いろいろな連立方程式

たむかい学習教室
9月13日
読了時間: 7分

いろいろな連立方程式

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中学数学で学習する連立方程式の計算（演算）には、いろいろな手順と方法があり、加減法や代入法の解き方があります。方程式は「両辺がイコール（等しい）の関係」にある式です。この性質を押さえておくことで、いろいろな形の式に対応できます。

問題

次の連立方程式を解きなさい。

1）

３ｘ＋７ｙ＝13

ｘ＋２ｙ＝４

2）

0.3ｘ＋ｙ＝－0.1

４ｘ＋５ｙ＝７

3）

３ｘ＋２ｙ＝ｘ＋３ｙ＝７

1）

３ｘ＋７ｙ＝13　①

ｘ＋２ｙ＝４　②

解き方1

ｘの係数をそろえる

👉加減法で解く

①－②×３

　　３ｘ＋７ｙ＝13

－）３ｘ＋６ｙ＝12

　　　　　　ｙ＝１

②に代入

ｘ＋２＝４

ｘ＝２

（ｘ，ｙ）＝（２，１）

解き方2

「ｘ＝」の形に変形

👉代入法で解く

②より

ｘ＝４－２ｙ

これを①に代入

３（４－２ｙ）＋７ｙ＝13

12－６ｙ＋７ｙ＝13

ｙ＝１

②に代入

ｘ＋２＝４

ｘ＝２

（ｘ，ｙ）＝（２，１）

2）

0.3ｘ＋ｙ＝－0.1　①

４ｘ＋５ｙ＝７　②

小数を含む式は、両辺を倍する。

①×10

３ｘ＋10ｙ＝－１　①’

ｙの係数をそろえる

②×２

８ｘ＋10ｙ＝14　②’

①’－②’

　　３ｘ＋10ｙ＝－１

－）８ｘ＋10ｙ＝14

　－５ｘ　　　＝－15

　　　　　　ｘ＝３

①’に代入

９＋10ｙ＝－１

10ｙ＝－10

ｙ＝－１

（ｘ，ｙ）＝（３，－１）

3）

３ｘ＋２ｙ＝ｘ＋３ｙ＝７

横式

Ａ＝Ｂ＝Ｃ

👇

Ａ＝Ｂ　Ａ＝Ｃ

または

Ｂ＝Ａ　Ｂ＝Ｃ

または

Ｃ＝Ａ　Ｃ＝Ｂ　

Ｃ＝Ａ、Ｃ＝Ｂより

３ｘ＋２ｙ＝７　①

ｘ＋３ｙ＝７　②

①－②×３

　　３ｘ＋２ｙ＝７

－）３ｘ＋９ｙ＝21

　　　　－７ｙ＝－14

　　　　　　ｙ＝２

②に代入

ｘ＋６＝７

ｘ＝１

（ｘ，ｙ）＝（１，２）

4）

３ｘ＋ｙ＝２ｘ－ｙ＝ｘ＋３

5）

ｘ＋ｙ＝５

ｙ＝２（ｘ＋１）

6）

ｘ／２＋ｙ／３＝１

２ｘ－ｙ＝11

4）

３ｘ＋ｙ＝２ｘ－ｙ＝ｘ＋３

３ｘ＋ｙ＝２ｘ－ｙ　①

２ｘ－ｙ＝ｘ＋３　②

①より

ｘ＝－２ｙ　①’　

②より

ｘ＝ｙ＋３

代入法より

－２ｙ＝ｙ＋３

－３ｙ＝３

ｙ＝－１

①’に代入

ｘ＝２

（ｘ，ｙ）＝（２，－１）

5）

ｘ＋ｙ＝５　①

ｙ＝２（ｘ＋１）　②

②を①に代入

ｘ＋２（ｘ＋１）＝５

ｘ＋２ｘ＋２＝５

３ｘ＝３

ｘ＝１

①に代入

１＋ｙ＝５

ｙ＝４

（ｘ，ｙ）＝（１，４）

6）

ｘ／２＋ｙ／３＝１　①

２ｘ－ｙ＝11　②

分数を含む式は、

両辺を最小公倍数で倍する。

①×６

３ｘ＋２ｙ＝６　①’

①’＋②×２

　　３ｘ＋２ｙ＝６

＋）４ｘ－２ｙ＝22

　　７ｘ　　　＝28

　　　　　　ｘ＝４

②に代入

８－ｙ＝11

ｙ＝－３

（ｘ，ｙ）＝（４，－３）

文章題・応用

問題

兄がノート４冊と鉛筆３本を買うと、代金は850円だった。弟が同じノート２冊と鉛筆１本を買うと、代金は390円だった。ノート１冊と鉛筆１本の値段をそれぞれ求めなさい。

ノート１冊をｘ円、

鉛筆１本をｙ円とする。

兄の買い物

４×ｘ＋３×ｙ＝850

４ｘ＋３ｙ＝850　①

弟の買い物

２×ｘ＋１×ｙ＝390

２ｘ＋ｙ＝390　②

①－②×２

　　４ｘ＋３ｙ＝850

－）４ｘ＋２ｙ＝780

　　　　　　ｙ＝70

②に代入

２ｘ＋70＝390

２ｘ＝320

ｘ＝160

よって、

ノート１冊　160円

鉛筆１本　　 70円

問題

家から公園を通って、350m離れた駅へ行くのに、家から公園までは分速50mで歩き、公園から駅までは分速100mで歩いたら、５分かかった。家から公園までの道のりと、公園から駅までの道のりをそれぞれ求めなさい。

家から公園までをｘm、

公園から駅までをｙmとする。

家から駅まで350mだから

ｘ＋ｙ＝350　①

ｘmを分速50mで進むから

かかった時間は、

ｘ÷50

＝ｘ／50（分）

ｙmを分速100mで進むから

ｙ÷100

＝ｙ／100（分）

合わせて５分かかるから

ｘ／50＋ｙ／100＝５　②

②×100

２ｘ＋ｙ＝500　②’

①－②’

　　　ｘ＋ｙ＝350

－）２ｘ＋ｙ＝500

　　　　　ｘ＝150

①に代入

150＋ｙ＝350

ｙ＝200

よって、

家から公園まで　150m

公園から駅まで　200m

問題

Ａ中学校の３年前の生徒は、男女合わせて560人であった。今年は、３年前の生徒数と比べて男子は18％の減少、女子は10％の増加で、男女合わせると５％の減少であった。今年のＡ中学校の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。

３年前の男子生徒をｘ人、

３年前の女子生徒をｙ人とする。

合わせて560人だから

ｘ＋ｙ＝560　①

今年の男子は３年前より18％減ったから

減った分の人数は

ｘ×（－18/100）人

今年の女子は３年前より10％増えたから

増えた分の人数は

ｙ×（＋10/100）人

合わせて５％減ったから

－18/100ｘ＋10/100ｙ＝－5/100（ｘ＋ｙ）　②

②×100

－18ｘ＋10ｙ＝－５ｘ－５ｙ

13ｘ－15ｙ＝０　②’

①×13－②’

　　13ｘ＋13ｙ＝7280

－）13ｘ－15ｙ＝０

　　　　　28ｙ＝7280

　　　　　　ｙ＝260

①に代入

ｘ＋260＝560

ｘ＝300

今年の人数を求めるから

男子の減った分の人数は、

300×（－18/100）

＝－54人

今年の男子の人数は、

300－54＝246人

女子の増えた分の人数は、

260×（10/100）

＝26人

今年の女子の人数は、

260＋26＝286人

よって、

今年の男子生徒　246人

今年の女子生徒　286人

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塾生の声

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（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

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（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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（高校１年）

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