おうぎ形

たむかい学習教室
4月14日
読了時間: 7分

更新日：5 日前

おうぎ形

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　新学期がスタートしました。新学期早々のこの時期、塾生たちは今年一年の土台づくりのため、前の学年の復習に取り組んでいます。中１数学では、おうぎ形の学習があります。計算の方法や手順が複数あり、複雑に感じられる内容ではありますが、円周（２πｒ）と面積（πｒ²）の公式が基本になります。

問題

１）下の図の色をつけた部分の面積を求めなさい。

半径６cmの半円から、半径４cmの半円を引いて求める。

π×６²×180°／360°ーπ×４²×180°／360°

＝18πー８π

＝10π cm²

おうぎ形の面積

πｒ² × ａ°／360°

ｒ：半径　ａ：中心角

２）下の図のおうぎ形の周の長さを求めなさい。

弧の長さと半径２つ分の長さになる

弧の長さ

２π×８×45°／360°

＝２π cm

半径２つ分

８×２＝16cm

以上から、２π＋16 (cm)

おうぎ形の弧の長さ

２πｒ × ａ°／360°

ｒ：半径　ａ：中心角

３）半径９cm、弧の長さ８πcmのおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

求める中心角をｘ°とする

２π×９× ｘ°／360°＝８π

ｘ＝160°

問題

１）半径10cm、弧の長さ５π cmのおうぎ形の面積を求めなさい。

２）底面の半径が４cm、母線の長さが12cmの円錐がある。側面の展開図のおうぎ形の中心角と、表面積をそれぞれ求めなさい。

１）

おうぎ形の面積

＝弧の長さ×半径×１／２

５π×10×１／２

＝25π (cm²）

別解

半径10cmの円周

２π×10＝20π cm

おうぎ形の弧は５π cmだから、

面積は、半径10cmの円全体の１／４になる（５π／20π＝１／４）。

よって、

π×10²×１／４

＝25π (cm²）

２）

おうぎ形の中心角

＝360°×底面の半径／母線

360°×４／12

＝120°

別解

半径12cmの円周

２π×12＝24π cm

おうぎ形の弧の長さは、底面の円周（２π×４＝８π cm）と同じ。

中心角は、半径12cmの円全体の１／３になる（８π／24π＝１／３）。

よって、

360°×１／３

＝120°

表面積

＝側面積（おうぎ形）＋底面積（円）

側面積

８π×12×１／２

＝48π cm²

底面積

π×４²＝16π cm²

以上から、

48π＋16π＝64π (cm²)

問題（入試過去問）

下の図のように、ＡＢ、ＡＣを直径とする２つの半円があり、ＡＢ＝ＡＣ＝４cm、∠ＢＡＣ＝45°である。影をつけた部分の面積を求めなさい。

直径ＡＣと弧ＡＢの交点をＤとする。

また、直径をＡＢとする円の中心をＯとする。

点Ｄからの垂線をＡＢ上に引くと、∠ＢＡＣ＝45°より、垂線はＯと交わる。

ＤＯ⊥ＡＢとなるから、

∠ＢＡＣ＝∠ＯＤＡ＝45°

よって、ＯＡ＝ＯＤ＝２cm

影つきの面積は、△ＯＤＡ＋おうぎ形ＯＤＢで求められる。

△ＯＤＡ

＝２×２×１／２

＝２cm²

おうぎ形ＯＤＢ

＝π×２²×90°／360°

＝π cm²

以上から、π＋２(cm²)

問題（中３数学）

下の図のように、円錐の底面の円周上に点Ａをとり、そこからひもがゆるまないように側面にそって１周するようにひもをかける。このひもがもっとも短くなるときの長さを求めなさい。

側面のおうぎ形の弧の長さを求める

底面の半径が２cmだから、

２π×２＝４π cm

おうぎ形の中心角をｘ°とする

２π×８× ｘ°／360°＝４π

ｘ＝90°

ひもＡＡ’は展開図上で直線となるから、直角二等辺三角形の辺の比より、

８：ＡＡ’＝１：√２

ＡＡ’＝８√２cm

円すいのおうぎ形の中心角

360°× 底面の半径／母線の長さで求めることもできる

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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