2次方程式の応用問題③

たむかい学習教室
9月21日
読了時間: 6分

2次方程式の応用問題③

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中３数学では「2次方程式」の単元に入り、塾生は、応用問題に取り組んでいます。2次方程式の利用では、図形の面積や体積から辺の長さを求める出題があります。因数分解や解の公式、平方完成といった式の解き方を押さえておくことも必要になります。

問題

下の図のように、横が縦より７cm長い長方形の厚紙がある。この４すみから１辺が２cmの正方形を切り取り、直方体の容器をつくると、容積が120cm³になった。このとき、はじめの厚紙の縦の長さを求めなさい。ただし、はじめの厚紙の縦の長さをｘcmとして方程式をつくり、答えを求めなさい。

厚紙の縦がｘcmだから

横は（ｘ＋７）cm

直方体の底面の縦は、

両端を２cmずつ切り取るから

ｘ－２×２

＝ｘ－４ cm

底面の横は、同じく２cmずつ切り取るから

（ｘ＋７）－２×２

＝ｘ＋３ cm

高さは正方形の１辺の長さだから２cm

体積120cm³より

（ｘ－４）（ｘ＋３）×２＝120

両辺÷２

（ｘ－４）（ｘ＋３）＝60

ｘ²－ｘ－12－60＝０

ｘ²－ｘ－72＝０

（ｘ－９）（ｘ＋８）＝０

ｘ＝９，－８

ｘ＞０より

ｘ＝９

よって、

厚紙の縦の長さは、９cm

👉解の吟味

２次方程式では、基本２つの解が出てくるため、２つの値が問題に合っているかを確かめる必要があります。

問題

１辺の長さが20cmの正方形の紙を、図１のように切り取って、図２のような、ふたのついた直方体の箱をつくった。この箱の底面積が72cm²であるとき、箱の高さを求めなさい。

図１下側の切り取る部分は、２つとも正方形になる。

この正方形の１辺の長さが高さになる。

求める高さをｘcmとする。

箱の底面の縦は、

（20－ｘ×２）×1/2

＝10－ｘ cm

箱の底面の横は、

20－ｘ×２

＝20－２ｘ cm

底面積72cm²より

（10－ｘ）（20－２ｘ）＝72

２（10－ｘ）²＝72

（10－ｘ）²＝36

10－ｘ＝±６　※

ｘ＝10±６

　＝４，16

縦の長さは10－ｘcmで、０＜ｘ＜10より

ｘ＝４

よって、

求める高さは、４cm

※因数分解（＝０）の形でない解き方もできる。

　テストや入試では計算の効率が大切になります。手間を省くために、いろいろな解法を覚えておくことが必要です。

問題

下の図のような直角二等辺三角形ＡＢＣで、点Ｐは、Ａを出発して辺ＡＢ上をＢまで動く。また、点Ｑは、点ＰがＡを出発するのと同時にＣを出発し、Ｐと同じ速さで辺ＢＣ上をＢまで動く。点ＰがＡから何cm動いたとき、台形ＡＰＱＣの面積が28cm²になるか、求めなさい。

ＡＰ＝ｘcmとする

△ＡＢＣ－△ＰＢＱ＝28として求める

ＰＢ＝ＡＢ－ＡＰ

　　＝８－ｘ cm

点ＱはＰと同じ速さで動くから

ＣＱ＝ｘcm

ＱＢ＝ＣＢ－ＣＱ

　　＝８－ｘ cm

△ＡＢＣ

＝８²×1/2

△ＰＢＱ

＝（８－ｘ）²×1/2

△ＡＢＣ－△ＰＢＱ＝28より

８²×1/2－（８－ｘ）²×1/2＝28

両辺×２

64－（８－ｘ）²＝56

－（８－ｘ）²＝－８

（８－ｘ）²＝８　※

８－ｘ＝±２√２

ｘ＝８±２√２

０≦ｘ≦８より

ｘ＝８－２√２

よって、

求める長さは、８－２√２cm

※解の公式によらない解き方もできる。

　解の公式で解く場合には、ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０のｂが偶数のときの公式があり、最後の約分の手順を省くことができます。

ｂを半分にする（ｂ’）

　　　－ｂ’±√ｂ’²－ａｃ

　ｘ＝━━━━━━━━━

　　　　　　　ａ

ｘ²－16ｘ＋56＝０

ｘ＝８±√64－56

　＝８±２√２

２次方程式の解き方

👉平方完成

👉解の公式

👉因数分解

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