1次関数の基本

たむかい学習教室
7月31日
読了時間: 7分

1次関数の基本

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

学校の夏休みに入りましたが、塾生は１学期の復習と受験対策に取り組んでいます。中２数学では、学期の終わりに「一次関数」の単元に入りました。関数は、「ｘの値が決まると、ｙの値が１つに決まる関係」のことで、その式は、ｙ＝ａｘまたはｙ＝ａｘ＋ｂの形で表します。

問題

直方体の形をした水そうに、13Ｌの水が入っている。この水そうに、１分間に５Ｌずつ増加するように水を入れる。水を入れ始めてからｘ分後の水の量をｙＬとして、ｙをｘの式で表しなさい。

１分間に５Ｌずつ増える

👉水の量ｙは、ｘ分間で５ｘ(Ｌ)増える。

👉ｙ＝５ｘ

最初に13Ｌ入っていたから、

ｙ＝５ｘ＋13

問題

長さ８cmのろうそくに火をつけると、１分間に0.2cmずつ短くなった。火をつけてからｘ分後のろうそくの長さをｙcmとして、ｙをｘの式で表しなさい。

１分間に0.2cmずつ短くなる

👉長さｙは、ｘ分間に0.2ｘ(cm)短くなる。

👉ｙ＝－0.2ｘ

最初は８cmあったから、

ｙ＝－0.2ｘ＋８

問題

280ｇのびんに、１cm³の重さが0.9ｇの油をｘcm³入れたときの全体の重さをｙｇとして、次の問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）油を80cm³入れたときの全体の重さは何ｇか、求めなさい。

1）

１cm³の重さが0.9ｇ

👉ｘcm³の重さは0.9ｘ(ｇ)

280ｇのびんを合わせた重さがｙｇだから、

ｙ＝0.9ｘ＋280

2）

油が80cm³

👉ｘ＝80

ｙ＝0.9ｘ＋280に、ｘ＝80を代入

ｙ＝72＋280

　＝352

よって、352ｇ

問題

60km走るのに５Ｌのガソリンを使う自動車がある。この自動車で、30Ｌのガソリンを入れて出発した。ｘkm走ったときの残りのガソリンの量をｙＬとして、次の問いに答えなさい。

1）ガソリンの量は一定の割合で使うと考えると、１km走るごとにガソリンは何Ｌ使うか、求めなさい。

2）ｙをｘの式で表しなさい。

3）出発してからガソリンがなくなるまでに、何km走ることができるか、求めなさい。

1）

60kmで５Ｌのガソリンを使うから、１kmでは、

５÷60＝1/12

よって、1/12（Ｌ）

※

求める値をｚとする

60km：５Ｌ＝１km：ｚＬ

60ｚ＝５

ｚ＝1/12

2）

１kmごとに1/12Ｌ減っていく

👉ｙ＝－1/12ｘ

出発前は30Ｌ入っていたから、

ｙ＝－1/12ｘ＋30

3）

ガソリンがなくなるときは、ｙ＝０

ｙ＝－1/12ｘ＋30に、ｙ＝０を代入

－1/12ｘ＋30＝０

－1/12ｘ＝－30

ｘ＝360

よって、360km

問題

次の㋐～㋓の中から、ｙがｘの1次関数であるものをすべて選びなさい。

㋐１辺がｘcmの正三角形の周の長さｙcm

㋑面積30cm²の長方形の縦の長さｘcmと横の長さｙcm

㋒底面の円の半径がｘcm、高さが５cmの円錐の体積ｙcm³

㋓水が10Ｌ入っている水そうに、毎分２Ｌの割合でｘ分間水を入れるときの水そうの水の量ｙＬ

一次関数の式

ｙ＝ａｘ

ｙ＝ａｘ＋ｂ

㋐

３辺合わせて３ｘcmだから、

ｙ＝３ｘ

㋑

ｘ×ｙ＝30

ｙ＝30／ｘ（反比例）

㋒

円すいの体積

底面積×高さ×1/3

ｙ＝πｘ²×５×1/3

ｙ＝5/3πｘ²（二次関数）

㋓

ｘ分間で２ｘ(Ｌ)

最初に10Ｌ入っていたから、

ｙ＝２ｘ＋10

よって、㋐と㋓

問題

1次関数ｙ＝２ｘ＋５で、ｘの値が４から８まで増加したとき、次の問いに答えなさい。

1）ｘの増加量を求めなさい。

2）ｙの増加量を求めなさい。

3）変化の割合を求めなさい。

1）

４から８まで増えたときだから、

ｘの増加量は、

８－４＝４

2）

ｘ＝４のとき、

ｙ＝２×４＋５

　＝13

ｘ＝８のとき

ｙ＝２×８＋５

　＝21

ｙの増加量は、

21－13＝８

3）

ｙの増加量

ｘの増加量

で求められるから、

８／４＝２

変化の割合は、２

※

ｙ＝ａｘ＋ｂ

「ａ」の値が「変化の割合」

問題

ｙ＝－３ｘ－４について、次の問いに答えなさい。

1）変化の割合を答えなさい。

2）ｘの増加量が５のときのｙの増加量を求めなさい。

1）

ｙ＝－３ｘ－４

ｘの係数が変化の割合だから、

－３

2）

求める値をＹとする

Ｙ／５＝－３

Ｙ＝－15

ｙの増加量は、－15

問題

次の1次関数について、ｘの増加量が６のときのｙの増加量を求めなさい。

1）ｙ＝５ｘ－２

2）ｙ＝－ｘ＋３

3）ｙ＝－3/2ｘ＋５

ｙの増加量

━━━━━＝変化の割合

ｘの増加量

求める値をＹとする

1）

Ｙ／６＝５

Ｙ＝30

2）

Ｙ／６＝－１

Ｙ＝－６

3）

Ｙ／６＝－３／２

Ｙ＝－９

問題

変化の割合が２で、点（－２，３）を通る一次関数の式を求めなさい。

ｙ＝ａｘ＋ｂ

ａ：「変化の割合」「傾き」

ｂ：切片

切片の値をｂとする

ｙ＝２ｘ＋ｂ

ｘ＝－２、ｙ＝３を通るから、

２×（－２）＋ｂ＝３

－４＋ｂ＝３

ｂ＝７

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ＋７

問題

２点（－２，－３）、（１，６）を通る一次関数の式を求めなさい。

ｘの増加量

１－（－２）＝３

ｙの増加量

６－（－３）＝９

変化の割合（傾き）

９／３＝３

切片の値をｂとする

ｙ＝３ｘ＋ｂに、（１，６）を代入

３＋ｂ＝６

ｂ＝３

よって、求める式は、

ｙ＝３ｘ＋３

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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