1次関数高校受験対策④

たむかい学習教室
8月3日
読了時間: 9分

1次関数高校受験対策④

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

学校の夏休みに入り、当塾では「夏期講習」を行っています。中学・高校の受験生は、この夏から入試対策に取り組んでいます。中学生は、２年生で学習した「1次関数」の演習を行っています。グラフ上にある座標を手がかりに解いていく問題が中心で、座標点の見方や式の意味を押さえておくことが基本になります。

問題

下の図で、Ｏは原点、Ａはｙ軸上の点、Ｂ、Ｃは直線ｙ＝1/2ｘ＋４上の点で、点Ａのｙ座標は16、点Ｂのｘ座標は－４、点Ｃのｘ座標は８である。このとき、原点を通り、四角形ＡＢＯＣの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

四角形ＡＢＯＣの面積

△ＡＯＢ＋△ＡＯＣ

△ＡＯＢ

底辺をＡＯ、高さを点Ｂとｙ軸との距離とする。

点Ａのｙ座標が16だから、

ＡＯ

＝16－０

＝16

点Ｂのｘ座標が－４だから、

高さは、

０－（－４）

＝４

△ＡＯＢの面積は、

16×４×1/2

＝32

△ＡＯＣ

底辺をＡＯ、高さを点Ｃとｙ軸との距離とする。

点Ｃのｘ座標が８だから、高さは、

８－０

＝８

△ＡＯＣの面積は、

16×８×1/2

＝64

よって、四角形ＡＢＯＣの面積は、

32＋64

＝96

２等分する直線と直線ＡＣとの交点をＤとする

点Ｃのｙ座標を求める

ｙ＝1/2ｘ＋４に、ｘ＝８を代入

ｙ＝４＋４

　＝８

Ｃ（８，８）

直線ＡＣの式

切片が16で、傾きをａとすると、

ｙ＝ａｘ＋16

点Ｃ（８，８）を通るから、

ｘ＝８、ｙ＝８を代入

８ａ＋16＝８

ａ＝－１

よって、

直線ＡＣの式は、

ｙ＝－ｘ＋16

△ＡＯＤの面積

四角形ＡＢＯＤ－△ＡＯＢ

四角形ＡＢＯＤの面積は、

四角形ＡＢＯＣの半分だから、48

△ＡＯＤの面積は、

48－32

＝16

△ＡＯＤの高さは、点Ｄのｘの値になる。

高さをｈとすると、

16×ｈ×1/2＝16

ｈ＝２

よって、

点Ｄのｘ座標は２

点Ｄはｙ＝－ｘ＋16上にあるから、ｘ＝２を代入

ｙ＝－２＋16

　＝14

Ｄ（２，14）

２等分する直線は原点を通るから、

傾きをａ’として

ｙ＝ａ’ｘに、（２，14）を代入

２ａ’＝14

ａ’＝７

よって、求める式は、

ｙ＝７ｘ

問題

下の図で、①は関数ｙ＝24／ｘのグラフである。２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれ－８、３である。また、直線ＡＢとｙ軸、ｘ軸との交点をそれぞれＣ、Ｄとする。あとの各問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）直線ＡＢの式を求めなさい。

3）△ＡＯＣの面積を求めなさい。

4）ｙ軸上のｙ座標が負の部分に△ＡＯＢの面積と△ＡＥＣの面積が等しくなる点Ｅをとるとき、点Ｅのｙ座標を求めなさい。

1）

点Ａはｙ＝24／ｘ上にあるから、

ｘ＝－８を代入

ｙ＝－３

2）

点Ｂのｙ座標を求める

ｙ＝24／ｘ上にあるから、

ｘ＝３を代入

ｙ＝８

Ａ（－８，－３）　Ｂ（３，８）

ｘの増加量

３－（－８）＝11

ｙの増加量

８－（－３）＝11

変化の割合（傾き）

11/11＝１

求める式の切片の値をｂとする

ｙ＝ｘ＋ｂ

（３，８）を通るから、

ｘ＝３、ｙ＝８を代入

３＋ｂ＝８

ｂ＝５

よって、

直線ＡＢの式は、

ｙ＝ｘ＋５

3）

△ＡＯＣ

底辺をＯＣ、

高さを点Ａとｙ軸との距離とする。

点Ｃのｙ座標が５だから、

ＯＣ

＝５－０

＝５

点Ａのｘ座標が－８だから、

高さは、

０－（－８）

＝８

よって、

△ＡＯＣの面積は、

５×８×1/2

＝20

4）

△ＡＯＢの面積

△ＡＯＣ＋△ＢＯＣ

△ＢＯＣ

底辺をＯＣ、

高さを点Ｂとｙ軸との距離とする。

点Ｂのｘ座標が３だから、

高さは、

３－０

＝３

△ＢＯＣの面積は、

５×３×1/2

＝15/2

△ＡＯＢの面積は、

20＋15/2

＝55/2

△ＡＥＣ

底辺をＣＥ、

高さを点Ａとｙ軸との距離とする。

点Ａのｘ座標が－８だから、

高さは、

０－（－８）

＝８

△ＡＥＣ＝55/2だから、

ＣＥ×８×1/2＝55/2

ＣＥ＝55/8

点Ｅは、点Ｃから55/8の距離にあるから、

５－55/8

＝－15/8

よって、

点Ｅのｙ座標は、－15/8

問題

下の図１は、縦の長さが６cm、横の長さが12cmの長方形ＡＢＣＤである。点Ｐは点Ａを出発し、秒速１cmで辺ＡＢ上を移動し、Ｂで止まる。点Ｑは点Ｐが点Ａを出発するのと同時に点Ｂを出発し、秒速1.5cmで辺ＢＣ上を移動し、点Ｃで止まる。下の図２は、点Ｐが点Ａを出発してから点Ｂに重なるまでの時間（秒）と△ＡＰＤの面積（cm²）との関係をグラフに表したものである。このとき、あとの各問いに答えなさい。ただし、点Ｐが点Ａに重なるとき、△ＡＰＤの面積は０cm²とし、点Ｑが点Ｃに重なるとき、△ＣＱＤの面積は０cm²とする。

1）次の㋐～㋒にあてはまる数を求めなさい。

・点Ｐが点Ｂと重なるのは、点Ａが出発してから（㋐）秒後である。

・点Ｐが点Ａを出発してから点Ｂに重なるまでについて、△ＡＰＤの面積は、毎秒（㋑）cm²の割合で増加する。

・△ＡＰＤの面積が30cm²となるのは、点Ｐが点Ａを出発してから（㋒）秒後である。

2）点Ｑが点Ｂを出発してからｘ秒後の△ＣＱＤの面積をｙcm²とするとき、ｘとｙの関係を式に表しなさい。

3）△ＡＰＤと△ＣＱＤの面積が等しくなるのは、点Ｐが点Ａを出発してから何秒後か、求めなさい。

動点の問題を解く前に

「ｘ秒動いたときの距離は？」

ｘ秒間で、

点Ｐは、ｘcm

点Ｑは、1.5ｘcm　動く

1）

ＡＢ＝６cm

点Ｐは1秒につき１cm動くから、

点Ｂと重なるのは、Ａを出発して６秒後

グラフでは、

０≦ｘ≦６のとき

原点と（１，６）を通るから、

その式は、ｙ＝６ｘ

よって、

ｘ＝１（秒）につき、

ｙ＝６（cm²）の割合で増加する。

△ＡＰＤ

ｙ＝30になるのは、

０≦ｘ≦６のとき

ｙ＝６ｘに、ｙ＝30を代入

６ｘ＝30

ｘ＝５

よって、

面積が30cm²になるのは、

点ＰがＡを出発して５秒後

㋐：６　㋑：６　㋒：５

2）

点Ｑが点Ｂにあるとき、

すなわち、ｘ＝０のとき、

△ＣＱＤの面積ｙcm²は、

ｙ＝12×６×1/2

　＝36

点Ｑが点Ｃにあるとき、

すなわち、ｙ＝０のとき、

点Ｑが動いた時間ｘ秒は、

ｘ＝12÷1.5

　＝８

以上から、直線の式は、

（０，36）と（８，０）を通る

傾きをａとする

切片の値は36だから、

ｙ＝ａｘ＋36

ｘ＝８、ｙ＝０を代入

８ａ＋36＝０

ａ＝－9/2

よって、求める式は、

ｙ＝－9/2ｘ＋36

4）

グラフでは、直線の交点のｘの値になる。

ｙ（面積）の値が等しいときだから、

６ｘ＝－9/2ｘ＋36

12ｘ＝－９ｘ＋72

21ｘ＝72

ｘ＝24/7

よって、

24/7秒後

問題

図１のように、縦20cm、横40cm、高さ40cmの直方体の形をした空の水そうの中に、１辺の長さ20cmの立方体の形をしたおもりが置いてある。この水そうに給水管から毎分ａＬの割合で水を入れると、水を入れ始めてから15分後に水そうは満水となった。図２は、水を入れ始めてからｘ分後の水そうの底面から水面までの高さをｙcmとして、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの各問いに答えなさい。ただし、水そうは水平に固定されており、水そうの厚さは考えないものとする。

1）水を入れ始めてから３分後の水そうの底面から水面までの高さを求めなさい。

2）５≦ｘ≦15のとき、ｘとｙの関係を式に表しなさい。

3）ａの値を求めなさい。

4）水そうにちょうど19.2Ｌの水が入っているときは水を入れ始めてから何分後で、水そうの底面から水面までの高さは何cmか、それぞれ求めなさい。

1）

０≦ｘ≦５のとき

原点と（５，20）を通る直線

直線の傾きをｍとする

ｙ＝ｍｘに、

ｘ＝５、ｙ＝20を代入

５ｍ＝20

ｍ＝４

よって、

０≦ｘ≦５のときの直線の式は、

ｙ＝４ｘ

３分のときの高さを求めるから、

ｘ＝３を代入

ｙ＝４×３

　＝12

よって、

求める高さは、12cm

2）

（５，20）と（15，40）を通る直線

ｘの増加量

15－５＝10

ｙの増加量

40－20＝20

変化の割合（傾き）

20／10＝２

切片の値をｂとする

ｙ＝２ｘ＋ｂ

（５，20）を通るから、

ｘ＝５、ｙ＝20を代入

10＋ｂ＝20

ｂ＝10

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ＋10

3）

水そうの体積は、

20×40×40－20³

＝20（40²－20²）

＝20（40＋20）（40－20）

＝20×60×20

＝24000cm³

単位Ｌに換算すると、

１Ｌ＝1000cm³だから、

24Ｌで満水になる

15分後で満水となったから、

24÷15

＝24/15

＝８/５

よって、

毎分８/５Ｌずつ入るから、

ａ＝８/５

4）

ａ＝8/5より、

19.2Ｌ入るまでにかかる時間は、

19.2÷8/5

＝192/10×5/8

＝12

よって、

求める時間は、12分後

グラフでは、

５≦ｘ≦15のときだから、

ｙ＝２ｘ＋10に、ｘ＝12を代入

ｙ＝24＋10

　＝34

よって、

求める高さは、34cm

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