1次関数高校入試対策②

たむかい学習教室
1月12日
読了時間: 8分

1次関数高校入試対策②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では1次関数の出題があります。文章題から式を立てたりグラフを作図する問題があり、内容を読み解いて情報を整理する力が求められます。ふだんの演習からていねいに読み進めることを心がけます。

問題

加湿器Ａには「強」「中」「弱」の３段階の設定がある。それぞれの設定で加湿器を使用した場合の水の消費量は下の表の通りであり、水の消費量はそれぞれ使用時間に比例する。

加湿器Ａに4000mLの水を入れて、午後０時から午後２時までは「強」で使用し、午後２時から６時までは使用をやめた。その後、午後６時から午後８時までは「弱」、午後８時から午後10時までは「中」で使用した。

別の部屋には加湿器Ｂがあり、加湿器Ｂには強さの設定がなく、１時間あたりの水の消費量はつねに一定である。加湿器Ｂにも何mLかの水を入れて、午後０時から午後10時まで使用した。加湿器Ａと加湿器Ｂの残りの水の量は、午後５時と午後９時に等しくなったという。ただし、使用していないときは、水は消費されないものとする。

1）次の時間帯について、午後ｘ時における加湿器Ａの残りの水の量をｙmLとして、ｘとｙの関係をそれぞれ式に表しなさい。

①午後２時から６時まで

②午後６時から８時まで

③午後８時から10時まで

2）加湿器Ｂにはじめに入れた水の量を求めなさい。

1）①

午後２時の残りの量ｙmLは、

２時間「強」で使用したから

ｙ＝4000－800×２＝2400

午後２時から６時までは、

使用をやめたからｙの値は変わらない。

よって、求める式は、

ｙ＝2400

（２≦ｘ≦６）

1）②

午後６時（ｘ＝６のとき）の残りの量は、

ｙ＝2400

以後２時間「弱」で使用したから

午後８時（ｘ＝８のとき）の残りの量は、

ｙ＝2400－400×２＝1600

ｘが１増加すると、ｙは－400増加するから

傾き　－400

切片の値をｂとする

ｙ＝－400ｘ＋ｂ

ｘ＝６、ｙ＝2400を代入

2400＝－400×６＋ｂ

ｂ＝4800

よって、求める式は、

ｙ＝－400ｘ＋4800

（６≦ｘ≦８）

1）③

午後８時（ｘ＝８のとき）の残りの量は、

ｙ＝1600

以後２時間「中」で使用したから

午後10時（ｘ＝10のとき）の残りの量は、

ｙ＝1600－600×２＝400

ｘが１増加すると、ｙは－600増加するから

傾き　－600

切片の値をｃとする

ｙ＝－600ｘ＋ｃ

ｘ＝10、ｙ＝400を代入

400＝－600×10＋ｃ

ｃ＝6400

よって、求める式は、

ｙ＝－600ｘ＋6400

（８≦ｘ≦10）

2）

午後５時のＡの残量

ｘ＝５のとき、ｙ＝2400

午後９時の残量

８≦ｘ≦10のとき、

ｙ＝－600ｘ＋6400だから

ｘ＝９を代入

ｙ＝－600×９＋6400＝1000

よって、

（５，2400）（９，1000）を通る直線の式

ｘの増加量　９－５＝４

ｙの増加量　1000－2400＝－1400

傾き　－1400/4＝－350

切片の値をｄとする

ｙ＝－350ｘ＋ｄ

ｘ＝９、ｙ＝1000を代入

1000＝－3150＋ｄ

ｄ＝4150

よって、求める式は、

ｙ＝－350ｘ＋4150

動点の問題

問題

図１のように、４点Ｏ（０，０）、Ａ（６，０）、Ｂ（６，６）、Ｃ（０，６）を頂点とする正方形ＯＡＢＣがある。２点Ｐ、Ｑは、それぞれＯを同時に出発し、Ｐは毎秒３cmの速さで、辺ＯＣ、ＣＢ、ＢＡ上をＡまで動き、Ｑは毎秒１cmの速さで、辺ＯＡ上をＡまで動く。ただし、原点Ｏから点（１，０）までの距離、および原点Ｏから点（０，１）までの距離は１cmとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｐ、Ｑが出発してからＡに到着するのはそれぞれ何秒後か、求めなさい。

2）点Ｐ、Ｑが出発してから１秒後の直線ＰＱの式を求めなさい。

3）△ＯＰＱがＰＯ＝ＰＱの二等辺三角形となるのは、Ｐ、Ｑが出発してから何秒後か、求めなさい。

4）図２のように、Ｐ、Ｑが出発してから５秒後のとき、△ＯＰＱと△ＯＰＤの面積が等しくなるように点Ｄを線分ＡＰ上にとる。このとき、点Ｄの座標を求めなさい。

1）

点ＰがＡまで動くとき

ＯＣ＋ＣＢ＋ＢＡ＝18cm

18cmを毎秒３cmで動くから

かかる時間は、

18÷３＝６秒

点ＱがＡまで動くとき

ＯＡ＝６cm

６cmを毎秒１cmで動くから

かかる時間は、

６÷１＝６秒

よって、

Ｐ：６秒後　Ｑ：６秒後

2）

点Ｐ

毎秒３cmで１秒間動くから

移動距離は、３×１＝３cm

よって、Ｐ（０，３）

点Ｑ

毎秒１cmで１秒間動くから

移動距離は、１×１＝１cm

よって、Ｑ（１，０）

切片の値は３だから

求める式をｙ＝ａｘ＋３とする

ｘ＝１、ｙ＝０を代入

０＝ａ×１＋３

ａ＝－３

よって、求める式は、

ｙ＝－３ｘ＋３

3）

点ＰがＣＢ上にあるとき、ＰＯ＝ＰＱとなる。

点ＰからＯＱへの垂線をＰＨとする。

二等辺三角形だから

点Ｈは、ＯＱの中点になる。

点Ｑがｔ秒動いたときの距離は、

１×ｔ＝ｔcm＝ＯＱ

ＯＨ＝（1/2）ＯＱだから

ＯＨ＝（1/2）ｔ cm

点Ｐがｔ秒動いたときの距離は、

３×ｔ＝３ｔcm

この値からＯＣ＝６cmをひくとＣＰの長さだから

ＣＰ＝３ｔ－６ cm

ＣＯ//ＰＨより

ＯＨ＝ＣＰだから

（1/2）ｔ＝３ｔ－６

ｔ＝12/5

よって、12/5秒後

4）

点Ｐは、３×５＝15cm動くから

点Ｐのｙ座標は３（18－15＝３）

よって、Ｐ（６，３）

点Ｑは、１×５＝５cm動くから

点Ｑのｘ座標は５

よって、Ｑ（５，０）

△ＯＰＱ＝△ＯＰＤになるのは、

ＯＰ//ＱＤのとき

※共通の底辺ＯＰ、高さも同じ。

直線ＯＰの傾きは、

３／６＝１／２

よって、

直線ＱＤの傾きは、１／２

直線ＱＤの式をｙ＝（1/2）ｘ＋ｂとする

（５，０）を通るから

０＝（1/2）×５＋ｂ

ｂ＝－5/2

よって、ＱＤの式は、

ｙ＝（1/2）ｘ－5/2

点Ｄは、ｘ＝６との交点だから

ｙ＝（1/2）×６－5/2＝1/2

よって、（６，1/2）

問題

下の図のように、ＡＢ＝８cm、ＡＤ＝18cmの長方形ＡＢＣＤがあり、点Ｅは辺ＡＢの中点である。また、２点Ｐ、Ｑは同時に出発し、次の条件ア、イで動く。

ア

点Ｐは、点Ａを出発し、毎秒２cmの速さで辺ＡＤ上を動き、点Ｄに到着した後は動かない。

イ

点Ｑは、点Ｃを出発し、毎秒３cmの速さで辺ＣＢ上を動き、点Ｂに到着した後は動かない。

1）出発してからｘ秒後の△ＰＥＱの面積をｙcm²とする。

①　０≦ｘ≦６のとき、ｙをｘの式で表しなさい。

②　６≦ｘ≦９のとき、ｙをｘの式で表しなさい。

2）△ＰＥＱがＥＰ＝ＥＱの二等辺三角形になるとき、その面積を求めなさい。

1）①

点Ｐ

毎秒２cmでｘ秒動くときの距離は、

２×ｘ＝２ｘ cm

よって、ＡＰ＝２ｘcm

点Ｑ

毎秒３cmでｘ秒動くときの距離は、

３×ｘ＝３ｘ cm

よって、ＣＱ＝３ｘcm

０≦ｘ≦６のときは

台形ＡＢＱＰの面積から

△ＡＰＥと△ＢＱＥの面積をひいた値

台形ＡＢＱＰの面積

（1/2）×（ＡＰ＋ＢＱ）×ＡＢ

ＣＱ＝３ｘcmより、ＢＱ＝18－３ｘ cm

よって、

（1/2）×（２ｘ＋18－３ｘ）×８

＝－４ｘ＋72

△ＡＰＥの面積

（1/2）×ＡＰ×ＡＥ

ＡＥ＝（1/2）ＡＢ＝４cmだから

（1/2）×２ｘ×４

＝４ｘ

△ＢＱＥの面積

（1/2）×ＢＱ×ＥＢ

ＥＢ＝ＡＥ＝４cmだから

（1/2）×（18－３ｘ）×４

＝－６ｘ＋36

よって、

ｙ＝－４ｘ＋72－４ｘ－（－６ｘ＋36）

ｙ＝－２ｘ＋36

2）②

ｘ＝６のとき、点ＱはＢに止まる。

６秒後以降は点Ｐだけが動くから

底辺ＢＥ、高さＡＰの三角形になる。

よって、

ｙ＝（1/2）×４×２ｘ

ｙ＝４ｘ

2）

ＥＰ＝ＥＱになるのは、

ＡＢ//ＰＱになるときである。

よって、

ＡＰ＝ＢＱになるから

２ｘ＝18－３ｘ

ｘ＝18/5

△ＰＥＱの底辺は、

ＰＱ＝ＡＢ＝８cm

高さは、ＡＰまたはＢＱの長さだから

ＡＰ

＝２ｘ＝２×（18/5）＝36/5

よって、求める面積は、

（1/2）×８×（36/5）＝144/5cm²

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