連立方程式
12/23 授業解説
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（12/23）は、小学生に国語の授業、中学生に英語と数学の授業を行いました。また、冬休みの冬期講習が始まりました。塾生たちは、１・２学期の復習や入試対策に取り組んでいます。
★連立方程式（中２）
問題
１個１２０円のりんごと１個１６０円の柿をあわせて１８個買って２４００円払いました。りんごをｘ個、柿をｙ個買ったとして連立方程式をつくり、それぞれの個数を求めなさい。
個数の方程式
ｘ＋ｙ＝１８ ①
代金の方程式
120ｘ＋160ｙ＝2400 ②
②÷40
３ｘ＋４ｙ＝６０ ②´
①×３
３ｘ＋３ｙ＝５４ ①´
②´ー①´
ｙ＝６
①に代入
ｘ＝１２
りんご：１２個、柿６個
問題
Ａさんの家からＢさんの家までの道のりは２kmで、その途中にある図書館で２人は一緒に勉強することにした。Ａさんは午前１０時に自分の家を出て時速１２kmで走り、Ｂさんは午前１０時５分に自分の家を出て時速４kmで歩くと、同時に図書館に着いた。Ａさんの家から図書館までの道のりと、Ｂさんの家から図書館までの道のりを、方程式をつくって求めなさい。
Ａさんの家から図書館までの道のり：ｘkm
Ｂさんの家から図書館までの道のり：ｙkm
道のりの方程式
ｘ＋ｙ＝２ ①
時間の方程式
ｘ／12＝ｙ／4＋5／60 ②
②×60÷５
５ｘー１５ｙ＝５
ｘ－３ｙ＝１ ②´
①ー②´
ｙ＝１／４
①に代入
ｘ＝７／４
Ａさんの家から
７／４km（1.75km）
Ｂさんの家から
１／４km（0.25km）
★相似の利用（中３）
問題
下の図は、ＡＢ＝４cm、ＢＣ＝１０cm、ＢＦ＝６cmの直方体である。辺ＡＤの中点をＰとするとき、あとの各問いに答えなさい。
（１）三角錐ＰＣＤＨの体積を求めなさい。
△ＰＤＨを底面とする
高さ：ＣＤ＝４cm
底面積
１／２×５×６＝１５cm
体積
１／３×１５×４＝２０cm³
高さは「垂線」
△ＣＤＰや△ＣＤＨを底面にしたときなど、立体をいろいろな方向からとらえるようにしておく。
（２）点Ｐから辺ＢＣを通って点Ｇまで、長さが最も短くなるように糸をかけ、かけた糸と辺ＢＣとの交点をＱとする。このとき、線分ＢＱの長さを求めなさい。
展開図にすると、ＰＧは直線になる。
△ＧＤＰと△ＧＣＱで、
∠ＧＤＰ＝∠ＧＣＱ（同位角）
∠ＧＰＤ＝∠ＧＱＣ（同位角）
よって、△ＧＤＰ∽△ＧＣＱ
ＧＤ：ＧＣ＝ＰＤ：ＱＣ
１０：６＝５：ＱＣ
ＱＣ＝３cm
ＢＱ
＝ＢＣ－ＱＣ
＝１０－３＝７cm
「最も短くなる」
最短距離だから、展開図では「直線」になる。
問題
下の図のように、∠ＡＣＢ＝９０°の直角三角形ＡＢＣがある。∠ＡＢＣの二等分線と辺ＡＣの交点をＤとする。また、点Ｃから辺ＡＢにひいた垂線と辺ＡＢの交点をＥとし、線分ＢＤと線分ＣＥの交点をＦとする。
ＥＢ＝４cm、ＢＣ＝５cm、ＥＣ＝３cmのとき、線分ＦＣの長さを求めなさい。
△ＥＢＦと△ＣＢＤで、
∠ＥＢＦ＝∠ＣＢＤ ①
∠ＢＥＦ＝∠ＢＣＤ＝９０° ②
①、②より、
△ＥＢＦ∽△ＣＢＤ
相似の関係から
∠ＢＦＥ＝∠ＢＤＣ ③
∠ＢＦＥ＝∠ＣＦＤ（対頂角） ④
③、④より、
∠ＢＤＣ＝∠ＣＦＤ
△ＣＤＦは二等辺三角形になるから、
ＣＤ＝ＣＦ
ＢＥ：ＢＣ＝ＥＦ：ＣＤ
４：５＝ＥＦ：（３－ＥＦ）
５ＥＦ＝１２－４ＥＦ
９ＥＦ＝１２
ＥＦ＝４／３
ＦＣ
＝ＥＣ－ＥＦ
＝３－４／３＝５／３cm
★三平方の定理
問題
ＡＢ＝８cm、ＡＤ＝１０cm、ＢＣ＝１３cm ∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＡ＝９０° ｘの値
ＤからＢＣに垂線をひき、交点をＨとする。
△ＣＤＨ
ＤＣ²＝ＣＨ²＋ＤＨ²
ｘ²＝３²＋８²
ｘ²＝７３
ｘ＝√７３（ｘ＞０）
問題
２辺の長さが１０cm、８cmの三角形を考える。この三角形が直角三角形であるためには、残りの１辺の長さは何cmであればよいか、すべて求めなさい。
残りの１辺をｘcmとする
斜辺が１０cmのとき
１０²＝ｘ²＋８²
ｘ²＝３６
ｘ＝６cm（ｘ＞０）
斜辺がｘcmのとき
ｘ²＝１０²＋８²
ｘ²＝１６４
ｘ＝２√４１cm（ｘ＞０）
問題
周の長さが３０cmの直角三角形がある。斜辺の長さが１３cmであるとき、ほかの２辺の長さをすべて求めなさい。
ほかの２辺のうちの１辺をｘcmとする
もう１辺は（17－ｘ）cmとなる
ｘ²＋（17ーｘ）²＝13²
2ｘ²ー34ｘ＋120＝０
ｘ²ー17ｘ＋60＝０
（ｘ－５）（ｘ－１２）＝０
ｘ＝５，１２
よって、５cm・１２cm
問題
３辺の長さが、（ｘ＋２）cm、ｘcm、（ｘ－２）cmである直角三角形がある。この三角形の斜辺の長さを求めなさい。
長さがいちばん大きい（ｘ＋２）cmが、斜辺の長さになる。
（ｘ＋２）²＝ｘ²＋（ｘ－２）²
ｘ²ー８ｘ＝０
ｘ（ｘ－８）＝０
ｘ＝０，８
よって、８cm
👉相似
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合格実績（開塾２年 2023-24）
八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中 福地中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生31名（2024年12月現在）
塾生の声
「苦手意識が ”自信” に変わりました」
（中学３年）
数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
「体験学習から受験合格へ」
（小学６年）
今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
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2024.12.24 連立方程式（12/23 授業解説）