おうぎ形の弧と面積

たむかい学習教室
1月1日
読了時間: 7分

おうぎ形の弧と面積

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

おうぎ形の弧の長さと面積を求める問題では、半径と中心角を利用します。おうぎ形は円の一部分を切り取った図形であり、円全体のいくつ分にあたるかを考えます。

問題

次のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

1）半径が15cm、中心角が240°

2）半径が10cm、中心角が144°

3）直径が12cm、中心角が135°

弧の長さ

２πｒ×（中心角／360°）

面積

πｒ²×（中心角／360°）

1）

弧の長さ

２π×15×（240°/360°）

＝30π×（2/3）

＝20π cm

面積

π×15²×（2/3）

＝75π×２

＝150π cm²

2）

弧の長さ

２π×10×（144°/360°）

＝20π×（2/5）

＝８π cm

面積

π×10²×（2/5）

＝20π×２

＝40π cm²

3）

半径は６cm

弧の長さ

２π×６×（135°/360°）

＝12π×（3/8）

＝（9/2）π cm

面積

π×６²×（3/8）

＝９π×（3/2）

＝（27/2）π cm²

問題

半径が15cm、弧の長さが６π cmのおうぎ形の中心角を求めなさい。

求め方①

円全体に対する割合から求める

半径15cmの円周は、

２π×15＝30π cm

おうぎ形の弧は、

30πのうちの６π 分の長さだから

おうぎ形の角度は、

円全体の 6π/30π＝1/5

よって、

360°×（1/5）＝72°

求め方②

360°×（弧の長さ÷２π）／半径

＝360°×（６π÷２π）／15

＝360°×（1/5）

＝72°

問題

半径が12cm、面積が30π cm²のおうぎ形の中心角を求めなさい。

半径12cmの円の面積は、

π×12²＝144π cm²

144πのうちの30π 分の面積だから

おうぎ形の角度は、

円全体の 30π/144π＝5/24

よって、

360°×（5/24）＝75°

問題

半径が５cm、弧の長さが８π cmのおうぎ形の面積を求めなさい。

半径５cmの円周は、

２π×５＝10π cm

おうぎ形の弧は、

10πのうちの８π 分の長さだから

おうぎ形の角度は、

円全体の 8π/10π＝4/5

よって、

π×５²×（4/5）＝20π cm²

※別解

（1/2）×半径×弧の長さ

＝（1/2）×５×８π

＝20π cm²

問題

ある円と半径が等しく、中心角が1）、2）のおうぎ形がある。この円の面積に対するおうぎ形の面積の割合をそれぞれ求めなさい。

1）　45°

2）　200°

1）

円と半径が等しいから

45°/360°＝1/8

2）

200°/360°＝5/9

問題

次のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

1）半径が４cm、中心角が90°

2）半径が６cm、中心角が150°

1）

弧の長さ

２π×４×（90°/360°）

＝２π cm

面積

π×４²×（1/4）

＝４π cm²

2）

弧の長さ

２π×６×（150°/360°）

＝12π×（5/12）

＝５π cm

面積

π×６²×（5/12）

＝15π cm²

問題

次の問いに答えなさい。

1）半径が９cm、中心角が80°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。

2）半径が10cm、中心角が108°のおうぎ形の面積を求めなさい。

3）半径が４cm、中心角が225°のおうぎ形の面積を求めなさい。

1）

２π×９×（80°/360°）

＝２π×９×（2/9）

＝４π cm

2）

π×10²×（108°/360°）

＝100π×（3/10）

＝30π cm²

3）

π×４²×（225°/360°）

＝16π×（5/8）

＝10π cm²

問題

右の図は、線分ＡＢを、点Ｏを中心として時計回りに240°だけ回転移動させたものである。ＯＡ＝２cm、ＯＢ＝５cmとするとき、線分ＡＢが動いたあとにできる図形の面積を求めなさい。

半径５cmのおうぎ形の面積から

半径２cmのおうぎ形の面積をひく。

中心角は240°

半径５cmの面積

π×５²×（240°/360°）

＝25π×（2/3）

＝（50/3）π cm²

半径２cmの面積

π×２²×（2/3）

＝（8/3）π cm²

よって、

（50/3）π－（8/3）π

＝（42/3）π

＝14π cm²

問題

下の図のように、半径12cmで中心角90°のおうぎ形に、縦６cm、横12cmの長方形が重なっている。図のかげをつけた部分アとイの面積の差（アーイ）を求めなさい。

ア＝おうぎ－白色の部分

イ＝長方形－白色の部分

ア－イ

＝（おうぎ－白）－（長方形－白）

＝おうぎ－長方形

おうぎ形の面積は、

π×12²×（1/4）＝36π cm²

長方形の面積は、

６×12＝72 cm²

よって、ア－イは、

（36π－72）cm²

問題

下の図のように、直線ℓ上に１辺が３cmの正三角形ＡＢＣがある。頂点Ｃを中心として、頂点Ａが直線ℓ上にくるまで時計回りに回転させるとき、次の問いに答えなさい。

1）頂点Ｂが動いたあとの長さを求めなさい。

2）辺ＢＣが動いたあとにできる図形の面積を求めなさい。

1）

点Ａのℓ上までの軌跡（道すじ）は、

回転移動させるから弧をえがく。

120°回転させるから、

中心角120°、半径３cmの

おうぎ形の弧の長さになる。

２π×３×（120°/360°）

＝２π cm

2）

π×３²×（1/3）

＝３π cm²

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