おうぎ形練習問題②

たむかい学習教室
2月10日
読了時間: 9分

おうぎ形練習問題②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

おうぎ形は、同じ半径の円の一部を切り取った図形で、円の面積、周の長さ、角度から円全体の何分の何にあたる部分かを考えます。同じ半径の円に対する割合や比から、おうぎ形の面積、弧の長さ、角度を求めます。

問題

半径が５cm、弧の長さが４πcmのおうぎ形がある。

1）おうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

2）おうぎ形の面積を求めなさい。

1）

半径５cmの円周は、

２π×５＝10π cm

おうぎ形は、

10πのうちの４πにあたる部分だから

360°×（4/10）＝144°

2）

1）より、

半径５cmの円の2/5にあたる部分だから

π×５²×（2/5）＝10π cm²

※

おうぎ形の面積は、

（1/2）×（半径）×（弧の長さ）

で求められる。

（1/2）×５×４π＝10π cm²

問題

下の図において、△ＡＢＣは正三角形である。△ＤＢＥは、△ＡＢＣを、点Ｂを回転の中心として、時計の針の回転と反対の向きに100°回転移動したものである。180°より小さい角∠ＡＢＥの大きさを求めなさい。

辺ＡＢがＤＢに100°移動したから

∠ＡＢＤ＝100°

△ＢＤＥは正三角形だから

∠ＤＢＥ＝60°

∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＤ－∠ＤＢＥだから

∠ＡＢＥ＝100°－60°＝40°

問題

下の図のような、１辺の長さが１cmの正三角形ＡＢＣと、各頂点を中心とする半径１cmの円がある。このとき、弧ＡＢ、弧ＢＣ、弧ＣＡで囲まれた色がついた図形の周の長さを求めなさい。

おうぎ形ＡＢＣの中心角は60°

弧の長さは、半径１cmだから

２π×１×（60°/360°）

＝（1/3）π cm

弧ＡＢ＝弧ＢＣ＝弧ＣＡだから

（1/3）π×３

＝ π cm

問題

下の図のような、ＡＣ＞２ＡＤとなる長方形ＡＢＣＤがある。点Ａを中心とし、辺ＡＤを半径とする円と対角線ＡＣとの交点をＥ、点Ｃを中心とし、辺ＢＣを半径とする円と対角線ＡＣ、辺ＣＤとの交点をそれぞれＦ、Ｇとする。ＡＤ＝４cmのとき、おうぎ形ＡＥＤとおうぎ形ＣＦＧの面積の和を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

ＡＤ//ＢＣより

∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ

よって、

おうぎ形ＡＥＤとＣＦＢの面積は同じ。

ＣＦＢとＣＦＧを合わせた面積を求める。

合わせた部分はおうぎ形ＣＢＧ

中心角Ｃ＝90°、

半径ＢＣ＝ＡＤ＝４cmだから

π×４²×（90°/360°）＝４π

よって、４π cm²

問題

下の図は、辺の長さがすべて４cmの十二角形の各頂点を中心として、半径２cmの円をかいたものである。色をつけたおうぎ形の面積の和を求めなさい。

正十二角形と仮定して

角１つ分の大きさを求める。

多角形の内角の和の式より

180°×（12－２）÷12＝150°

おうぎ形１つ分の中心角は、

360°－150°＝210°

おうぎ１つ分の面積は、

π×２²×（210°/360°）＝（7/3）πcm²

よって、12個分の面積は、

（7/3）π×12＝28π cm²

問題

下の図のように、おうぎ形ＯＡＢとおうぎ形ＯＣＤがある。点Ａは線分ＯＤ上にあり、３点Ｂ、Ｏ、Ｃは一直線上にある。Ａ⌒Ｂの長さが２πcm、ＯＢ＝８cm、ＣＯ＝12cmのとき、Ｃ⌒Ｄの長さを求めなさい。ただし、円周率はπとする。

半径ＯＢの円の円周は、

２π×８＝16π cm

Ａ⌒Ｂ＝２π cmだから

おうぎ形ＯＡＢの中心角は、

360°×（2π/16π）

＝360°×（1/8）＝45°

よって、

おうぎ形ＯＣＤの中心角は、

180°－45°＝135°

半径ＯＣ＝12cmだから

Ｃ⌒Ｄの長さは、

２π×12×（135°/360°）

＝９π cm

問題

下の図のような円錐の展開図について、あとの問いに答えなさい。

1）側面になるおうぎ形の半径と弧の長さを求めなさい。

2）側面になるおうぎ形の中心角を求めなさい。

1）

半径＝円錐の母線＝10cm

弧の長さ＝底面の円周

２π×３＝６πcm

よって、

半径 10cm　弧の長さ ６πcm

2）

半径10cmの円周は、２π×10＝20πcm

そのうち、おうぎ形は６πcmの部分だから

360°×（6/20）

＝360°×（3/10）＝108°

※別解

側面の中心角は、

360°×（底面の半径／母線の長さ）

で求められる。

360°×（3/10）＝108°

問題

下の図は、円錐の見取り図である。この円錐を展開図に表したとき、側面になるおうぎ形の中心角を求めなさい。

半径８cmの円周は、２π×８＝16πcm

おうぎ形の弧の長さは、底面の円周だから

２π×５＝10πcm

おうぎ形は16πの円の10πにあたる部分だから

360°×（10/16）

＝360°×（5/8）＝225°

※別解

側面の中心角は、

360°×（底面の半径／母線の長さ）

で求められる。

360°×（5/8）＝225°

問題

下の図は、円錐の投影図である。この円錐の体積と表面積を求めなさい。

円錐の高さをｘcmとする

母線７cm、半径３cm

三平方の定理より

ｘ²＝７²－３²＝40

ｘ＝２√10cm（ｘ＞０）

よって、求める体積は、

（1/3）×π×３²×２√10

＝６√10π cm³

側面のおうぎ形の弧の長さは、

円周と同じだから

２π×３＝６π cm

おうぎ形の面積は、

（1/2）×７×６π

＝21π cm²

底面積は、９πcm²だから

求める表面積は、

21π＋９π＝30π cm²

問題

下の図の円錐について、あとの問いに答えなさい。

1）底面の半径を求めなさい。

2）頂点を通り底面に垂直な平面で切ったときの切り口の面積を求めなさい。

3）この円錐の体積を求めなさい。

4）この円錐の表面積を求めなさい。

1）

∠ＡＯＢ＝90°だから

△ＡＢＯで三平方の定理より

ＯＢ²＝ＡＢ²－ＡＯ²

ＯＢ²＝13²－12²＝25

ＯＢ＝５（ＯＢ＞０）

よって、５cm

2）

切り口は二等辺三角形になる

底辺は円の直径と同じ10cm、

高さは円錐の高さと同じ12cmだから

（1/2）×10×12＝60

よって、60cm²

3）

錐の体積の公式

（1/3）×（底面積）×（高さ）より

（1/3）×π×５²×12＝100π

よって、100π cm³

4）

底面積は、π×５²＝25π cm²　①

側面のおうぎ形の面積は、

（1/2）×（半径）×（弧の長さ）

で求められる。

半径は、母線の長さと同じ13cm

弧の長さは、底面の円周と同じだから

２π×５＝10π cm

側面積は、

（1/2）×13×10π＝65π cm²　②

①、②より

25π＋65π＝90π

よって、90π cm²

問題

図１のように、底面の直径ＡＢと母線の長さＰＡについてＡＢ＝ＰＡ＝４cmの円錐がある。図２のように、線分ＰＣの中点をＣとし、この円錐の表面に、点Ａから点Ｃまで、ひもをゆるまないようにかける。ひもの長さが最も短くなるとき、その長さを求めなさい。

側面の中心角は、

360°×（底面の半径／母線の長さ）

で求められるから

360°×（2/4）＝180°

よって、側面は半円になる。

下図の通り、展開図にすると

ＡＣは直線、∠ＡＰＣ＝90°だから

△ＡＣＰで三平方の定理より

ＡＣ²＝ＡＰ²＋ＰＣ²

ＰＣ＝（1/2）ＰＢ＝2cmだから

ＡＣ²＝４²＋２²＝20

ＡＣ＝２√５cm（ＡＣ＞０）

よって、２√５cm

問題

下の図のような、線分ＡＢを直径とする半円Ｏがある。Ａ⌒Ｂ上に点Ｃをとり、直線ＡＣ上に点Ｄを、∠ＡＢＤ＝90°となるようにとる。ＡＣ＝３cm、ＣＤ＝１cmであるとき、あとの問いに答えなさい。円周率はπを用いること。

1）線分ＢＣの長さを求めなさい。

2）線分ＢＤと線分ＣＤとＢ⌒Ｃとで囲まれた部分の面積を求めなさい。

1）

△ＡＢＣと△ＡＤＢにおいて

∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＢ（共通）

直径に対する円周角だから

∠ＡＣＢ＝90°

∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ＝90°

２組の角が等しいから

△ＡＢＣ∽△ＡＤＢ　①

△ＢＤＣと△ＡＤＢにおいて

∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＢ（共通）

∠ＢＣＤ＝∠ＡＢＤ＝90°

２組の角が等しいから

△ＢＤＣ∽△ＡＤＢ　②

①、②より

△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ

よって、

ＡＣ：ＢＣ＝ＢＣ：ＤＣ

３：ＢＣ＝ＢＣ：１

ＢＣ²＝３

ＢＣ＝√３cm（ＢＣ＞０）

2）

△ＢＣＤにおいて、∠ＢＣＤ＝90°、

ＢＣ＝√３cm、ＣＤ＝１cmだから

∠ＣＢＤ＝30°

よって、

∠ＯＢＣ＝90°－30°＝60°

ＯＢ＝ＯＣだから

∠ＯＣＢ＝60°

よって、∠ＢＯＣ＝60°

弦ＢＣと弧ＢＣで囲まれた面積は

（おうぎ形ＯＢＣ）－（△ＯＢＣ）

で求められる。

おうぎ形ＯＢＣの半径は

ＯＢ＝ＢＣ＝√３cm

中心角は60°だから

おうぎ形ＯＢＣ

＝π×（√３）²×（60°/360°）

＝π/2 cm²

点ＯからＢＣへの垂線をＯＨとする

直角三角形の辺の比より

ＯＨ：ＯＣ＝√３：２

ＯＣ＝ＢＣ＝√３cmだから

ＯＨ：√３＝√３：２

ＯＨ＝3/2cm

よって、△ＯＢＣの面積は、

（1/2）×ＢＣ×ＯＨ

＝（1/2）×√３×（3/2）

＝3√3/4 cm²

よって、

弦ＢＣと弧ＢＣで囲まれた面積は

（π/2）－（3√3/4）cm²

求める面積は、

△ＢＣＤからこの面積を引いた部分だから

△ＢＣＤ

＝（1/2）×ＢＣ×ＣＤ＝√3/2cm² より

（√3/2）－｛（π/2）－（3√3/4）｝

＝（2√3/4）＋（3√3/4）－（π/2）

＝（5√3/4）－（π/2）cm²

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