1次関数の基本⑤

たむかい学習教室
9月23日
読了時間: 8分

1次関数の基本⑤

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中２数学では、学校で「1次関数」の単元に入りました。関数は、「ｘの値が決まると、ｙの値が１つに決まる関係」のことで、その式は、ｙ＝ａｘまたはｙ＝ａｘ＋ｂの形になります。「ａ」は変化の割合のことで、グラフ上では直線の傾きを表します。「ｂ」は直線とｙ軸が交わる点（切片）を表します。

比例（1次関数の前に）

問題

下のグラフについて、あとの問いに答えなさい。

1）①のグラフの式を求めなさい。

2）②のグラフは、（４，ｍ）を通る。ｍの値を求めなさい。

3）①、②のグラフの交点の座標を求めなさい。また、その点の名称を答えなさい。

4）赤色の線で示したグラフについて、ｘ＝－８のときのｙの値を求めなさい。

1）

解き方①

原点（０，０）と（３，２）を通る直線

グラフの傾きは、

ｘの増加量　３－０＝３

ｙの増加量　２－０＝２　だから

２／３

よって、求める式は、

ｙ＝2ｘ/3

解き方②

原点を通る直線だから比例の式

求める直線の式をｙ＝ａｘとする

（３，２）を通るから、式に代入

３ａ＝２

ａ＝２／３

よって、求める式は、

ｙ＝2ｘ/3

2）

原点と（２，－５）を通る直線

グラフの傾きは、

ｘの増加量　２－０＝２

ｙの増加量　－５－０＝－５　だから

－５／２

②の式は、ｙ＝－5ｘ/2

（４，ｍ）を通るから、式に代入

ｍ＝－５×４／２

ｍ＝－10

3）

グラフの交点はＯで交わる

ｘ＝０、ｙ＝０の点だから、

座標は（０，０）

その名称は、原点

4）

原点を通る直線だから比例の式

直線の式をｙ＝ａｘとする

（１，２）を通るから、式に代入

ａ＝２

よって、グラフはｙ＝２ｘ

ｘ＝－８のときだから、式に代入

ｙ＝２×（－８）

　＝－16

よって、ｙの値は－16

問題

25Ｌの水が入る水そうに、４Ｌの水が入っている。これに、毎分３Ｌずつ、水そうがいっぱいになるまで水を入れる。水を入れ始めてからｘ分後の水そうの中の水の量をｙＬとして、次の問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）1）の式で、ｘに比例する部分と定数の部分が、それぞれ何を表しているか、答えなさい。

3）水を入れ始めてから５分後の水そうの水の量を求めなさい。

4）水がいっぱいになるのは何分後か求めなさい。

1）

解き方①

「毎分３Ｌずつ入る」

👉１分につき３Ｌ入る

２分で　３Ｌ×２＝６Ｌ

３分で　３Ｌ×２＝９Ｌ

ｘ分で　３Ｌ×ｘ＝３ｘＬ

最初に４Ｌ入っていたから

ｘ分後の水の量ｙＬは、

ｙ＝３ｘ＋４

解き方②

水の量は時間に対して同じ割合で増えるから、

求める式は一次関数ｙ＝ａｘ＋ｂになる。

ｘ＝０のとき、ｙ＝４だから

ｂ＝４（切片）

ｘ＝１のとき、ｙ＝７だから

ｙ＝ａｘ＋４に代入

７＝ａ×１＋４

ａ＝３（傾き）

よって、求める式は、

ｙ＝３ｘ＋４

2）

一次関数ｙ＝ａｘ＋ｂの式

比例する部分：ａｘ

👉決まって増える数・減る数

定数：ｂ

👉もとから決まっている数

比例する部分は、３ｘ

定数は、４

3）

ｘ＝５のときだから、

ｙ＝３ｘ＋４に代入

ｙ＝３×５＋４

　＝19

よって、19Ｌ

4）

ｙ＝25Ｌのときだから、

ｙ＝３ｘ＋４に代入

３ｘ＋４＝25

３ｘ＝21

ｘ＝７

よって、７分後

問題

12cmのろうそくがある。火をつけると１分間に0.5cmずつ短くなっていく。火をつけてからｘ分後のろうそくの長さをｙcmとして、次の問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）８分後のろうそくの長さを求めなさい。

1）

１分間で　－0.5×１＝－0.5 cm

ｘ分間で　－0.5×ｘ＝－0.5ｘcm

比例する部分は－0.5ｘ、

定数は12だから

ｙ＝－0.5ｘ＋12

2）

ｘ＝８のときだから

ｙ＝－0.5ｘ＋12に代入

ｙ＝－0.5×８＋12

　＝－４＋12

　＝８

よって、８cm

問題

ばねにおもりを下げ、おもりの重さとばねの長さの関係を調べた。下の表は、おもりの重さをｘｇ、ばねの長さをｙcmとして、その結果を表したものである。なお、ばねののびる長さは下げたおもりの重さに比例する。

1）おもりを４ｇ重くすると、ばねは何cmのびるか、表から読み取りなさい。

2）ばねにおもりを下げないときのばねの長さを求めなさい。

1）

表から

ｘ＝８－４のとき

ｙ＝16.6－15.8

　＝0.8 cm

ｘ＝12－８のとき

ｙ＝17.4－16.6

　＝0.8 cm

ｘ＝16－12のとき

ｙ＝18.2－17.4

　＝0.8 cm

よって、0.8cm

2）

ｘ＝０のときだから

ｙの値は、

ｘ＝４のときよりも0.8小さくなる

よって、

15.8－0.8＝15.0

ばねの長さは、15.0 cm

入試対策

問題

図１で、①は関数ｙ＝－ｘ/３＋ｂのグラフであり、点Ａは①とｙ軸の交点、点Ｂは①上の点で座標は（12，５）、点Ｃはｙ軸上の点で座標は（０，－10）である。また、②は２点Ｂ、Ｃを通る直線である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）②の式を求めなさい。

1）

点Ａのｙ座標は、切片ｂの値になる。

直線①は（12，５）を通るから

ｙ＝－ｘ/３＋ｂに、

ｘ＝12、ｙ＝５を代入

－12/3＋ｂ＝５

ｂ＝９

よって、点Ａのｙ座標は９

2）

直線②の切片は－10

求める式の傾きをａとする

ｙ＝ａｘ－10の直線は、

（12，５）を通るから

ｘ＝12、ｙ＝５を代入

ａ×12－10＝５

12ａ＝15

ａ＝5/4

よって、求める式は、

ｙ＝5ｘ/4－10

3）図２は、図１で②とｘ軸との交点をＤとし、線分ＡＤをかき加えたものである。次のア、イに答えなさい。

ア　点Ｄのｘ座標を求めなさい。

イ　△ＡＤＢの面積を求めなさい。

3）

点Ｄは直線②上にあり、ｙ＝０だから

ｙ＝5ｘ/4－10に、ｙ＝０を代入

5ｘ/4－10＝０

ｘ＝８

よって、点Ｄのｘ座標は８

4）

△ＡＤＢの面積を、

△ＡＣＢ－△ＡＣＤにより求める。

点Ｂを通るｙ＝５の直線と、

ｙ軸との交点をＥとする。

ＢＥ⊥ＡＣだから、

△ＡＣＢの底辺は

ＡＣ、高さはＢＥになる。

ＡＣ＝９－（－10）＝19cm

ＢＥ＝12－０＝12cm

△ＡＣＢの面積は、

19×12×1/2＝114cm²

△ＡＣＤの底辺は

ＡＣ、高さはＤＯになる。

ＤＯ＝８－０＝８cm

△ＡＣＤの面積は、

19×８×1/2＝76cm²

よって、求める面積は、

114－76＝38cm²

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