連立方程式計算のしかた

たむかい学習教室
2025年8月4日
読了時間: 10分

連立方程式計算のしかた

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

学校の夏休みに入りました。塾生は１学期の復習や受験対策に取り組んでいます。中２数学には、「連立方程式」の学習があり、２年生は１学期で学習したことの確認、３年生は入試対策の演習を行っています。

式の計算問題

問題

次の連立方程式を計算しなさい。

1）

ｙ＝３ｘ＋５

２ｘ－ｙ＝－１

「＝」の意味

👉左辺と右辺は等しい

ｙ＝３ｘ＋５

👉「ｙは、３ｘ＋５と等しい」

1）

ｙ＝３ｘ＋５　①

　　　↓

２ｘ－ｙ＝－１　②

ｙは、３ｘ＋５と等しいから、

②のｙを３ｘ＋５に置きかえる（代入する）

２ｘ－（３ｘ＋５）＝－１

２ｘ－３ｘ－５＝－１

－ｘ＝４

ｘ＝－４

①にｘ＝－４を代入

ｙ＝３ｘ＋５

　＝３×（－４）＋５

　＝－12＋５

　＝－７

よって、

（ｘ，ｙ）＝（－４，－７）

2）

７ｘ＋３ｙ＝８　①

３（ｘ－ｙ）＝ｘ＋10　②

②より

３（ｘ－ｙ）＝ｘ＋10

３ｘ－３ｙ＝ｘ＋10

２ｘ－３ｙ＝10　②’

７ｘ＋３ｙ＝８　①

２ｘ－３ｙ＝10　②’

＋３ｙ＋（－３ｙ）＝０だから

①＋②’

　　７ｘ＋３ｙ＝８

＋）２ｘ－３ｙ＝10

　　９ｘ　　　＝18

　　　　　　ｘ＝２

②’にｘ＝２を代入

２ｘ－３ｙ＝10

２×２－３ｙ＝10

－３ｙ＝６

ｙ＝－２

よって、

（ｘ，ｙ）＝（２，－２）

3）

ｘ／２＋ｙ／５＝３　①

ｘ＋ｙ＝９　②

分数を含む方程式

👉分母の最小公倍数を両辺にかける

①の両辺を×10

ｘ／２＋ｙ／５＝３

５ｘ＋２ｙ＝30　①’

②の両辺を×２

２ｘ＋２ｙ＝18　②’

①’－②’

　　５ｘ＋２ｙ＝30

－）２ｘ＋２ｙ＝18

　　３ｘ　　　＝12

　　　　　　ｘ＝４

②にｘ＝４を代入

ｘ＋ｙ＝９

４＋ｙ＝９

ｙ＝５

よって、

（ｘ，ｙ）＝（４，５）

横式の計算問題

問題

連立方程式ｘ＋３ｙ＝３ｘ＋５ｙ－２＝９を解きなさい。

Ａ　＝　Ｂ　＝　Ｃ

　 👇

Ａ　＝　Ｂ

Ａ　＝　Ｃ

Ｂ　＝　Ｃ

※どの組み合わせでも、ｘとｙは同じ解になる。

ｘ＋３ｙ＝３ｘ＋５ｙ－２＝９

👇

ｘ＋３ｙ＝９　①

３ｘ＋５ｙ－２＝９　②

①より

ｘ＝９－３ｙ

これを②に代入

３（９－３ｙ）＋５ｙ－２＝９

27－９ｙ＋５ｙ－２＝９

－４ｙ＝－16

ｙ＝４

①にｙ＝４を代入

ｘ＋12＝９

ｘ＝－３

よって、

（ｘ，ｙ）＝（－３，４）

文章問題

問題

ある店では、シュークリーム３個とチーズケーキ４個の代金の合計は2050円、シュークリーム４個とチーズケーキ６個の代金の合計は3000円である。シュークリーム１個とチーズケーキ１個の値段は、それぞれ何円か求めなさい。

文章問題の基本

「それぞれ～？」をｘとｙにして式をつくる

式の単位をはっきりさせる

シュークリーム１個の値段をｘ円、

チーズケーキ１個の値段をｙ円とする。

シュークリーム３個の代金

ｘ×３＝３ｘ（円）

チーズケーキ４個の代金

ｙ×４＝４ｙ（円）

合計が2050円だから、

３ｘ＋４ｙ＝2050　①

シュークリーム４個の代金

ｘ×４＝４ｘ（円）

チーズケーキ６個の代金

ｙ×６＝６ｙ（円）

合計が3000円だから、

４ｘ＋６ｙ＝3000　②

②÷２

２ｘ＋３ｙ＝1500　②’

①×２－②’×３

　　６ｘ＋８ｙ＝4100

－）６ｘ＋９ｙ＝4500

　　　　　－ｙ＝－400

　　　　　　ｙ＝400

②’に代入

２ｘ＋1200＝1500

２ｘ＝300

ｘ＝150

よって、

シュークリーム　150円

チーズケーキ　　400円

問題

ある中学校で５月に図書室を利用した生徒数は、１年生と２年生あわせて115人であった。６月に図書室を利用した生徒数は、５月と比べて、１年生は20％増え、２年生は10％減ったため、１年生と２年生合わせて２人増えた。５月に図書室を利用した１年生と２年生の生徒数は、それぞれ何人か求めなさい。

５月に利用した１年生をｘ人、

５月に利用した２年生をｙ人とする。

５月の利用生徒は合わせて115人だから、

ｘ＋ｙ＝115　①

６月の利用生徒

１年生は５月の20％分増えた

👉ｘ×（100/100＋20/100）

　＝120/100ｘ（人）

２年生は５月の10％分減った

👉ｙ×（100/100－10/100）

　＝90/100ｙ（人）

６月の利用生徒は、５月と比べて２人増えたから、

115＋２＝117（人）

よって、

120/100ｘ＋90/100ｙ＝117　②

②×100

120ｘ＋90ｙ＝11700

両辺÷30

４ｘ＋３ｙ＝390　②’

①×３－②’

　　３ｘ＋３ｙ＝345

－）４ｘ＋３ｙ＝390

　　－ｘ　　　＝－45

　　　　　　ｘ＝45

①に代入

45＋ｙ＝115

ｙ＝70

よって、

５月に利用した１年生　45人

５月に利用した２年生　70人

問題

ある工場では部品Ａ、Ｂを昨日はあわせて310個製造したが、今日は昨日より、部品Ａを20％、部品Ｂを10％増やしたら、全体で46個増えた。昨日製造した部品Ａ、Ｂの個数をぞれぞれ求めなさい。

昨日製造したＡをｘ個、

昨日製造したＢをｙ個とする。

昨日は合わせて310個製造したから、

ｘ＋ｙ＝310　①

今日の製造個数

Ａは昨日の20％分増えた

👉ｘ×（100/100＋20/100）

　＝120/100ｘ（個）

Ｂは昨日の10％分増えた

👉ｙ×（100/100＋10/100）

　＝110/100ｙ（個）

今日の個数は、昨日と比べて46個増えたから、

310＋46＝356（個）

よって、

120/100ｘ＋110/100ｙ＝356　②

②×100

120ｘ＋110ｙ＝35600

両辺÷10

12ｘ＋11ｙ＝3560　②’

①より

ｘ＝310－ｙ

これを②’に代入

12（310－ｙ）＋11ｙ＝3560

3720－12ｙ＋11ｙ＝3560

－ｙ＝－160

ｙ＝160

①に代入

ｘ＋160＝310

ｘ＝150

よって、

部品Ａ　150個

部品Ｂ　160個

問題

ケーキ５個とプリン７個を買い、代金として3810円はらったが、店員がケーキとプリンの値段をとりちがえて計算していたことに気づき、300円返してくれた。ケーキ１個とプリン１個の値段をそれぞれ求めなさい。

ケーキ１個の値段をｘ円、

プリン１個の値段をｙ円とする。

「代金3810円」

👉ｘ円とｙ円をとり違えた合計

※ケーキ１個をｙ円、プリン１個をｘ円にしてしまった。

５ｙ＋７ｘ＝3810　

７ｘ＋５ｙ＝3810　①

「300円返してくれた」

👉正しい代金は、3810－300（円）

５ｘ＋７ｙ＝3810－300

５ｘ＋７ｙ＝3510　②

①×５－②×７

　　35ｘ＋25ｙ＝19050

－）35ｘ＋49ｙ＝24570

　　　　－24ｙ＝－5520

　　　　　　ｙ＝230

①に代入

７ｘ＋1150＝3810

７ｘ＝2660

ｘ＝380

よって、

ケーキ１個　380円

プリン１個　230円

問題

たくやさんは、池の周りにある１周10kmのコースを、時速10kmで１周走ることにした。たくやさんの姉は、たくやさんが出発した何分かあとに同じところを出発して、自転車に乗って時速15kmでこのコースを進む。このとき、たくやさんの姉が出発してからたくやさんと出会うまでにかかる時間は、たくやさんと同じ方向に進むときと、反対の方向に進むときとで等しくなった。たくやさんの姉は、たくやさんが出発した何分後に出発したか求めなさい。

出発からの時間

姉が進んだ時間をｘ分間、たくやより遅れて出発した分の時間をｙ分間とすると、

たくやの進んだ時間は、ｘ＋ｙ（分間）

「出会う」とあるから、

同じ方向のときは、２人が進んだ道のりは同じ

たくやの進んだ道のり

速さ　時速10km

時間　（ｘ＋ｙ）分

　　＝（ｘ＋ｙ）／60 時間

※時速で計算する場合、時間の単位は「時間」にする。

道のりは、

10（ｘ＋ｙ）／60 km

姉の進んだ道のり

速さ　時速15km

時間　ｘ分＝ｘ／60 時間

道のりは、

15ｘ／60 km

２人が進んだ道のりは等しいから、

10（ｘ＋ｙ）／60＝15ｘ／60　①

反対方向のときは、

たくやの道のり＋姉の道のり＝池１周分

よって、

10（ｘ＋ｙ）／60＋15ｘ／60＝10　②

10（ｘ＋ｙ）／60＝15ｘ／60　①

10（ｘ＋ｙ）／60＋15ｘ／60＝10　②

①×60

10（ｘ＋ｙ）＝15ｘ

両辺÷５

２（ｘ＋ｙ）＝３ｘ

２ｘ＋２ｙ＝３ｘ

ｘ＝２ｙ　①’

②×60

10（ｘ＋ｙ）＋15ｘ＝600

両辺÷５

２（ｘ＋ｙ）＋３ｘ＝120

２ｘ＋２ｙ＋３ｘ＝120

５ｘ＋２ｙ＝120

これに、ｘ＝２ｙを代入

10ｙ＋２ｙ＝120

12ｙ＝120

ｙ＝10

よって、10分後

問題

太郎さんは175ｇのサラダをつくった。このサラダの材料は下の表の３品目だけであり、使った赤ピーマンの分量は50ｇだった。この表をもとに、このサラダにふくまれるエネルギーの合計を求めると33kcalだった。サラダに使った大根とレタスの分量はそれぞれ何ｇか、求めなさい。

大根の分量をｘｇ、レタスの分量をｙｇとする。

３つの材料を合わせると175ｇだから、

ｘ＋ｙ＋50＝175

ｘ＋ｙ＝125　①

大根ｘｇのときのエネルギーをＡkcalとする

100ｇで18kcalあるから、

100：18＝ｘ：Ａ

100Ａ＝18ｘ

Ａ＝18/100ｘ（kcal）

レタスｙｇのときのエネルギーをＢkcalとする

100ｇで12kcalあるから、

100：12＝ｙ：Ｂ

100Ｂ＝12ｙ

Ｂ＝12/100ｙ（kcal）

赤ピーマン50ｇのときのエネルギーをＣkcalとする

100ｇで30kcalあるから、

100：30＝50：Ｃ

100Ｃ＝1500

Ｃ＝15（kcal）

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝33だから、

18/100ｘ＋12/100ｙ＋15＝33

18/100ｘ＋12/100ｙ＝18　②

②×100

18ｘ＋12ｙ＝1800

両辺÷６

３ｘ＋２ｙ＝300　②’

①×２－②’

　　２ｘ＋２ｙ＝250

－）３ｘ＋２ｙ＝300

　　－ｘ　　　＝－50

　　　　　　ｘ＝50

①に代入

50＋ｙ＝125

ｙ＝75

よって、

大根　　50ｇ

レタス　75ｇ

問題

２けたの正の整数がある。この整数は、各位の数の和の８倍に等しくなる。また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる２けたの数は、もとの整数よりも45小さくなる。もとの整数を求めなさい。

十の位の数をｘ、一の位の数をｙとする。

もとの整数は、10ｘ＋ｙ

これが、各位の数の和の８倍に等しいから、

10ｘ＋ｙ＝８（ｘ＋ｙ）

10ｘ＋ｙ＝８ｘ＋８ｙ

２ｘ－７ｙ＝０　①

位の数を入れかえた整数は、10ｙ＋ｘ

これが、もとの整数より45小さいから、

10ｙ＋ｘ＝10ｘ＋ｙ－45

－９ｘ＋９ｙ＝－45

両辺÷９

－ｘ＋ｙ＝－５　②

②より

ｙ＝ｘ－５

これを①のｙに代入

２ｘ－７（ｘ－５）＝０

２ｘ－７ｘ＋35＝０

－５ｘ＝－35

ｘ＝７

②に代入

－７＋ｙ＝－５

ｙ＝２

よって、72

体験学習受付中！

【たむかい学習教室】

完全1対1 個別指導

教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！

追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！

全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！

塾生のホンネ

「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」

「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」

「学校の授業で難しいことが増えてきた」

「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」

完全１対１授業でホンネを解決！

★苦手の克服に最適★

★受験に強い個別指導★

★経験豊富な講師の一貫指導★

★安心の授業料で全力サポート★

★苦手の克服に最適★

　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。

★受験に強い個別指導★

　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。

★経験豊富な講師の一貫指導★

　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。

★安心の授業料で全力サポート★

　入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。

　＜１か月授業料（税込）＞

　90分授業：14,800円（月4回）

120分授業：17,600円（月4回）

　(例)１回・90分授業の場合

　教師１名・生徒３名の複数指導

　→１名につき30分の個別指導

　指導時間3分の1、実質料金は割高に。

　　↕

　教師1名・生徒1名の完全個別指導

　⇒完全90分の個別指導（当塾）

　生徒1名に100％の指導時間

親御さんの声

「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」

合格実績

八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小

今年度塾生28名（2025年4月現在）

「体験学習」を実施しています

通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

保護者面談の日程調整

↓

保護者面談（40分程度）

お子様の受講に関わるご説明

保護者の方からのご相談・ご要望

↓

受講開始手続き

体験学習・実施日時はこちら

塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

受講に関するお問い合わせ

ご相談はお気軽にお尋ねください