2026年私立高入試数学③

たむかい学習教室
2月15日
読了時間: 6分

2026年私立高入試数学③

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

当市の私立高校では入学試験があり、図形問題では、三角形の底辺比と面積比の関係や円に内接する三角形の性質を利用する出題がありました。３月に行われる県立高入試にもよく出題される内容のため、対策が必要になります。

2026年八戸聖ウルスラ学院高

問題

下の図は、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨであり、ＡＢ＝４、ＢＨ＝９、ＨＤ＝３である。あとの問いに答えなさい。

1）ＤＢの長さを求めなさい。

2）ＢＣの長さを求めなさい。

1）

△ＢＨＤで、∠ＢＤＨ＝90°だから

三平方の定理より

ＤＢ²＝ＢＨ²－ＨＤ²

ＤＢ²＝９²－３²＝72

ＤＢ＞０より

ＤＢ＝６√２

2）

△ ＢＤＣで、∠ＢＣＤ＝90°だから

三平方の定理より

ＢＣ²＝ＢＤ²－ＤＣ²

ＤＣ＝ＡＢ＝４だから

ＢＣ²＝72－４²＝56

ＢＣ＞０より

ＢＣ＝２√14

問題

下の図は１辺の長さが８の正方形ＡＢＣＤであり、Ｅは辺ＡＢの中点、Ｆは線分ＥＤの中点、Ｇは線分ＣＦの中点である。あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＤＥの面積を求めなさい。

2）四角形ＥＢＧＦの面積を求めなさい。

1）

∠Ａ＝90°の直角三角形で、

ＡＥ＝（1/2）ＡＢ＝４、ＡＤ＝８だから

（1/2）×４×８＝16

よって、16

2）

線分ＥＣをひくと、

△ＢＣＥ≡△ＡＤＥだから

△ＢＣＥ＝16

また、

△ＥＣＤ

＝正方形ＡＢＣＤ－△ＡＤＥ－△ＢＣＥ

＝８²－16－16＝32

ＤＦ：ＦＥ＝１：１より

△ＣＤＦ＝32×（1/2）＝16

線分ＢＦ、ＢＤをひくと

△ＢＥＦ＝△ＢＤＦ

ＢＥ：ＥＡ＝１：１より

△ＢＤＥ＝△ＡＤＥ＝16

ＥＦ：ＦＤ＝１：１より

△ＢＥＦ＝（1/2）△ＢＤＥ＝８

△ＡＤＥ＝16、△ＣＤＦ＝16、△ＢＥＦ＝８だから

△ＢＣＦ＝８²－16－16－８＝24

ＦＧ：ＧＣ＝１：１より

△ＢＦＧ＝（1/2）ＢＣＦ＝12

よって、求める面積は、

△ＢＥＦ＋△ＢＦＧ

＝８＋12＝20

👉高さが同じ三角形は底辺比が面積比になる

問題

下の図のように、放物線ｙ＝ｘ²上にｘ座標が２の点をＡとし、Ａを通り傾きが－２である直線ℓとｘ軸の交点をＢとする。また、３点Ｏ、Ａ、Ｂを通る円とｙ軸の交点のうち、Ｏではない点をＣとする。あとの問いに答えなさい。

1）Ａの座標を求めなさい。

2）直線ℓの式を求めなさい。また、Ｂの座標を求めなさい。

3）線分ＡＢの長さを求めなさい。

4）点Ｃの座標を求めなさい。

1）

点Ａは、

ｙ＝ｘ²上にあり、ｘ＝２だから

ｙ＝２²＝４

よって、（２，４）

2）

直線ℓの切片をｂとする

ｙ＝－２ｘ＋ｂ

（２，４）を通るから

４＝－２×２＋ｂ

ｂ＝８

よって、直線ℓの式は、

ｙ＝－２ｘ＋８

点Ｂは、ｙ＝０だから

０＝－２ｘ＋８

ｘ＝４

よって、（４，０）

3）

点Ａからｘ軸への垂線をＡＨとする

△ＡＢＨで三平方の定理より

ＡＢ²＝ＡＨ²＋ＢＨ²

ＡＨ＝４－０＝４（ｙの値の差）

ＢＨ＝４－２＝２（ｘの値の差）

よって、

ＡＢ²＝４²＋２²＝20

ＡＢ＝２√５（ＡＢ＞０）

4）

線分ＢＣをひくと、∠ＢＯＣ＝90°だから

円周角の定理の逆より、ＢＣは直径になる。

垂線ＡＨは、弦ＯＢの垂直二等分線だから、円の中心を通る。

よって、

円の中心は、ｘ＝２

円の中心をＭ（２，ｔ）とする

∠ＯＨＭ＝90°だから

△ＯＭＨで三平方の定理より

ＯＭ²＝ＯＨ²＋ＭＨ²

ＯＨ＝２、ＭＨ＝ｔだから

ＯＭ²＝２²＋ｔ²＝４＋ｔ²

また、

ＡＭ＝４－ｔより

ＡＭ²＝（４－ｔ）²

ＯＭ＝ＡＭだから

４＋ｔ²＝（４－ｔ）²

４＋ｔ²＝16－８ｔ＋ｔ²

８ｔ＝12

ｔ＝3/2

Ｍ（２，3/2）とＢ（４，０）を通る直線の切片を求める

ｘの増加量　４－２＝２

ｙの増加量　０－（3/2）＝－3/2

傾き　（－3/2）×（1/2）＝－3/4

切片の値をｃとすると

ｙ＝（－3/4）ｘ＋ｃは、（４，０）を通るから

０＝（－3/4）×４＋ｃ

ｃ＝３

よって、（０，３）

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今年度塾生35名（2026年1月現在）

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ご入塾までの流れ

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

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３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

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