- たむかい学習教室
- 7月7日
- 読了時間: 9分
２次不等式の応用
２次不等式では、ａなどの文字定数を含む式を解くときに、「場合分け」が必要になります。また、ｘの定義域が設定されているときは、放物線とｘ軸の位置関係から判断します。
問題
２次不等式ａｘ²＋ｂｘ＋６＞０の解が－３＜ｘ＜１となるように、定数ａ、ｂの値を定めよ。
解が－３＜ｘ＜１より
（ｘ＋３）（ｘ－１）＜０
ｘ²＋２ｘ－３＜０
両辺×（－２）
－２ｘ²－４ｘ＋６＞０
係数を比較して
ａ＝－２、ｂ＝－４
※別解
ｘ²＋２ｘ－３＝０、
ａｘ²＋ｂｘ＋６＝０とする
解と係数の関係より
－ｂ/ａ＝－２/１
ｂ＝２ａ
６/ａ＝－３/１
－３ａ＝６ ａ＝－２
よって、
ｂ＝２×（－２）＝－４
ｘ²＋２ｘ－３＜０、
ａｘ²＋ｂｘ＋６＞０より
ａ＜０
したがって、
ａ＝－２、ｂ＝－４
問題
２次不等式ｘ²－（ａ＋１）ｘ＋ａ＜０を解け。ただし、ａは定数とする。
１ －ａ －ａ
×
１ －１ －１
－（ａ＋１）
（ｘ－ａ）（ｘ－１）＜０
ａ＜１のとき、ａ＜ｘ＜１
ａ＞１のとき、１＜ｘ＜ａ
ａ＝１のとき、解なし
👉（ｘ－１）（ｘ－１）＜０のとき、すなわち（ｘ－１）²＜０のとき、左辺を２乗して０になる値がない。この場合は、重解型も考慮する。
問題
次の条件を満たすように、定数ａ、ｂ、ｃの値を、それぞれ定めよ。
1）２次不等式ｘ²＋ｂｘ＋ｃ＞０の解がｘ＜－２、１＜ｘ
2）２次不等式ａｘ²＋２ｘ＋ｃ＜０の解が－３＜ｘ＜１
1）
解がｘ＜－２、１＜ｘだから
（ｘ＋２）（ｘ－１）＞０
ｘ²＋ｘ－２＞０
係数を比較して
ｂ＝１、ｃ＝－２
2）
解が－３＜ｘ＜１だから
（ｘ＋３）（ｘ－１）＜０
ｘ²＋２ｘ－３＜０
係数を比較して
ａ＝１、ｃ＝－３
問題
次の不等式を解け。ただし、ａは定数とする。
1）
ｘ²－（ａ－２）ｘ－２ａ＞０
2）
ｘ²＋２ａｘ－３ａ²≦０
1）
ｘ²－（ａ－２）ｘ－２ａ＞０
１ －ａ －ａ
×
１ ２ ２
－（ａ－２）
（ｘ－ａ）（ｘ＋２）＞０
ａ＜－２のとき
ｘ＜ａ、ｘ＞－２
ａ＝－２のとき
ｘ≠－２のすべての実数
ａ＞－２のとき
ｘ＜－２、ｘ＞ａ
2）
ｘ²＋２ａｘ－３ａ²≦０
（ｘ＋３ａ）（ｘ－ａ）≦０
－３ａ＜ａ すなわち
ａ＞０のとき
－３ａ≦ｘ≦ａ
－３ａ＝ａ すなわち
ａ＝０のとき
ｘ＝０
－３ａ＞ａ すなわち
ａ＜０のとき
ａ≦ｘ≦－３ａ
問題
２次方程式ｘ²－２ｍｘ＋３ｍ＝０が実数解をもつとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。
判別式をＤとする
Ｄ/４＝ｍ²－３ｍ
Ｄ≧０より
ｍ²－３ｍ≧０
ｍ（ｍ－３）≧０
ｍ≦０、ｍ≧３
問題
次の条件を満たすように、定数ｍの値の範囲を定めよ。
1）２次関数ｙ＝ｘ²＋ｍｘ－ｍのグラフがｘ軸と共有点をもたない。
2）２次関数ｙ＝ｘ²＋ｍｘ＋１のグラフがｘ軸と異なる２点を共有する。
1）
ｙ＝０ すなわち
ｘ²＋ｍｘ－ｍ＝０の判別式をＤとする
Ｄ＝ｍ²＋４ｍ
Ｄ＜０より
ｍ²＋４ｍ＜０
ｍ（ｍ＋４）＜０
－４＜ｍ＜０
2）
ｙ＝０ すなわち
ｘ²＋ｍｘ＋１＝０の判別式をＤとする
Ｄ＝ｍ²－４
Ｄ＞０より
ｍ²－４＞０
（ｍ＋２）（ｍ－２）＞０
ｍ＜－２、ｍ＞２
問題
２次方程式ｘ²－ｍｘ＋ｍ＋３＝０の実数解の個数を求めよ。
判別式をＤとする
Ｄ＝ｍ²－４ｍ－12
Ｄ＞０より
ｍ²－４ｍ－12＞０
（ｍ－６）（ｍ＋２）＞０
ｍ＜－２、ｍ＞６
このとき、異なる２つの実数解をもつ
Ｄ＝０より
ｍ²－４ｍ－12＝０
ｍ＝－２，６
このとき、実数の重解をもつ
Ｄ＜０より
ｍ²－４ｍ－12＜０
－２＜ｍ＜６
このとき、実数解をもたない
よって、
ｍ＜－２、ｍ＞６のとき、２個
ｍ＝－２，６のとき、１個
－２＜ｍ＜６のとき、０個
問題
２次不等式ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＞０の解がすべての実数であるとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。
ｙ＝ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６とする
ｙ＞０より
グラフはｘ軸との共有点をもたない
ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＝０とし、判別式をＤとする。
Ｄ/４＝ｍ²－ｍ－６
Ｄ＜０より
ｍ²－ｍ－６＜０
（ｍ－３）（ｍ＋２）＜０
－２＜ｍ＜３
問題
次の条件を満たすように、定数ｍの値の範囲を定めよ。
1）２次関数ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋３において、ｙの値が常に正である。
2）関数ｙ＝ｍｘ²＋４ｘ＋ｍ－３において、ｙの値が常に負である。
1）
ｙ＞０より
グラフはｘ軸との共有点をもたない
ｘ²＋２ｍｘ＋３＝０とし、判別式をＤとする。
Ｄ/４＝ｍ²－３
Ｄ＜０より
ｍ²－３＜０
－√３＜ｍ＜√３
2）
ｍ＝０のとき、
直線ｙ＝４ｘ－３となり、ｙ＜０を満たさないから不適。
ｙ＜０より
放物線は上に凸で、ｘ軸との共有点をもたない。
よって、
ｍ＜０
かつ
ｍｘ²＋４ｘ＋ｍ－３＝０は、Ｄ＜０
Ｄ/４＝４－ｍ²＋３ｍ
４－ｍ²＋３ｍ＜０
ｍ²－３ｍ－４＞０
（ｍ－４）（ｍ＋１）＞０
ｍ＜－１、ｍ＞４
ｍ＜０との共通範囲だから
ｍ＜－１
問題
２つの２次方程式ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＝０・・①、ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＝０・・②がある。次の条件を満たすように、それぞれ定数ｍの値の範囲を定めよ。
1）①、②がともに異なる２つの実数解をもつ。
2）①、②がともに実数解をもたない。
3）①、②の少なくとも一方が実数解をもつ。
1）
ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＝０
Ｄ＝ｍ²－４ｍ
Ｄ＞０より
ｍ²－４ｍ＞０
ｍ（ｍ－４）＞０
ｍ＜０、ｍ＞４ ①
ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＝０
Ｄ/４＝ｍ²－ｍ－６
Ｄ＞０より
ｍ²－ｍ－６＞０
（ｍ－３）（ｍ＋２）＞０
ｍ＜－２、ｍ＞３ ②
①、②より
ｍ＜－２、ｍ＞４
2）
ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＝０
Ｄ＜０より
ｍ²－４ｍ＜０
０＜ｍ＜４ ①
ｘ²－２ｍｘ＋ｍ＋６＝０
Ｄ＜０より
ｍ²－ｍ－６＜０
－２＜ｍ＜３ ②
①、②より
０＜ｍ＜３
3）
両方実数解をもたないときの余事象（補集合）
実数解をもたないときは
０＜ｍ＜３
よって、
ｍ≦０、ｍ≧３
👉ｍ＝０、３を含むことで、実数解をもつことになる。
問題
放物線ｙ＝ｘ²－４ｍｘ＋５ｍ²＋３ｍ－10の頂点の座標を（ｐ，ｑ）とする。この頂点が第３象限にあるとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。
頂点は第３象限にあるから
ｐ＜０、ｑ＜０
ｙ＝ｘ²－４ｍｘ＋５ｍ²＋３ｍ－10
＝（ｘ－２ｍ）²－４ｍ²＋５ｍ²＋３ｍ－10
＝（ｘ－２ｍ）²＋ｍ²＋３ｍ－10
よって、
ｐ＝２ｍ＜０
ｑ＝ｍ²＋３ｍ－10＜０
２ｍ＜０より
ｍ＜０ ①
ｍ²＋３ｍ－10＜０より
（ｍ＋５）（ｍ－２）＜０
－５＜ｍ＜２ ②
①、②より
－５＜ｍ＜０
問題
隣り合う２辺の長さの和が16cmの長方形において、面積を48cm²以上60cm²以下にするには、短い方の辺の長さをどのような範囲にとればよいか。
短い方の辺をｘcmとする
長い方の辺は（16－ｘ）cm
このことから
ｘ＜16－ｘ
２ｘ＜16
ｘ＜８ ①
面積を48cm²以上60cm²以下にするから
48≦ｘ（16－ｘ）≦60
48≦ｘ（16－ｘ） ②
ｘ（16－ｘ）≦60 ③
②より
48≦16ｘ－ｘ²
ｘ²－16ｘ＋48≦０
（ｘ－４）（ｘ－12）≦０
４≦ｘ≦12 ④
③より
16ｘ－ｘ²≦60
ｘ²－16ｘ＋60≧０
（ｘ－６）（ｘ－10）≧０
ｘ≦６、ｘ≧10 ⑤
①、④、⑤より
４≦ｘ≦６
よって、
４cm以上６cm以下
問題
２次方程式ｘ²－２ｍｘ＋１＝０が、０＜ｘ＜３の範囲に異なる２つの実数解をもつような定数ｍの値の範囲を求めよ。
ｘ²－２ｍｘ＋１＝０
Ｄ/４＝ｍ²－１
Ｄ＞０より
（ｍ＋１）（ｍ－１）＞０
ｍ＜－１、ｍ＞１ ①
ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ｍｘ＋１とする
ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｍ）²－ｍ²＋１
下に凸、軸ｘ＝ｍ
軸が定義域の内側にあればよいから
０＜ｍ＜３ ②
ｆ（０）＞かつｆ（３）＞０だから
ｆ（０）＝１＞０より満たしている
ｆ（３）＝９－６ｍ＋１
＝－６ｍ＋10＞０
ｍ＜5/3 ③
①、②、③より
１＜ｍ＜5/3
問題
ｘ²＋16ｘ＋63＜０を満たすすべての実数ｘについて、ｘ²＋３ａｘ－10ａ²＞０となるような実数ａのとりうる値の範囲を求めよ。
ｘ²＋16ｘ＋63＜０
（ｘ＋７）（ｘ＋９）＜０
－９＜ｘ＜－７ ①
ｘ²＋３ａｘ－10ａ²＞０
（ｘ＋５ａ）（ｘ－２ａ）＞０
－５ａ＜２ａ すなわちａ＞０のとき
ｘ＜－５ａ、ｘ＞２ａ
①より
－７≦－５ａ ａ≦7/5 ②
ａ＞０、②より
０＜ａ≦7/5 ③
－５ａ＝２ａ すなわちａ＝０のとき
ｘ²＞０で、ｘ≠０となり－９＜ｘ＜－７を満たす。
よって、ａ＝０を含む ④
－５ａ＞２ａ すなわちａ＜０のとき
ｘ＜２ａ、ｘ＞－５ａ
①より
－７≦２ａ ａ≧－7/2 ⑤
ａ＜０、⑤より
－7/2≦ａ＜０ ➅
③、④、➅より
－7/2≦ａ≦7/5
問題
２次方程式ｘ²－（８－ａ）ｘ＋12－ａｂ＝０がどんなａの値に対しても実数解をもつような定数ｂの値の範囲を求めよ。
ｘ²－（８－ａ）ｘ＋12－ａｂ＝０
判別式をＤとする
Ｄ＝64－16ａ＋ａ²－48＋４ａｂ
＝ａ²＋４ａｂ－16ａ＋16
＝ａ²＋４（ｂ－４）ａ＋16
＝｛ａ＋２（ｂ－４）｝²－４（ｂ－４）²＋16
Ｄ≧０だから
－４（ｂ－４）²＋16≧０
（ｂ－４）²－４≦０
ｂ²－８ｂ＋16－４≦０
ｂ²－８ｂ＋12≦０
（ｂ－２）（ｂ－６）≦０
２≦ｂ≦６
👉Ｄの値が０以上になると、実数解が得られる。｛ａ＋（２ｂ－８）｝²は０以上が確定。
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