反比例

たむかい学習教室
2025年11月21日
読了時間: 7分

反比例

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

反比例の関係では、２つの数量（ｘとｙ）をかけると常に同じ値になります。これを利用して比例定数ａを求めることができます。また、ｘの値が２倍、３倍になると、ｙの値は1/2倍、1/3倍になります。

問題

下の図のように、歯の数が20であるギアＡを54回転させると、歯の数がｘであるギアＢがｙ回転する自転車がある。ギアＢの歯の数が36のとき、ギアＢは何回転するか、求めなさい。

歯の数20のギアを54回転させる

👉チェーンの穴１つに、20×54＝1080個の歯が引っかかる。

ＡとＢは同時に回転するので、

引っかかる歯の数は、常に同じ。

Ａ　20×54＝1080

Ｂ　ｘ×ｙ

よって、

ｘｙ＝1080

Ｂの回転数ｙは、ｘ＝36のときだから

36×ｙ＝1080

ｙ＝30

よって、30回転

ｘｙ＝1080

ｘとｙをかけると、値が常に同じになる。

👉反比例の関係（ｙ＝1080／ｘ）

問題

水そうがあり、毎分６Ｌの割合で水を入れると、20分でいっぱいになる。この水そうに毎分ｘＬの割合で水を入れると、ｙ分でいっぱいになるとして、次の問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）この水そうを16分でいっぱいにするには、毎分何Ｌの割合で水を入れればよいか、求めなさい。

1）

いっぱいになる量

👉１分につき６Ｌずつ20分間入れた量

👉いっぱいになる量は、６×20＝120Ｌ

ｘＬとｙ分の関係

ｘ　１　２　３４　５・・

ｙ 120　60 40 30　24 ・・

👇

ｘが２倍になると、ｙは1/2倍

ｘが３倍になると、ｙは1/3倍

反比例の関係になるから

ｘｙ＝ａ

ａ＝１×120＝120

よって、求める式は、

ｙ＝120／ｘ

2）

ｙ＝16のときだから

ｘ×16＝120

ｘ＝15/2

よって、15/2 Ｌ

問題

下の図のようなてんびんに、左右に１つずつおもりを下げて、てんびんをつりあわせる。左側には、支点から12cmのところに、40ｇのおもりを下げる。右側に下げるおもりの重さをｘｇ、右側に下げたおもりの支点からの距離をｙcmとして、次の問いに答えなさい。ただし、左側と右側それぞれの（おもりの重さ）×（支点からの距離）の値が等しいとき、てんびんはつりあうものとする。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）右側に60ｇのおもりを下げててんびんをつりあわせるには、支点から何cmのところにおもりを下げればよいか、求めなさい。

1）

（おもりの重さ）×（支点からの距離）の値が等しいとあるから

ｘ×ｙ＝40×12

ｘｙ＝480

よって、求める式は、

ｙ＝480／ｘ

2）

ｘ＝60のときだから

ｙ＝480／60＝８

よって、８cm

問題

コピー機の拡大機能を使って、図形を115％に拡大コピーする。１辺の長さがｘcmの正方形を拡大コピーしてできる正方形の１辺の長さをｙcmとして、次の問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）拡大コピーしてできた正方形の１辺の長さが18.4cmのとき、もとの正方形の面積は何cm²か、求めなさい。

1）

図形を115％に拡大

👉もとの１辺×（115/100）

もとの１辺が100cm

100×（115/100）＝115cm

もとの１辺が200cm

200×（115/100）＝230cm

もとの１辺が300cm

300×（115/100）＝345cm

拡大前ｘcmと拡大後ｙcmの関係

ｘ　100　200　300・・

ｙ　115　230　345・・

ｘが２倍になると、ｙは２倍

ｘが３倍になると、ｙは３倍

比例の関係になるから

ｙ＝ｘ×（115/100）

よって、求める式は、

ｙ＝（23/20）ｘ

2）

ｙ＝18.4のときだから

18.4＝（23/20）ｘ

（23/20）ｘ＝184/10

両辺×（20/23）※

ｘ＝（184/10）×（20/23）

ｘ＝８×２

　＝16

もとの正方形の１辺は16cmだから

求める面積は、

16²＝256cm²

※

ｘの係数が分数の場合は、両辺に逆数をかけることで、計算の手間を省くことができる。

問題

下の図のように、反比例のグラフ上（ｘ＞０）に２点Ｐ、Ｑがある。点Ｑからｘ軸に垂直にひいた直線をＱＡとして、直角三角形ＱＯＡをつくる。点Ｐのｘ座標が３で、直角三角形ＱＯＡの面積が15のとき、点Ｐのｙ座標を求めなさい。

反比例のグラフ上の点

👉ｘの値とｙの値をかけると、比例定数ａになる。

点Ｑからの垂線とｙ軸との交点をＲとする

四角形ＯＡＱＲは長方形で、

△ＱＯＡの２倍の面積になる。

長方形ＯＡＱＲの面積は、

15×２＝30

点Ｑのｘとｙの値の積は30だから

グラフは、ｙ＝30／ｘ

点Ｐはグラフ上の点で、ｘ＝３だから

ｙ＝30／３＝10

よって、

求めるｙ座標は、10

反比例のグラフでは、比例定数の絶対値は、長方形の面積を表す。

問題

下の図は、ｙ＝（2/3）ｘとｙ＝ａ／ｘのグラフで、２つのグラフの交点のうち、ｘ座標が負の数である点をＡとする。あとの問いに答えなさい。

1）ａ＝15のとき、ｙ＝ａ／ｘのグラフ上にあり、ｘ座標、ｙ座標がともに自然数である点の個数を求めなさい。

2）点Ａのｘ座標が－６のとき、ａの値を求めなさい。

1）

ｘ×ｙ＝15だから

（１，15）（３，５）（５，３）（15，１）の４点である。

よって、４個

2）

点Ａは、

ｙ＝（2/3）ｘ上にあり、ｘ＝－６だから

ｙ＝（2/3）×（－６）

　＝－４

ｙ＝ａ／ｘ上にもあるから

ｘ＝－６、ｙ＝４を代入

４＝ａ／（－６）

よって、

ａ＝－24

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（中学３年）

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３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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