1次関数高校受験対策7

たむかい学習教室
4 日前
読了時間: 8分

1次関数高校受験対策7

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

夏休みも後半になりました。中学・高校の受験生は、この夏から入試対策に取り組んでいます。中学生は「1次関数」の演習を行っています。入試問題には頻出で、「y=ax+b」の意味やグラフの見方を確認しておくことが大切です。

問題

図１のように、水そうＡと水そうＢがあり、２つとも48Ｌで満水になる。はじめ、水そうＡは空であり、水そうＢには水が９Ｌ入っている。また、水そうＡには給水管Ａ、水そうＢには給水管Ｂがついており、それぞれ一定の割合で給水されている。給水管Ａ、Ｂを同時に開いて、水そうＡ、Ｂに水を入れたところ、給水管Ａ、Ｂを同時に開いてから12分後に水そうＡは満水になり、その１分後に水そうＢも満水になった。図２は、水そうＡについて、給水管Ａ、Ｂを同時に開いてからｘ分後の水そうの中の水の量をｙＬとして、ｘ、ｙの関係をグラフに表したものである。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）次の㋐～㋒にあてはまる数を求めなさい。

・水そうＡには毎分（㋐）Ｌの割合で給水される。

・水そうＡの中の水の量が28Ｌになるのは、給水管Ａ、Ｂを同時に開いてから（㋑）分後である。

・水そうＡが満水になったとき、水そうＢの中の水の量は（㋒）Ｌである。

2）給水管Ａ、Ｂを同時に開いてからｘ分後の、水そうＢの中の水の量をｙＬとするとき、ｘとｙの関係を式に表しなさい。

3）水そうＡ、Ｂの中の水の量が等しくなるのは、給水管Ａ、Ｂを同時に開いてから何分後か、求めなさい。

1）

12分で満水48Ｌになるから、

48÷12

＝４

毎分４Ｌの割合で給水される

Ａは、ｙ＝４ｘの式だから、

ｙ＝28を代入

４ｘ＝28

ｘ＝７

７分後に28Ｌになる

Ｂは13分後に満水になる

初め９Ｌ入っていたから、

残り39Ｌが13分間の給水量になる

Ｂの１分間の給水量は、

39÷13

＝３Ｌ

Ａは12分後に満水になるから、

Ｂの給水量は12分間で

３×12

＝36Ｌ

よって、

始めの９Ｌと合わせて

９＋36

＝45Ｌ

㋐４　㋑７　㋒ 45

2）

一定の割合で給水されるから、

Ｂの式は一次関数の式で表せる。

１分間で３Ｌ給水されるから、

傾きは３

切片の値をｂとする

ｙ＝３ｘ＋ｂ

入れ始めから、

13分後に48Ｌになるので

ｘ＝13、ｙ＝48を代入

３×13＋ｂ＝48

ｂ＝９

よって、求める式は、

ｙ＝３ｘ＋９

3）

Ａのｙ＝４ｘと、

Ｂのｙ＝３ｘ＋９

との交点のｘの値になる。

ｙの値が等しくなるときだから、

４ｘ＝３ｘ＋９

ｘ＝９

よって、９分後

問題

下の図１のような、ＡＢ＝４cm、ＡＤ＝７cmの長方形ＡＢＣＤがある。２点Ｐ、Ｑは、頂点Ｃを同時に出発し、点Ｐは辺ＣＤ上を頂点Ｄまで、点Ｑは辺ＣＢ上を頂点Ｂまで、どちらも毎秒0.5cmの速さで進む。点Ｐ、Ｑが頂点Ｃを同時に出発してからｘ秒後の四角形ＡＰＣＱの面積をｙcm²とする。図２は、点Ｐが頂点Ｃを出発してから頂点Ｄで停止するまでのｘとｙの関係をグラフに表したものである。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）次の㋐～㋒にあてはまる数や式を求めなさい。

・点Ｐ、Ｑが頂点Ｃを同時に出発してから３秒後の線分ＤＰの長さは（㋐）cmである。

・点Ｑが頂点Ｂで停止するのは、点Ｐ、Ｑが頂点Ｃを同時に出発してから（㋑）秒後である。

・点Ｐ、Ｑが頂点Ｃを同時に出発してから点Ｐが頂点Ｄで停止するまでについて、ｘとｙの関係を式に表すと、ｙ＝（㋒）である。

2）点Ｐが頂点Ｄで停止してから、点Ｑが頂点Ｂで停止するまでについて、ｘとｙの関係を式に表しなさい。

3）四角形ＡＰＣＱの面積が25cm²になるのは、点Ｐ、Ｑが頂点Ｃを同時に出発してから何秒後か、求めなさい。

1）

点Ｐは毎秒0.5cmの速さだから

３秒間で進む距離は、

0.5×３

＝1.5 cm

ＤＰ＝ＤＣ－ＣＰ

　　＝４－1.5

　　＝2.5

ＤＰ＝2.5 cm

点Ｐは毎秒0.5cmの速さ

ＣＢの距離は７cm

ＣからＢまでにかかる時間は、

７÷0.5

＝14秒

グラフから、

原点と（８，22）を通る直線の式

傾きをａとする

ｙ＝ａｘに、

ｘ＝８、ｙ＝22を代入

８ａ＝22

ａ＝11/4

よって、求める式は、

ｙ＝11/4ｘ

※

（８，22）

点Ｐが頂点Ｄで停止したとき、

すなわち、ｘ＝８のとき、

四角形ＡＰＣＱは、台形になる。

（ＡＰ//ＣＱ、∠ＡＰＣ＝90°）

このときの台形は、

ＣＰ＝４cm、ＣＱ＝４cm

面積は、

（ＡＰ＋ＣＱ）×ＣＰ×1/2

＝（７＋４）×４×1/2

＝22 cm²

よって、ｙ＝22

㋐ 2.5　㋑ 14　㋒ 11/4ｘ

2）

点ＱがＢで停止するとき、

ｙの値は、

長方形ＡＢＣＤの面積だから

ｙ＝４×７

　＝28

ｘの値は、

点ＱがＣを出発して14秒後だから

ｘ＝14

よって、求める式は、

（８，22）と（14，28）

を通る直線の式になる。

ｘの増加量　14－８＝６

ｙの増加量　28－22＝６

変化の割合　６／６＝１

切片の値をｂとする

ｙ＝ｘ＋ｂ

（８，22）を通るから

ｘ＝８、ｙ＝22を代入

８＋ｂ＝22

ｂ＝14

よって、求める式は、

ｙ＝ｘ＋14

3）

グラフから

ｙ＝25になるときは、

８≦ｘ≦14のとき

よって、

ｙ＝ｘ＋14に、ｙ＝25を代入

ｘ＋14＝25

ｘ＝11

よって、11秒後

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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