2026年私立高入試数学②

たむかい学習教室
2月13日
読了時間: 9分

2026年私立高入試数学②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

当市の私立高校では入学試験があり、テスト解説を行いました。複数の高校で、数の規則性に関する出題があり、3月に行われる県立高入試でも例年よく出題されているため、対策は必須となります。

2026年八戸学院光星高

問題

図１で、①は関数ｙ＝（1/3）ｘ²のグラフであり、点Ａは①上の点で、ｘ座標が－９である。あとの問いに答えなさい。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）関数ｙ＝（1/3）ｘ²について、ｘの値が３から６まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

1）

点Ａは、

ｙ＝（1/3）ｘ²上にあり、ｘ＝－９だから

ｙ＝（1/3）×（－９）²＝27

よって、27

2）

ｘ＝３のとき、

ｙ＝（1/3）×３²＝３

ｘ＝６のとき、

ｙ＝（1/3）×６²＝12

ｘの増加量　６－３＝３

ｙの増加量　12－３＝９

よって、変化の割合は、

９／３＝３

図２は、図１のｙ軸上に点Ｂ、①上に点Ｃをそれぞれとって、△ＡＯＢと△ＡＯＣをつくったものである。点Ｂのｙ座標は36であり、点Ｃのｘ座標は３である。ｘ軸上のｘ＞０の範囲に点Ｐをとるとき、あとの問いに答えなさい。

3）直線ＡＰが△ＡＯＢの面積を２等分するとき、直線ＡＰの式を求めなさい。

4）△ＡＯＣの面積と△ＡＯＰの面積が等しくなるとき、点Ｐの座標を求めなさい。

3）

線分ＢＯの中点を通るときになる

中点のｙ座標は、点Ｂがｙ＝36だから

36÷２＝18

直線ＡＰの切片は18だから

求める式を

ｙ＝ａｘ＋18とする

Ａ（－９，27）を通るから

27＝ａ×（－９）＋18

ａ＝－１

よって、ｙ＝－ｘ＋18

4）

点Ｃを通りＯＡに平行な直線をひく

等積変形により

△ＡＯＣ＝△ＡＯＰとなる

ＯＡの傾きは、Ａ（－９，27）だから

－27／９＝－３

平行線の傾きも同じだから

平行線の式を、

ｙ＝－３ｘ＋ｂとする

点Ｃは、

ｙ＝（1/3）ｘ²上にあり、ｘ＝３だから

ｙ＝（1/3）×３²＝３

ｙ＝－３ｘ＋ｂは、Ｃ（３，３）を通るから

３＝－３×３＋ｂ

ｂ＝12

よって、平行線の式は、

ｙ＝－３ｘ＋12

点Ｐは、ｙ＝０だから

０＝－３ｘ＋12

ｘ＝４

よって、求める座標は、

（４，０）

問題

下の図のように、線分ＡＢを直径とする半円があり、点Ｏは線分ＡＢの中点である。Ａ⌒Ｂ上に点Ｃをとり、∠ＢＡＣの二等分線とＡ⌒Ｂとの交点をＤとする。また、線分ＡＤと線分ＢＣとの交点をＥとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＤと△ＢＥＤが相似であることを証明しなさい。

2）ＡＯ＝10cm、ＢＤ＝12cmのとき、次のア、イに答えなさい。

ア　△ＡＢＤの面積を求めなさい。

イ　線分ＣＥの長さを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＤと△ＢＥＤにおいて

共通な角だから

∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＥ　①

ＡＤは∠ＢＡＣの二等分線だから

∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＥ　②

Ｃ⌒Ｄに対する円周角だから

∠ＤＢＥ＝∠ＣＡＥ　③

②、③より

∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＥ　④

①、④より

２組の角がそれぞれ等しいから

△ＡＢＤ∽△ＢＥＤ

2）ア

直径ＡＢに対する円周角だから

∠ＡＤＢ＝90°

△ＡＢＤで三平方の定理より

ＡＤ²＝ＡＢ²－ＢＤ²

ＡＢ＝２ＡＯ＝20cmだから

ＡＤ²＝20²－12²＝256

ＡＤ＝16cm（ＡＤ＞０）

よって、求める面積は、

（1/2）×ＡＤ×ＢＤ

＝（1/2）×16×12

＝96cm²

2）イ

△ＡＢＤ∽△ＢＥＤより

ＡＢ：ＢＥ＝ＡＤ：ＢＤ

ＡＤ＝16cm、ＢＤ＝12cmだから

ＡＢ：ＢＥ＝16：12＝４：３

ＡＢ＝20cmだから

20：ＢＥ＝４：３

ＢＥ＝15cm

ＢＤ：ＥＤ＝４：３で

ＢＤ＝12cmだから

12：ＥＤ＝４：３

ＥＤ＝９cm

ＡＥ＝ＡＤ－ＥＤ

　　＝16－９＝７cm

△ＡＥＣと△ＢＥＤにおいて

直径ＡＢに対する円周角だから

∠ＡＣＥ＝∠ＢＤＥ

Ｃ⌒Ｄに対する円周角だから

∠ＣＡＥ＝∠ＤＢＥ

２組の角が等しいから

△ＡＥＣ∽△ＢＥＤ

よって、

ＣＥ：ＤＥ＝ＡＥ：ＢＥ

ＤＥ＝９cm、ＡＥ＝７cm、ＢＥ＝15cmだから

ＣＥ：９＝７：15

ＣＥ＝63/15＝21/5cm

問題

図１のように、１辺の長さが６cmの正方形ＡＢＣＤを底面とし、高さが４cmの正四角錐ＯＡＢＣＤがある。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）正四角錐ＯＡＢＣＤの体積を求めなさい。

2）図２は、図１において、辺ＯＤの中点をＭとしたものである。３点Ｏ、Ｂ、Ｍを結んでできる△ＯＢＭの面積を求めなさい。

1）

三角錐の体積の公式より

（1/3）×６²×４

＝48cm³

2）

ＢＤは１辺６cmの正方形の対角線だから

直角二等辺三角形の辺の比より

ＢＤ＝６√２cm

点ＯからＢＤへの垂線をＯＨとする

ＯＨ＝４cmだから

△ＯＢＤの面積は、

（1/2）×ＢＤ×ＯＨ

＝（1/2）×６√２×４

＝12√２cm²

ＯＭ：ＯＤ＝１：２だから

△ＯＢＭ：△ＯＢＤ＝１：２

※高さが等しいから底辺比が面積比になる

よって、

△ＯＢＭ

＝（1/2）×△ＯＢＤ

＝（1/2）×（12√２）

＝６√２cm²

問題

次の【灯台の光り方の特徴】を見て、あとの問いに答えなさい。

【灯台の光り方の特徴】

灯台Ａ

５秒間点灯した後、３秒間消灯することをくり返す。

灯台Ｂ

６秒間点灯した後、６秒間消灯することをくり返す。

灯台ＡとＢは、午後７時に同時に点灯し始める。

1）灯台Ａと灯台Ｂが、午後７時に同時に点灯し始めたとき、次に同時に点灯し始めるのは何秒後か求めなさい。

2）午後７時から４分間で、灯台Ａと灯台Ｂの両方が同時に点灯している時間は、合計で何秒間になるか求めなさい。

3）灯台Ａと灯台Ｂがちょうど同時に点灯し始めたときから観察を始める。このとき、次のア、イに答えなさい。

ア　灯台Ａが１回目に消灯するのは、観察を始めてから５秒後である。灯台Ａがｎ回目に消灯するのは、観察を始めてから何秒後か。ｎを使った式で表しなさい。

イ　灯台Ｂがｎ回目に消灯したときに観察をやめた。灯台Ａが（ｎ＋１）回目に消灯したのが観察をやめる29秒前であったとき、観察していた時間は何秒間だったか。

1）

灯台Ａは、

５秒間点灯し、３秒間消灯するから

点灯し始めて次に点灯するまで８秒間

灯台Ｂは、

６秒間点灯し、６秒間消灯するから

点灯し始めて次に点灯するまで12秒間

よって、

８と12の最小公倍数のときになるから

24秒後

2）

24秒間で同時に点灯している時間は

０～５秒の５秒間

12～13秒の１秒間

16～18秒の２秒間

で、計８秒間

24秒で１サイクルだから

４分（240秒）÷24で10サイクル

１サイクルの中に同時点灯の時間は８秒間だから

８×10＝80秒間

※25秒後から48秒後も１秒後～24秒後と同じサイクル

3）ア

回数ｎと消灯する時間ｙ秒後の関係は

ｎ回目　１　２　３

ｙ秒後　５　13　21

ｎが１増えるごとに、ｙは８増えるから

ｎとｙは一次関数である。

ｎの増加量　２－１＝１

ｙの増加量　13－５＝８

変化の割合　８／１＝８

切片の値をｂとする

ｙ＝８ｎ＋ｂ

ｎ＝１、ｙ＝５を代入

５＝８×１＋ｂ　ｂ＝－３

よって、

８ｎ－３（秒後）

※

ｎ回目　０　１　２　３

ｙ秒後　－３５　13　21

3）イ

灯台Ｂ

回数ｎと消灯する時間ｙ秒後の関係は

ｎ回目　１　２　３

ｙ秒後　６　18　24

ｎが１増えるごとに、ｙは12増えるから

変化の割合は、12/1＝12

切片の値をｃとする

ｙ＝12ｎ＋ｃ

ｘ＝１、ｙ＝６を代入

６＝12×１＋ｃ　ｃ＝－６

よって、

灯台Ｂがｎ回目に消灯するのは

12ｎ－６（秒後）

したがって、観察をやめる29秒前は

12ｎ－６－29

＝12ｎ－35（秒後）

灯台Ａが消灯した時間は

８（ｎ＋１）－３

＝８ｎ＋５（秒後）

よって、

12ｎ－35＝８ｎ＋５

ｎ＝10

観察時間はｎ＝10のときのＢの消灯時間だから

12ｎ－６

＝12×10－６

＝114秒間

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指導実績

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今年度塾生35名（2026年1月現在）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

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３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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