×ｈ×1／3

＝πｒ²ｈ／３　②

①－②より

πｒ²ｈ－πｒ²ｈ／３

＝２πｒ²ｈ／３

問題

半径がｒcmの球について、あとの各問いに答えなさい。

1）球の表面積を、文字を使った式で表しなさい。

2）この球の半径を３倍にすると、表面積は何倍になりますか。

1）

球の表面積の公式より

４πｒ²（cm²）

2）

半径は３ｒ cm になる

４π×（３ｒ）²

＝４π×９ｒ²

＝36πｒ² cm²

よって、

36πｒ² ÷ ４πｒ²

＝９倍

3）もとの球の体積を、文字を使った式で表しなさい。

4）もとの球の半径を半分にすると、体積は何倍になりますか。

3）

球の体積の公式より

４

━ πｒ³（cm³）

３

4）

半径は１ｒ／２ cmになる

４　　　１

━ π × （ ━ｒ）³

３　　　２

　４　　１

＝ ━ π × ━ｒ³

　３　　８

　１

＝ ━ πｒ³

　６

よって、

１　　　４

━ πｒ³ ÷ ━ πｒ³

６　　　３

　１　３　１

＝ ━ × ━ ＝ ━ 倍

　６　４　８

問題

底面の半径がｒcm、高さが２ｒcmの円柱と、半径がｒcmの球の体積の差を求めなさい。

円柱の体積

πｒ²×２ｒ＝２πｒ³　①

球の体積

４

━ πｒ³　②

３

①－②より

　　　４

（２－ ━ ）×πｒ³

　　　３

　２

＝ ━ πｒ³（cm³）

　３

平面図形　周の長さと面積

問題

１辺がａcmの正方形について、あとの各問いに答えなさい。

1）正方形の面積を、文字を使った式で表しなさい。

2）この正方形の１辺の長さを２倍にすると、面積は何倍になりますか。

1）

正方形の面積＝（１辺の長さ）²

ａ²（cm）

2）

２ａcmになるから

（２ａ）²

＝４ａ²（cm）

3）もとの正方形の周の長さを、文字を使った式で表しなさい。

4）周の長さがもとの正方形の５倍である正方形について、１辺の長さを文字を使った式で表しなさい。

3）

正方形の周の長さ＝１辺の長さ×４

ａ×４

＝４ａ（cm）

4）

もとの周の長さが４ａcmだから

４ａ×５

＝20ａ（cm）

同じ長さの辺が４つあるから

20ａ÷４

＝５ａ（cm）

問題

縦がａcm、横がｂcmの長方形がある。縦の長さを２／３倍、横の長さを３倍にしたとき、もとの長方形との面積の差を求めなさい。

もとの面積

ａ×ｂ

＝ａｂ（cm²）　①

長さを倍した面積

２ａ／３×３ｂ

＝２ａｂ（cm²）　②

②－①より

２ａｂ－ａｂ

＝ａｂ（cm²）

問題

底辺がｘ、高さがｙの直角三角形がある。底辺を５／３倍、高さを４／５倍した図形について、あとの各問いに答えなさい。

1）この図形の面積を、文字を使った式で表しなさい。

2）この図形の面積は、もとの直角三角形の何倍ですか。

1）

底辺の長さ

ｘ×５／３＝５ｘ／３

高さ

ｙ×４／５＝４ｙ／５

面積は

５ｘ／３×４ｙ／５×１／２

＝２ｘｙ／３

2）

もとの面積は

ｘ×ｙ×１／２

＝１ｘｙ／２

よって、

２ｘｙ／３÷１ｘｙ／２

＝４／３倍

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