2次関数の最大と最小高校数学

たむかい学習教室
9月10日
読了時間: 6分

2次関数の最大と最小高校数学

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校数Ⅰでは、関数の単元に入っています。関数の単元では、ｘの範囲からｙの最大値と最小値を求める学習があります。2次関数では、与式から放物線の軸と頂点、凸の上下を確かめて、グラフに書き表してから求めます。

問題

次の条件を満たすように、定数ｃの値を求めよ。

1）関数ｙ＝ｘ²－４ｘ＋ｃ（１≦ｘ≦５）の最大値が８である。

2）関数ｙ＝－ｘ²－２ｘ＋ｃ（０≦ｘ≦２）の最小値が－３である。

1）

ｙ＝ｘ²－４ｘ＋ｃ

　＝（ｘ－２）²－４＋ｃ

下に凸の放物線、軸はｘ＝２

１≦ｘ≦５の範囲で、

ｙが最大値をとるのはｘ＝５のとき

👉軸から遠いほうの値

ｙ＝５²－４・５＋ｃ

　＝ｃ＋５

ｃ＋５＝８より

ｃ＝３

※

ｘ＝５のとき、ｙ＝８

点（５，８）を通るから

ｙ＝ｘ²－４ｘ＋ｃに代入

５²－４・５＋ｃ＝８

ｃ＝３

2）

ｙ＝－ｘ²－２ｘ＋ｃ

　＝－（ｘ²＋２ｘ）＋ｃ

　＝－｛（ｘ＋１）²－１｝＋ｃ

　＝－（ｘ＋１）²＋１＋ｃ

上に凸の放物線、軸はｘ＝－１

０≦ｘ≦２の範囲で、

ｙが最小値をとるのはｘ＝２のとき

ｙ＝－２²－２・２＋ｃ

　＝－８＋ｃ

－８＋ｃ＝－３より

ｃ＝５

※

ｘ＝２のとき、ｙ＝－３

点（２，－３）を通るから

ｙ＝－ｘ²－２ｘ＋ｃに代入

－２²－２・２＋ｃ＝－３

ｃ＝５

3）関数ｙ＝ｘ²－２ｘ＋ｃ（－２≦ｘ≦０）の最大値が５である。

4）関数ｙ＝－ｘ²＋６ｘ＋ｃ（１≦ｘ≦４）の最小値が－７である。

3）

ｙ＝ｘ²－２ｘ＋ｃ

　＝（ｘ－１）²－１＋ｃ

下に凸、軸はｘ＝１

－２≦ｘ≦０の範囲で、

ｙが最大値をとるのはｘ＝－２のとき

ｙ＝（－２）²－２・（－２）＋ｃ

　＝８＋ｃ

８＋ｃ＝５より

ｃ＝－３

4）

ｙ＝－ｘ²＋６ｘ＋ｃ

　＝－（ｘ²－６ｘ）＋ｃ

　＝－｛（ｘ－３）²－９｝＋ｃ

　＝－（ｘ－３）²＋９＋ｃ

上に凸、軸はｘ＝３

１≦ｘ≦４の範囲で、

ｙが最小値をとるのはｘ＝１のとき

ｙ＝－１²＋６・１＋ｃ

　＝５＋ｃ

５＋ｃ＝－７より

ｃ＝－12

問題

ａは正の定数とする。次の関数の最小値を求めよ。

ｙ＝ｘ²－４ｘ＋１

（０≦ｘ≦ａ）

ｙ＝ｘ²－４ｘ＋１

　＝（ｘ－２）²－３

下に凸、軸はｘ＝２

０＜ａ＜２のとき

ｙが最小値をとるのはｘ＝ａのとき

よって、

ｙ＝ａ²－４ａ＋１

最小値は、ａ²－４ａ＋１

ａ≧２のとき

ｙが最小値をとるのはｘ＝２のとき

よって、

ｙ＝２²－４・２＋１

　＝－３

最小値は、－３

０＜ａ＜２のとき

ｘ＝ａで最小値ａ²－４ａ＋１

ａ≧２のとき

ｘ＝２で最小値－３

問題

ａは正の定数とする。次の関数の最大値を求めよ。

ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋１

（０≦ｘ≦ａ）

ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋１

　＝－（ｘ²－２ｘ）＋１

　＝－｛（ｘ－１）²－１｝＋１

　＝－（ｘ－１）²＋２

上に凸、軸はｘ＝１

０＜ａ＜１のとき

ｙが最大値をとるのはｘ＝ａのとき

よって、

ｙ＝－ａ²＋２ａ＋１

最大値は、－ａ²＋２ａ＋１

ａ≧１のとき

ｙが最大値をとるのはｘ＝１のとき

よって、

ｙ＝－１²＋２・１＋１

　＝２

最大値は、２

０＜ａ＜１のとき

ｘ＝ａで最大値－ａ²＋２ａ＋１

ａ≧１のとき

ｘ＝１で最大値２

問題

ｙ＝－ｘ²＋２ａｘ（０≦ｘ≦２）の最大値を、次の３つの場合に分けて求めよ。

1）ａ＜０

2）０≦ａ≦２

3）２＜ａ

ｙ＝－ｘ²＋２ａｘ

　＝－（ｘ²－２ａｘ）

　＝－｛（ｘ－ａ）²－ａ²｝

　＝－（ｘ－ａ）²＋ａ²

軸　ｘ＝ａ

頂点（ａ，ａ²）

上に凸の放物線

1）

ａ＜０のとき

０≦ｘ≦２では、

ｙの最大値はｘ＝０のとき

よって、ｙ＝０

ｘ＝２で最大値０

2）

０≦ａ≦２のとき

０≦ｘ≦２では、

ｙの最大値はｘ＝ａのとき

よって、ｙ＝ａ²

ｘ＝ａで最大値ａ²

3）

２＜ａのとき

０≦ｘ≦２では、

ｙの最大値はｘ＝２のとき

よって、ｙ＝４ａ－４

ｘ＝２で最大値４ａ－４

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八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

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指導実績

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八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

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今年度塾生35名（2025年9月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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