1次関数高校受験対策13

たむかい学習教室
9月18日
読了時間: 7分

1次関数高校受験対策13

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

２学期に入り１か月になります。中３の受験生は、夏休みから入試対策に取り組んでいます。高校入試では「1次関数」についての出題があり、グラフを利用する問題がよく出題されます。グラフの見方や式の立て方が基本になります。

直線の交点

問題

３つの直線ｙ＝－２ｘ＋１、ｙ＝３ｘ－９、ｙ＝ａｘ＋４が１点で交わるとき、定数ａの値を求めなさい。

ｙ＝－２ｘ＋１　①

ｙ＝３ｘ－９　　②

の２式から交点を求める

①＝②より

－２ｘ＋１＝３ｘ－９

５ｘ＝10

ｘ＝２

①に代入

ｙ＝－２×２＋１

　＝－３

よって、（２，－３）で交わる

この点は、

ｙ＝ａｘ＋４上にもあるので、

ｘ＝２、ｙ＝－３を代入

ａ×２＋４＝－３

２ａ＝－７

ａ＝－７／２

問題

下の図において、①は関数ｙ＝－ｘ＋５のグラフであり、②は関数ｙ＝ａｘのグラフである。直線①と直線②の交点の座標を（ｍ，ｎ）とする。ｍ、ｎがともに正の整数で、ａも正の整数になるときのｍ、ｎの値を求めなさい。

ｍ、ｎはともに正の整数だから

①上のｘ＝１，２，３，４の点である

※ｘ＝５のときｙ＝０

それぞれのｘの値をｙ＝－ｘ＋５に代入

ｘ＝１のとき

ｙ＝－１＋５＝４

ｘ＝２のとき

ｙ＝－２＋５＝３

ｘ＝３のとき

ｙ＝－３＋５＝２

ｘ＝４のとき

ｙ＝－４＋５＝１

この中で、

ｙ＝ａｘに代入して、ａが整数になるのは、

ｘ＝１、ｙ＝４のとき

すなわち

ｙ＝ａｘが（１，４）を通るときで、

ａ＝４になる（問題に合っている）

よって、

ｍ＝１、ｎ＝４

問題

直線ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ、ｂは定数）は、直線ｙ＝２ｘ－４とｘ軸上の点で交わり、点（－１，３）を通る。直線ｙ＝ａｘ＋ｂとｙ軸との交点の座標を求めなさい。

２つの式はｘ軸上で交わるから

ｙ＝２ｘ－４にｙ＝０を代入

※ｘ軸上の点👉ｙ＝０

２ｘ－４＝０

ｘ＝２

よって、ｙ＝ａｘ＋ｂは、

（２，０）と（－１，３）を通る直線

ｘの増加量　２－（－１）＝３

ｙの増加量　０－３＝－３

傾きａ　－３／３＝－１

ｙ＝－ｘ＋ｂに（２，０）を代入

－２＋ｂ＝０

ｂ＝２

切片ｂがｙ軸上の値だから

求める座標は、（０，２）

２点間の最短距離

問題

下の図において、２点Ａ、Ｂの座標は、それぞれ（－１，３）、（５，－１）である。また、ｘ軸上の点（ａ，０）をＰとする。線分ＡＰと線分ＰＢの長さの和が最も小さくなるとき、ａの値を求めなさい。

ＡＰ＋ＰＢの長さが最も小さいとき

👉ＡＢが直線になるとき

Ａ（－１，３）　Ｂ（５，－１）

ｘの増加量　５－（－１）＝６

ｙの増加量　－１－３＝－４

傾き　－４／６＝－２／３

切片の値をｂとする

ｙ＝－２ｘ／３＋ｂに（－１，３）を代入

２／３＋ｂ＝３

ｂ＝７／３

よって、直線ＡＢの式は、

ｙ＝－２ｘ／３＋７／３

ｘ軸上の点は、ｙ＝０だから

－２ｘ／３＋７／３＝０

－２ｘ＋７＝０

ｘ＝７／２

ｘ座標ａの値になるから

ａ＝７／２

三角形の面積

問題

下の図のように、直線ｙ＝－ｘ－２と直線ｙ＝ｘ／２＋ｂがある。この２直線とｘ軸との交点をそれぞれＡ、Ｂとし、点Ｂのｘ座標は－14である。

1）直線ｙ＝ｘ／２＋ｂの切片ｂの値を求めなさい。

2）直線ｙ＝－ｘ－２と直線ｙ＝ｘ／２＋ｂの交点Ｃの座標を求めなさい。

3）点Ｃを通り、切片が正の数となる直線をℓとする。直線ℓと直線ｙ＝－ｘ－２とｙ軸とで囲まれた三角形の面積が、△ＡＢＣの面積と等しくなるように、直線ℓの式を求めなさい。

1）

ｙ＝ｘ／２＋ｂは、

（－14，０）を通るから

ｘ＝－14、ｙ＝０を代入

－14／２＋ｂ＝０

ｂ＝７

2）

２つの直線はｙの値が同じだから

２つの式より、

－ｘ－２＝ｘ／２＋７

－２ｘ－４＝ｘ＋14

－３ｘ＝18

ｘ＝－６

ｙ＝－ｘ－２に代入

ｙ＝－（－６）－２

　＝４

よって、点Ｃの座標は、

（－６，４）

3）

△ＡＢＣの底辺をＡＢ、

高さを点Ｃとｘ軸との距離とする。

点Ａのｘ座標

点Ａはｙ＝－ｘ－２上にあり、

ｙ＝０の点だから、ｙ＝０を代入

－ｘ－２＝０

ｘ＝－２

点Ｂのｘ座標は－14だから

ＡＢ＝－２－（－14）＝12

点Ｃのｙ座標は４だから

高さは、４－０＝４

△ＡＢＣの面積は、

12×４×1/2＝24

３つの直線で囲まれた三角形の頂点のうち、

点Ｃ以外の２点を点Ｄ、Ｅとし、

ｙ＝－ｘ－２とｙ軸との交点をＤ、

直線ℓとｙ軸との交点をＥとする。

△ＣＤＥの底辺をＤＥ、

高さを点Ｃとｙ軸との距離とする。

点Ｄのｙ座標は、

ｙ＝－ｘ－２の切片だから－２

点Ｅのｙ座標をｔとすると、

ＤＥ＝ｔ－（－２）＝ｔ＋２

点Ｃのｘ座標は－６だから

高さは、０－（－６）＝６

△ＣＤＥ＝△ＡＢＣ＝24より

（ｔ＋２）×６×1/2＝24

３（ｔ＋２）＝23

ｔ＋２＝８

ｔ＝６

よって、点Ｅは（０，６）

直線ℓの切片は６、傾きをａとし、

ℓの式をｙ＝ａｘ＋６とする

点Ｃ（－６，４）を通るから

ｘ＝－６、ｙ＝４を代入

－６ａ＋６＝４

－６ａ＝－２

ａ＝１／３

よって、求める式は、

ｙ＝ｘ／３＋６

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