2026年私立高入試数学①

たむかい学習教室
2月12日
読了時間: 9分

2026年私立高入試数学①

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

当市の私立高校では入学試験があり、テスト解説を行いました。関数のグラフや平面図形では、「等積変形」を利用する出題がありました。3月に行われる県立高入試でも例年よく出題されているため、対策は必須となります。

2026年八戸工大二高

問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²とｙ＝ｘ＋６のグラフは２点Ａ、Ｂで交わっている。点Ｂのｙ座標が９であるとき、あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）ａの値を求めなさい。

2）△ＯＡＢの面積を求めなさい。

3）ｙ＝ａｘ²上の点Ｏ以外の点をＰとする。△ＯＡＢの面積と、△ＰＡＢの面積が等しくなるような点Ｐの座標をすべて求めなさい。

1）

点Ｂは、

ｙ＝ｘ＋６上にあり、ｙ＝９だから

９＝ｘ＋６

ｘ＝３

ｙ＝ａｘ²は、（３，９）を通るから

９＝ａ×３²

ａ＝１

2）

直線ＡＢとｙ軸の交点をＣとする

△ＯＡＣ＋△ＯＢＣとして求める

点Ａは、

ｙ＝ｘ²とｙ＝ｘ＋６の交点だから

ｘ²＝ｘ＋６

ｘ²－ｘ－６＝０

（ｘ－３）（ｘ＋２）＝０

ｘ＝３，－２

点Ｂがｘ＝３だから

点Ａはｘ＝－２

ｙ＝ｘ＋６上にあるから

ｙ＝－２＋６＝４

よって、Ａ（－２，４）

直線ＡＢの切片が６だから

ＯＣ＝６cm

ＯＣを底辺とすると

高さは点Ａとｙ軸との距離だから

０－（－２）＝２cm

よって、

△ＯＡＣ

＝（1/2）×６×２＝６cm²　①

△ＯＢＣの底辺はＯＣ＝６cm

高さは点Ｂとｙ軸との距離だから

３－０＝３cm

よって、

△ＯＢＣ

＝（1/2）×６×３＝９cm²　②

①、②より

６＋９＝15cm²

3）

直線ＡＢに平行な直線を引く

直線ＡＢの下側を通る平行線は、原点Ｏを通る。

ＡＢと傾きが同じだから、ｙ＝ｘ

ｙ＝ｘ²とｙ＝ｘの交点だから

ｘ²＝ｘ

ｘ²－ｘ＝０

ｘ（ｘ－１）＝０

ｘ＝０，１

原点以外の点だから、ｘ＝１

ｙ＝ｘに代入し、ｙ＝１

よって、Ｐ（１，１）

直線ＡＢの上側を通る平行線は、

ＯＣ＝６だから、切片が12

ｙ＝ｘ²とｙ＝ｘ＋12の交点だから

ｘ²＝ｘ＋12

ｘ²－ｘ－12＝０

（ｘ－４）（ｘ＋３）＝０

ｘ＝４，－３

ｘ＝４のとき、ｙ＝４²＝16

ｘ＝－３のとき、ｙ＝（－３）²＝９

よって、

Ｐ（４，16）　（－３，９）

以上から求める座標は、

（１，１）（４，16）（－３，９）

等積変形

同じ底辺をもち、高さの等しい三角形をつくると、面積は等しくなる。

底辺と平行な直線を引くことでつくることができる。

△ＯＡＢと△ＰＡＢ

辺ＡＢを同じ底辺として、ＡＢに平行な直線を引く。

問題

図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがあり、辺ＢＣを三等分する点をＢに近い方からＥ、Ｆとし、線分ＤＦと対角線ＡＣとの交点をＰとする。また、点Ｅから線分ＤＦに平行な直線を引き、対角線ＡＣとの交点をＱとする。このとき、あとの問いに答えなさい。なお、1）、2）は最も簡単な整数の比で答えなさい。

1）ＦＰ：ＰＤを求めなさい。

2）ＰＱ：ＱＡを求めなさい。

3）△ＥＰＤの面積は、平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍になるか求めなさい。

1）

△ＡＤＰと△ＣＦＰにおいて

ＡＤ//ＢＣより、平行線の錯角だから

∠ＡＤＰ＝∠ＣＦＰ

∠ＤＡＰ＝∠ＦＣＰ

２組の角が等しいから

△ＡＤＰ∽△ＣＦＰ

よって、

ＦＰ：ＰＤ＝ＣＦ：ＡＤ

ＡＤ＝ＢＣ、ＢＣ＝３ＣＦより

ＣＦ：ＡＤ＝１：３

よって、

ＦＰ：ＰＤ＝１：３

2）

ＦはＣＥの中点、ＰＦ//ＱＥだから

中点連結定理より

ＣＰ：ＰＱ＝１：１

△ＡＤＰ∽△ＣＦＰより

ＣＰ：ＡＰ＝１：３

ＰＱ＝ＣＰだから

ＱＡ

＝ＡＰ－ＰＱ

＝３－１＝２

よって、

ＰＱ：ＱＡ＝１：２

3）

ＰＦ//ＱＥだから等積変形により

△ＥＰＤ＝△ＱＰＤ

ＰＱ：ＣＰ＝１：１だから

△ＱＰＤ：△ＣＰＤ＝１：１　※

ＰＱ：ＱＡ＝１：２だから

△ＱＰＤ：△ＱＡＤ＝１：２　※

よって、

△ＡＤＣ

＝△ＱＰＤ＋△ＣＰＤ＋△ＱＡＤ

＝１＋１＋２＝４

▱ＡＢＣＤ＝２△ＡＤＣだから

▱ＡＢＣＤ＝２×４＝８

よって、

△ＱＰＤ÷▱ＡＢＣＤ

＝１÷８

＝1/8

△ＥＰＤ＝△ＱＰＤより

1/8倍

※高さが等しい三角形どうしは、底辺比が面積比なる。

問題

図のように、円周を12等分した点があり、そのうちの１つをＯとする。大小２つのさいころを同時に１回投げ、大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとする。このとき、次の規則にしたがって点Ａ、Ｂを定め、３点Ｏ、Ａ、Ｂを結ぶ。あとの問いに答えなさい。ただし、さいころのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

＜規則＞

点Ａ：点Ｏから円周上の点を右回りに、ａが奇数の場合にはａ個分、ａが偶数の場合にはａ/２個分進んだ点とする。

点Ｂ：点Ｏから円周上の点を左回りにｂ個分進んだ点とする。

1）ａ＝４のとき、△ＯＡＢが直角三角形になるようなｂの値をすべて求めなさい。

2）△ＯＡＢが直角三角形になる確率を求めなさい。

1）

ａ＝４のとき、

点Ａは右回りに４×（1/2）＝２進む

直径ＡＢに対する円周角は、

∠ＡＯＢ＝90°だから

Ａが２時にいるとき、Ｂは８時にいる。

よって、

点Ｂは左周りに４進めばよい（ｂ＝４）

また、

直径ＯＢに対する円周角は、

∠ＯＡＢ＝90°だから

Ｏが０時のとき、Ｂは６時にいる。

よって、

点Ｂは左回りに６進めばよい（ｂ＝６）

したがって、求める値は、

ｂ＝４，６

※

ａ＝４のとき、ＯＡは直径にならない

2）

規則からＯＡは直径にならない

よって、

ＡＢとＯＢが直径になるときだから

（ａ，ｂ）

＝（１，５）（１，６）（２，５）（２，６）（３，３）（３，６）（４，４）（４，６）（５，１）（５，６）（６，３）（６，６）　計12通り

同時に投げるときの組み合わせは、

６通り×６通り＝36通りだから

求める確率は、

12/36＝1/3

問題

下の図のように、１から10の数が書かれたカードを、次の手順にしたがって並べていく。

＜手順＞

・1段目は1枚、2段目は3枚、３段目は5枚、・・・という規則で並べるものとする。

・カードに書かれた数が１，２，３，・・・，10，１，２，３，・・・，10，・・・となるように繰り返し並べる。

・1段目は１の数が書かれたカードとし、2段目以降は左端から右端へ並べ、右端に並べたら、次の段の左端から並べるものとする。

このとき、あとの問いに答えなさい。　

1）１段目から６段目の右端までのカードは全部で何枚あるか答えなさい。

2）段の右端に６の数が書かれたカードが並ぶ場合を考えると、１回目に並ぶのは４段目である。３回目に並ぶのは何段目か答えなさい。　

3）カードに書かれた１から10の数のうち、段の右端に並ばない数をすべて答えなさい。

1）

１段目まで　計１枚　１²枚

２段目まで　計４枚　２²枚

３段目まで　計９枚　３²枚

４段目まで　計16枚　４²枚

５段目まで　計25枚　５²枚

よって、

ｎ段目までの合計枚数はｎ²

ｎ＝６のときだから

６²＝36枚

2）

カードは10枚周期で繰り返される

右端に６がくるのは、その段までの合計枚数を10で割ったときの余りが６のとき

１段目まで　１²＝１枚

２段目まで　２²＝４枚

３段目まで　３²＝９枚

４段目まで　４²＝16枚（余り６）

👉１回目

５段目まで　５²＝25枚（余り５）

６段目まで　６²＝36枚（余り６）

👉２回目

７段目まで　７²＝49枚（余り９）

８段目まで　８²＝64枚（余り４）

９段目まで　９²＝81枚（余り１）

10段目まで　10²＝100枚（余り０）

余りの数または合計枚数の一の位が右端の数になる（余り０は10のカード）

よって、

11²＝121、12²＝144、13²＝169、14²＝196だから

14段目

3）

2）より

右端には「１，４，５，６，９，10」のみがくるから

２，３，７，８

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（小学６年）

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