1次関数高校受験対策9

たむかい学習教室
7 日前
読了時間: 7分

1次関数高校受験対策9

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中学・高校の受験生は、この夏から入試対策に取り組んでいます。中学生は、「1次関数」の演習を行っています。入試問題では必ず出題され、特に、グラフを利用した問題では、図形の面積を求める出題があります。

三角形の面積

問題

図１で、①は関数ｙ＝－1/3ｘ＋ｂのグラフであり、点Ａは①とｙ軸との交点、点Ｂは①上の点で座標は（12，５）、点Ｃはｙ軸上の点で座標は（０，－10）である。また、②は２点Ｂ、Ｃを通る直線である。あとの各問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ａの座標を求めなさい。

2）②の式を求めなさい。

1）

直線①は点Ｂ（12，５）を通るから

ｙ＝－1/3ｘ＋ｂに、

ｘ＝12、ｙ＝５を代入

－1/3×12＋ｂ＝５

ｂ＝９

切片ｂの値が、Ａのｙの値だから

求める座標は、

（０，９）

2）

点Ｃのｙの値が切片となる

傾きをａとして、求める式を、

ｙ＝ａｘ－10とする

点Ｂ（12，５）を通るから

ｘ＝12、ｙ＝５を代入

12ａ－10＝５

12ａ＝15

ａ＝5/4

よって、求める式は、

ｙ＝5/4ｘ－10

図２は、図１で②とｘ軸との交点をＤとし、線分ＡＤをかき加えたものである。あとの問いに答えなさい。

3）点Ｄのｘ座標を求めなさい。

4）△ＡＤＢの面積を求めなさい。

3）

点Ｄのｙの値は０

直線②上にあるから、

ｙ＝5/4ｘ－10に、ｙ＝０を代入

5/4ｘ－10＝０

５ｘ－40＝０

ｘ＝８

よって、

Ｄのｘ座標は、８

4）

△ＡＢＣ－△ＡＤＣにより求める

△ＡＢＣ

底辺ＡＣの長さ

点ＡとＣのｙの値の差だから

９－（－10）

＝19cm

高さは点Ｂとｙ軸との距離

ｘの値の差だから

12－０

＝12cm

△ＡＢＣの面積は、

1/2×19×12

＝114cm²

△ＡＤＣ

底辺ＡＣ＝19cm

高さは点Ｄと原点との距離

８－０

＝８

△ＡＤＣの面積は、

1/2×19×８

＝76cm²

よって、△ＡＤＢの面積は、

114－76

＝38cm²

中点の座標と等積変形

問題

図１で、①は関数ｙ＝－ｘ＋３のグラフ、②は一次関数のグラフで傾きが1/2である。点Ａは①と②の交点でｘ座標は１である。点Ｂ、Ｃはそれぞれ②とｘ軸、①とｘ軸との交点である。あとの各問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）直線②の式を求めなさい。

2）△ＡＢＣの面積を求めなさい。

1）

点Ａのｙ座標を求める

点Ａは①上にあり、

ｘ座標が１だから

ｙ＝－ｘ＋３に、ｘ＝１を代入

ｙ＝－１＋３

　＝２

直線②の切片の値をｂとする

ｙ＝1/2ｘ＋ｂ

点Ａを通るから

ｘ＝１、ｙ＝２を代入

1/2×１＋ｂ＝２

ｂ＝3/2

よって、求める式は、

ｙ＝1/2ｘ＋3/2

2）

点ＢとＣのｘ座標を求める

点Ｂは②上にあり、

ｙの値が０だから

ｙ＝1/2ｘ＋3/2に、ｙ＝０を代入

1/2ｘ＋3/2＝０

ｘ＝－３

点Ｃは①上にあり、

ｙの値が０だから

ｙ＝－ｘ＋３に、ｙ＝０を代入

－ｘ＋３＝０

ｘ＝３

△ＡＢＣ

底辺ＢＣの長さは、

点ＢとＣのｘの値の差だから

３－（－３）

＝６cm

高さは点Ａとｘ軸との距離

ｙの値の差だから

２－０＝２cm

よって、△ＡＢＣの面積は、

1/2×６×２

＝６cm²

図２は、図１に△ＡＢＣと面積の等しい△ＡＣＤをかき加えたものである。点Ｄは②上の点で、ｘ座標が正であるとき、あとの問いに答えなさい。

3）点Ｄの座標を求めなさい。

4）△ＡＣＤ＝△ＰＡＣ＝△ＰＣＤとなる点Ｐの座標を求めなさい。ただし、点Ｐのｙ座標は、点Ｄのｙ座標より大きいものとする。

3）

△ＡＢＣ＝△ＡＣＤより

点ＡはＢＤの中点である

点Ｄの座標を（ｍ，ｎ）とする

Ａ（１，２）、Ｂ（－３，０）だから

ｘ座標について

（ｍ－３）÷２＝１

ｍ－３＝２

ｍ＝５

ｙ座標について

（ｎ＋０）÷２＝２

ｎ＝４

よって、

点Ｄの座標は（５，４）

※別解

点ＡとＢのｘの値の差

１－（－３）

＝４

点ＡとＢのｙの値の差

２－０

＝２

点Ｄは、Ａから

ｘ軸について＋４平行移動し、

ｙ軸について＋２平行移動した点

よって、

ｘ＝１＋４

　＝５

ｙ＝２＋２

　＝４

よって、（５，４）

4）

△ＡＣＤ＝△ＰＡＣ＝△ＰＣＤ

△ＡＣＤ＝△ＰＡＣより

点Ｐは、

点Ｄを通り、ＡＣに平行な直線上にある。

直線ＰＤの切片をｃとする

傾きはＡＣと同じ－１だから

ｙ＝－ｘ＋ｃ

点Ｄ（５，４）を通るから

－５＋ｃ＝４

ｃ＝９

よって、直線ＰＤの式は、

ｙ＝－ｘ＋９

△ＡＣＤ＝△ＰＣＤより

点Ｐは、

点Ａを通り、ＤＣに平行な直線上にある。

直線ＰＡの切片をｄとする

傾きはＤＣと同じ

ＤＣの傾きは、

ｘの増加量　５－３＝２

ｙの増加量　４－０＝４

傾き　４／２＝２

ｙ＝２ｘ＋ｄ

点Ａ（１，２）を通るから

２×１＋ｄ＝２

ｄ＝０

よって、直線ＰＡの式は、

ｙ＝２ｘ

これと、ｙ＝－ｘ＋９との交点がＰだから

２ｘ＝－ｘ＋９

ｘ＝３

ｙ＝６

よって、点Ｐの座標は、

（３，６）

👉中点の座標

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